Consistencia

No contradicción de una teoría.

En la lógica deductiva clásica , una teoría consistente es aquella que no conduce a una contradicción lógica . ^[1] La falta de contradicción se puede definir en términos semánticos o sintácticos . La definición semántica establece que una teoría es consistente si tiene un modelo , es decir, existe una interpretación según la cual todas las fórmulas de la teoría son verdaderas. Este es el sentido utilizado en la lógica aristotélica tradicional , aunque en la lógica matemática contemporánea se utiliza en su lugar el término satisfactible . La definición sintáctica establece que una teoría es consistente si no existe una fórmula tal que tanto su negación como elementos sean elementos del conjunto de consecuencias de . Sea un conjunto de oraciones cerradas (informalmente "axiomas") y el conjunto de oraciones cerradas demostrables bajo algún sistema deductivo formal (especificado, posiblemente implícitamente). El conjunto de axiomas es consistente cuando no existe una fórmula tal que y . ^[2] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \lnot \varphi }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \langle A\rangle }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi \in \langle A\rangle }$ ${\displaystyle \lnot \varphi \in \langle A\rangle }$

Si existe un sistema deductivo para el cual estas definiciones semánticas y sintácticas son equivalentes para cualquier teoría formulada en una lógica deductiva particular , la lógica se llama completa . ^{[ cita necesaria ]} Paul Bernays demostró la integridad del cálculo de oraciones en 1918 ^{[ cita necesaria ] [3]} y Emil Post en 1921, ^{[4] mientras que} Kurt Gödel demostró la integridad del cálculo de predicados en 1930, ^[5] y Ackermann (1924), von Neumann (1927) y Herbrand (1931) demostraron pruebas de consistencia para aritmética restringida con respecto al esquema del axioma de inducción . ^[6] Las lógicas más fuertes, como la lógica de segundo orden , no están completas.

Una prueba de consistencia es una prueba matemática de que una teoría particular es consistente. ^[7] El desarrollo inicial de la teoría de la prueba matemática fue impulsado por el deseo de proporcionar pruebas de consistencia finita para todas las matemáticas como parte del programa de Hilbert . El programa de Hilbert se vio fuertemente impactado por los teoremas de incompletitud , que demostraron que teorías de prueba suficientemente sólidas no pueden probar su consistencia (siempre que sean consistentes).

Aunque la coherencia se puede demostrar utilizando la teoría de modelos, a menudo se hace de forma puramente sintáctica, sin necesidad de hacer referencia a algún modelo de lógica. La eliminación de cortes (o equivalentemente la normalización del cálculo subyacente, si la hay) implica la consistencia del cálculo: dado que no hay prueba de falsedad sin cortes, no hay contradicción en general.

Consistencia e integridad en aritmética y teoría de conjuntos.

En las teorías de la aritmética, como la aritmética de Peano , existe una relación intrincada entre la consistencia de la teoría y su completitud . Una teoría es completa si, para cada fórmula φ en su lenguaje, al menos una de φ o ¬φ es una consecuencia lógica de la teoría.

La aritmética de Presburger es un sistema de axiomas para los números naturales bajo suma. Es a la vez consistente y completo.

Los teoremas de incompletitud de Gödel muestran que cualquier teoría de la aritmética recursivamente enumerable lo suficientemente fuerte no puede ser completa y consistente. El teorema de Gödel se aplica a las teorías de la aritmética de Peano (PA) y la aritmética recursiva primitiva (PRA), pero no a la aritmética de Presburger .

Además, el segundo teorema de incompletitud de Gödel muestra que la consistencia de teorías aritméticas recursivamente enumerables suficientemente fuertes se puede probar de una manera particular. Tal teoría es consistente si y sólo si no prueba una oración particular, llamada oración de Gödel de la teoría, que es una declaración formalizada de la afirmación de que la teoría es efectivamente consistente. Así, la consistencia de una teoría de la aritmética suficientemente fuerte, recursivamente enumerable y consistente nunca podrá demostrarse en ese sistema mismo. El mismo resultado es válido para las teorías recursivamente enumerables que pueden describir un fragmento de aritmética lo suficientemente fuerte, incluidas las teorías de conjuntos como la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF). Estas teorías de conjuntos no pueden probar su propia sentencia de Gödel, siempre que sean consistentes, lo que generalmente se cree.

