El programa de Hilbert

Attempt to formalize all of mathematics, based on a finite set of axioms

En matemáticas , el programa de Hilbert , formulado por el matemático alemán David Hilbert a principios de la década de 1920, ^[1] fue una solución propuesta a la crisis fundacional de las matemáticas , cuando se descubrió que los primeros intentos de aclarar los fundamentos de las matemáticas adolecían de paradojas e inconsistencias. Como solución, Hilbert propuso fundamentar todas las teorías existentes en un conjunto finito y completo de axiomas , y proporcionar una prueba de que estos axiomas eran consistentes . Hilbert propuso que la consistencia de sistemas más complicados, como el análisis real , podría probarse en términos de sistemas más simples. En última instancia, la consistencia de todas las matemáticas podría reducirse a la aritmética básica .

Los teoremas de incompletitud de Gödel , publicados en 1931, demostraron que el programa de Hilbert era inalcanzable para áreas clave de las matemáticas. En su primer teorema, Gödel demostró que cualquier sistema consistente con un conjunto computable de axiomas que sea capaz de expresar aritmética nunca puede ser completo: es posible construir un enunciado que pueda demostrarse como verdadero, pero que no pueda derivarse de las reglas formales del sistema. En su segundo teorema, demostró que un sistema de este tipo no podría probar su propia consistencia, por lo que ciertamente no puede usarse para probar la consistencia de nada más fuerte con certeza. Esto refutó la suposición de Hilbert de que un sistema finitista podría usarse para probar la consistencia de sí mismo y, por lo tanto, no podría probar todo lo demás.

Enunciado del programa de Hilbert

El objetivo principal del programa de Hilbert era proporcionar bases sólidas para todas las matemáticas. En particular, esto debería incluir:

• Una formulación de todas las matemáticas; en otras palabras, todos los enunciados matemáticos deben escribirse en un lenguaje formal preciso y manipularse de acuerdo con reglas bien definidas.
• Completitud: una prueba de que todas las afirmaciones matemáticas verdaderas pueden demostrarse en el formalismo.
• Consistencia: prueba de que no se puede obtener ninguna contradicción en el formalismo de las matemáticas. Esta prueba de consistencia debería utilizar, preferentemente, sólo razonamientos "finitistas" sobre objetos matemáticos finitos.
• Conservación: una prueba de que cualquier resultado sobre "objetos reales" obtenido mediante el razonamiento sobre "objetos ideales" (como conjuntos incontables ) puede demostrarse sin utilizar objetos ideales.
• Decidibilidad : debería existir un algoritmo para decidir la verdad o falsedad de cualquier enunciado matemático.

Teoremas de incompletitud de Gödel

Kurt Gödel demostró que la mayoría de los objetivos del programa de Hilbert eran imposibles de alcanzar, al menos si se interpretaban de la forma más obvia. El segundo teorema de incompletitud de Gödel demuestra que cualquier teoría consistente lo suficientemente potente como para codificar la suma y la multiplicación de números enteros no puede demostrar su propia consistencia. Esto plantea un desafío al programa de Hilbert:

• No es posible formalizar todos los enunciados matemáticos verdaderos dentro de un sistema formal, ya que cualquier intento de formalismo de ese tipo omitirá algunos enunciados matemáticos verdaderos. No existe una extensión completa y consistente ni siquiera de la aritmética de Peano basada en un conjunto de axiomas computablemente enumerables .
• Una teoría como la aritmética de Peano ni siquiera puede probar su propia consistencia, por lo que un subconjunto "finitista" restringido de ella ciertamente no puede probar la consistencia de teorías más poderosas como la teoría de conjuntos.
• No existe ningún algoritmo que permita decidir la verdad (o la demostrabilidad) de los enunciados en ninguna extensión coherente de la aritmética de Peano. En sentido estricto, esta solución negativa al Entscheidungsproblem apareció unos años después del teorema de Gödel, porque en ese momento la noción de algoritmo no había sido definida con precisión.