Debido a que la consistencia de ZF no se puede demostrar en ZF, la noción más débilLa consistencia relativa es interesante en la teoría de conjuntos (y en otros sistemas axiomáticos suficientemente expresivos). SiTes unateoríayAaxiomaadicional,se dice queT+AT(o simplemente queAes consistente conT) si se puede demostrar que siTes consistente entoncesT+Aes consistente. Si tantoAcomo ¬Ason consistentes conT,entoncesAesindependientedeT.

Lógica de primer orden

Notación

En el siguiente contexto de lógica matemática , el símbolo del torniquete significa "demostrable desde". Es decir, dice: b es demostrable a partir de a (en algún sistema formal específico). ${\displaystyle \vdash }$ ${\displaystyle a\vdash b}$

Definición

• Un conjunto de fórmulas en lógica de primer orden es consistente (escrito ) si no existe una fórmula tal que y . De lo contrario es inconsistente (escrito ). ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \operatorname {Con} \Phi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \Phi \vdash \varphi }$ ${\displaystyle \Phi \vdash \lnot \varphi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \operatorname {Inc} \Phi }$
• ${\displaystyle \Phi }$se dice que es simplemente consistente si no hay fórmula de , tanto como la negación de son teoremas de . ^{[ se necesita aclaración ]} ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \Phi }$
• ${\displaystyle \Phi }$se dice que es absolutamente consistente o Post consistente si al menos una fórmula en el lenguaje de no es un teorema de . ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$
• ${\displaystyle \Phi }$se dice que es máximamente consistente si es consistente y para cada fórmula , implica . ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \operatorname {Con} (\Phi \cup \{\varphi \})}$ ${\displaystyle \varphi \in \Phi }$
• ${\displaystyle \Phi }$se dice que contiene testigos si para cada fórmula de la forma existe un término tal que , donde denota la sustitución de cada in por a ; véase también Lógica de primer orden . ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle \exists x\,\varphi }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle (\exists x\,\varphi \to \varphi {t \over x})\in \Phi }$ ${\displaystyle \varphi {t \over x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle t}$

Resultados básicos

1. Los siguientes son equivalentes:
   1. ${\displaystyle \operatorname {Inc} \Phi }$
   2. Para todos ${\displaystyle \varphi ,\;\Phi \vdash \varphi .}$
2. Todo conjunto de fórmulas satisfactible es consistente, donde un conjunto de fórmulas es satisfactible si y sólo si existe un modelo tal que . ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {I}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {I}}\vDash \Phi }$
3. Para todos y : ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \varphi }$
   1. si no entonces ; ${\displaystyle \Phi \vdash \varphi }$ ${\displaystyle \operatorname {Con} \left(\Phi \cup \{\lnot \varphi \}\right)}$
   2. si y , entonces ; ${\displaystyle \operatorname {Con} \Phi }$ ${\displaystyle \Phi \vdash \varphi }$ ${\displaystyle \operatorname {Con} \left(\Phi \cup \{\varphi \}\right)}$
   3. si , entonces o . ${\displaystyle \operatorname {Con} \Phi }$ ${\displaystyle \operatorname {Con} \left(\Phi \cup \{\varphi \}\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Con} \left(\Phi \cup \{\lnot \varphi \}\right)}$
4. Sea un conjunto de fórmulas máximamente consistente y supongamos que contiene testigos . Para todos y : ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \psi }$
   1. si , entonces , ${\displaystyle \Phi \vdash \varphi }$ ${\displaystyle \varphi \in \Phi }$
   2. Cualquiera o , ${\displaystyle \varphi \in \Phi }$ ${\displaystyle \lnot \varphi \in \Phi }$
   3. ${\displaystyle (\varphi \lor \psi )\in \Phi }$si y sólo si o , ${\displaystyle \varphi \in \Phi }$ ${\displaystyle \psi \in \Phi }$
   4. si y , entonces , ${\displaystyle (\varphi \to \psi )\in \Phi }$ ${\displaystyle \varphi \in \Phi }$ ${\displaystyle \psi \in \Phi }$
   5. ${\displaystyle \exists x\,\varphi \in \Phi }$si y sólo si existe un término tal que . ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \varphi {t \over x}\in \Phi }$

teorema de henkin

Sea un conjunto de símbolos . Sea un conjunto de fórmulas máximamente consistente que contenga testigos . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle S}$