El programa de Hilbert según Gödel

Muchas líneas de investigación actuales en lógica matemática , como la teoría de la demostración y la matemática inversa , pueden considerarse continuaciones naturales del programa original de Hilbert. Gran parte de él puede salvarse modificando ligeramente sus objetivos (Zach 2005), y con las siguientes modificaciones, parte de él se completó con éxito:

• Aunque no es posible formalizar todas las matemáticas, es posible formalizar esencialmente todas las matemáticas que cualquiera utiliza. En particular, la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , combinada con la lógica de primer orden , proporciona un formalismo satisfactorio y generalmente aceptado para casi todas las matemáticas actuales.
• Aunque no es posible demostrar la completitud de sistemas que pueden expresar al menos la aritmética de Peano (o, más generalmente, que tienen un conjunto computable de axiomas), es posible demostrar formas de completitud para muchos otros sistemas interesantes. Un ejemplo de una teoría no trivial para la que se ha demostrado la completitud es la teoría de cuerpos algebraicamente cerrados de característica dada .
• La cuestión de si existen pruebas de consistencia finitaria de teorías fuertes es difícil de responder, principalmente porque no hay una definición generalmente aceptada de una "prueba finitaria". La mayoría de los matemáticos en teoría de la prueba parecen considerar que las matemáticas finitarias están contenidas en la aritmética de Peano, y en este caso no es posible dar pruebas finitarias de teorías razonablemente fuertes. Por otro lado, el propio Gödel sugirió la posibilidad de dar pruebas de consistencia finitaria utilizando métodos finitarios que no pueden formalizarse en la aritmética de Peano, por lo que parece haber tenido una visión más liberal de qué métodos finitarios podrían permitirse. Unos años más tarde, Gentzen dio una prueba de consistencia para la aritmética de Peano. La única parte de esta prueba que no era claramente finitaria era una cierta inducción transfinita hasta el ordinal ε 0 . Si esta inducción transfinita se acepta como un método finitario, entonces se puede afirmar que existe una prueba finitaria de la consistencia de la aritmética de Peano. Gaisi Takeuti y otros han demostrado la consistencia de subconjuntos más potentes de la aritmética de segundo orden , y se puede volver a debatir sobre cuán finitas o constructivas son estas pruebas. (Las teorías que han demostrado ser consistentes mediante estos métodos son bastante sólidas e incluyen la mayoría de las matemáticas "ordinarias").
• Aunque no existe un algoritmo para decidir la verdad de los enunciados en la aritmética de Peano, hay muchas teorías interesantes y no triviales para las que se han encontrado tales algoritmos. Por ejemplo, Tarski encontró un algoritmo que puede decidir la verdad de cualquier enunciado en geometría analítica (más precisamente, demostró que la teoría de cuerpos reales cerrados es decidible). Dado el axioma de Cantor-Dedekind , este algoritmo puede considerarse como un algoritmo para decidir la verdad de cualquier enunciado en geometría euclidiana . Esto es sustancial ya que pocas personas considerarían la geometría euclidiana una teoría trivial.

Véase también

• Fundamentos de las matemáticas
• Crisis fundacional de las matemáticas

Referencias

1. Zach, Richard (2023), Zalta, Edward N.; Nodelman, Uri (eds.), "Hilbert's Program", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edición de primavera de 2023), Metaphysics Research Lab, Stanford University , consultado el 5 de julio de 2023

• G. Gentzen, 1936/1969. Die Widerspruchfreiheit der reinen Zahlentheorie. Mathematische Annalen 112:493–565. Traducido como 'La consistencia de la aritmética', en The Collected Papers of Gerhard Gentzen , ME Szabo (ed.), 1969.
• D. Hilbert. 'Die Grundlegung der elementaren Zahlenlehre'. Mathematische Annalen 104:485–94. Traducido por W. Ewald como 'The Grounding of Elementary Number Theory', pp. 266–273 en Mancosu (ed., 1998) From Brouwer to Hilbert: The debate on the foundations of mathematics in the 1920s , Oxford University Press. Nueva York.
• SG Simpson , 1988. Realizaciones parciales del programa de Hilbert (pdf). Journal of Symbolic Logic 53:349–363.
• R. Zach , 2006. El programa de Hilbert, entonces y ahora. Filosofía de la lógica 5:411–447, arXiv:math/0508572 [math.LO].

Enlaces externos

• Richard Zach. "El programa de Hilbert". En Zalta, Edward N. (ed.). Stanford Encyclopedia of Philosophy .