Defina una relación de equivalencia en el conjunto de términos mediante if , donde denota igualdad . Denotemos la clase de equivalencia de términos que contienen ; y sea donde está el conjunto de términos basado en el conjunto de símbolos . ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle t_{0}\sim t_{1}}$ ${\displaystyle \;t_{0}\equiv t_{1}\in \Phi }$ ${\displaystyle \equiv }$ ${\displaystyle {\overline {t}}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle T_{\Phi }:=\{\;{\overline {t}}\mid t\in T^{S}\}}$ ${\displaystyle T^{S}}$ ${\displaystyle S}$

Defina la estructura sobre , también llamada estructura de términos correspondiente a , mediante: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\Phi }}$ ${\displaystyle T_{\Phi }}$ ${\displaystyle \Phi }$

1. para cada símbolo de relación -aria , defina si ^[8] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R\in S}$ ${\displaystyle R^{{\mathfrak {T}}_{\Phi }}{\overline {t_{0}}}\ldots {\overline {t_{n-1}}}}$ ${\displaystyle \;Rt_{0}\ldots t_{n-1}\in \Phi ;}$
2. para cada símbolo de función -aria , defina ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f\in S}$ ${\displaystyle f^{{\mathfrak {T}}_{\Phi }}({\overline {t_{0}}}\ldots {\overline {t_{n-1}}}):={\overline {ft_{0}\ldots t_{n-1}}};}$
3. para cada símbolo constante , defina ${\displaystyle c\in S}$ ${\displaystyle c^{{\mathfrak {T}}_{\Phi }}:={\overline {c}}.}$

Defina una asignación de variable para cada variable . Sea el término interpretación asociado con . ${\displaystyle \beta _{\Phi }}$ ${\displaystyle \beta _{\Phi }(x):={\bar {x}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathfrak {I}}_{\Phi }:=({\mathfrak {T}}_{\Phi },\beta _{\Phi })}$ ${\displaystyle \Phi }$

Luego, para cada fórmula : ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\mathfrak {I}}_{\Phi }\vDash \varphi }$si y solo si ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle \;\varphi \in \Phi .}$

Bosquejo de prueba

Hay varias cosas que verificar. En primer lugar, se trata de hecho de una relación de equivalencia. Luego, es necesario verificar que (1), (2) y (3) estén bien definidos. Esto se desprende del hecho de que es una relación de equivalencia y también requiere una prueba de que (1) y (2) son independientes de la elección de los representantes de clase. Finalmente, se puede verificar por inducción sobre fórmulas. ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {I}}_{\Phi }\vDash \varphi }$

Teoría de modelos

En la teoría de conjuntos ZFC con lógica clásica de primer orden , ^[9] una teoría inconsistente es aquella en la que existe una oración cerrada que contiene tanto como su negación . Una teoría consistente es aquella que cumple las siguientes condiciones lógicamente equivalentes: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi '}$

1. ${\displaystyle \{\varphi ,\varphi '\}\not \subseteq T}$^[10]
2. ${\displaystyle \varphi '\not \in T\lor \varphi \not \in T}$

Ver también

• Portal de filosofía

• Disonancia cognitiva
• Equiconsistencia
• Los problemas de Hilbert
• El segundo problema de Hilbert
• Jan Łukasiewicz
• Lógica paraconsistente
• ω-consistencia
• La prueba de coherencia de Gentzen
• Prueba por contradicción

Notas a pie de página

1. Tarski 1946 lo expresa de esta manera: "Una teoría deductiva se llama consistente o no contradictoria si no hay dos enunciados afirmados de esta teoría que se contradigan entre sí, o en otras palabras, si de dos oraciones contradictorias ... al menos una no puede ser probada, " (p. 135) donde Tarski define contradictorio de la siguiente manera: "Con la ayuda de la palabra nadie forma la negación de una oración cualquiera; dos oraciones, de las cuales la primera es una negación de la segunda, se llaman oraciones contradictorias " (p. .20). Esta definición requiere una noción de "prueba". Gödel 1931 define la noción de esta manera: "La clase de fórmulas demostrables se define como la clase más pequeña de fórmulas que contiene los axiomas y se cierra bajo la relación "consecuencia inmediata", es decir, la fórmula c de a y b se define como una consecuencia inmediata en términos de modus ponens o sustitución; cf. Gödel 1931, van Heijenoort 1967, p. 601. Tarski define "prueba" informalmente como "enunciados que se suceden unos a otros en un orden definido de acuerdo con ciertos principios... y acompañados de consideraciones destinadas a establecer su validez [conclusión verdadera] para todas las premisas verdaderas – Reichenbach 1947, p. 68]" cf. Tarski 1946, p. 3. Kleene 1952 define la noción con respecto a una inducción o parafraseando) una secuencia finita de fórmulas tales que cada fórmula en la secuencia es un axioma o una "consecuencia inmediata" de las fórmulas anteriores; " Se dice que una prueba es una prueba de su última fórmula, y se dice que esta fórmula es (formalmente) demostrable o es un teorema (formal)" (cf. Kleene 1952, p. 83).
2. Hodges, Wilfrid (1997). Una teoría del modelo más corto . Nueva York: Cambridge University Press. pag. 37. Sean una firma, una teoría en y una oración en . Decimos que es consecuencia de , o que conlleva , en símbolos , si todo modelo de es modelo de . (En particular, si no tiene modelos, entonces implica ). Advertencia : no lo requerimos si hay una prueba de . En cualquier caso, con los lenguajes infinitos, no siempre está claro qué constituiría una prueba. Algunos escritores utilizan el significado de que es deducible en algún cálculo de prueba formal particular, y escriben para nuestra noción de implicación (una notación que choca con nuestra ). Para la lógica de primer orden, los dos tipos de implicación coinciden según el teorema de completitud del cálculo de prueba en cuestión. Decimos que es válido , o es un teorema lógico , en símbolos , si es verdadero en toda estructura. Decimos que es consistente si es cierto en alguna estructura. Asimismo, decimos que una teoría es consistente si tiene un modelo. Decimos que dos teorías S y T en L infinito omega son equivalentes si tienen los mismos modelos, es decir, si Mod(S) = Mod(T). ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle L_{\infty \omega }}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle L_{\infty \omega }}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle T\vdash \varphi }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \varphi }$
   ${\displaystyle T\vdash \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T\vdash \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T\models \varphi }$ ${\displaystyle A\models \varphi }$
   ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \vdash \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle T}$
   (Tenga en cuenta la definición de Mod(T) en la página 30...)
3. van Heijenoort 1967, pág. 265 afirma que Bernays determinó la independencia de los axiomas de Principia Mathematica , resultado no publicado hasta 1926, pero no dice nada acerca de que Bernays demostrara su consistencia .
4. Post demuestra tanto la coherencia como la integridad del cálculo proposicional de PM, cf. el comentario de van Heijenoort y la Introducción de Post de 1931 a una teoría general de proposiciones elementales en van Heijenoort 1967, págs. También Tarski 1946, págs. 134 y siguientes.
5. cf. comentario de van Heijenoort y 1930 de Gödel La integridad de los axiomas del cálculo funcional de la lógica en van Heijenoort 1967, págs. 582 y siguientes.
6. cf. comentario de van Heijenoort y 1930 de Herbrand Sobre la consistencia de la aritmética en van Heijenoort 1967, págs. 618 y siguientes.
7. De manera informal, normalmente se asume la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel; algunos dialectos de las matemáticas informales suelen asumir además el axioma de elección .
8. Esta definición es independiente de la elección de debido a las propiedades de sustitutividad y la consistencia máxima de . ${\displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle \equiv }$ ${\displaystyle \Phi }$
9. el caso común en muchas aplicaciones a otras áreas de las matemáticas, así como el modo ordinario de razonamiento de las matemáticas informales en cálculo y aplicaciones a la física, la química y la ingeniería.
10. según las leyes de De Morgan

Referencias

• Gödel, Kurt (1 de diciembre de 1931). "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I". Monatshefte für Mathematik und Physik . 38 (1): 173–198. doi :10.1007/BF01700692.
• Kleene, Stephen (1952). Introducción a las Metamatemáticas . Nueva York: Holanda Septentrional. ISBN 0-7204-2103-9.Décima impresión 1991.
• Reichenbach, Hans (1947). Elementos de la Lógica Simbólica . Nueva York: Dover. ISBN 0-486-24004-5.
• Tarski, Alfred (1946). Introducción a la Lógica y a la Metodología de las Ciencias Deductivas (Segunda ed.). Nueva York: Dover. ISBN 0-486-28462-X.
• van Heijenoort, Jean (1967). De Frege a Gödel: un libro de consulta sobre lógica matemática . Cambridge, MA: Harvard University Press. ISBN 0-674-32449-8.(pbk.)
• "Consistencia". El Diccionario de Filosofía de Cambridge .
• Ebbinghaus, HD; Flum, J.; Thomas, W. Lógica Matemática .
• Jevons, WS (1870). Lecciones elementales de lógica .

enlaces externos

• Mortensen, Chris (2017). "Matemáticas inconsistentes". Enciclopedia de Filosofía de Stanford .