En lógica matemática , la independencia es la imposibilidad de demostrar una oración respecto de otras oraciones.
Una oración σ es independiente de una teoría de primer orden T dada si T no prueba ni refuta σ; es decir, es imposible probar σ a partir de T , y también es imposible probar a partir de T que σ es falso. A veces, se dice (sinónimamente) que σ es indecidible a partir de T ; éste no es el mismo significado de " decidibilidad " que en un problema de decisión .
Una teoría T es independiente si cada axioma de T no es demostrable a partir de los axiomas restantes de T. Una teoría para la cual existe un conjunto independiente de axiomas es axiomatizable de forma independiente .
Algunos autores dicen que σ es independiente de T cuando T simplemente no puede probar σ, y no necesariamente afirman con esto que T no puede refutar σ. Estos autores a veces dicen "σ es independiente y consistente con T " para indicar que T no puede probar ni refutar σ.
Muchas afirmaciones interesantes en la teoría de conjuntos son independientes de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF). Se sabe que las siguientes afirmaciones en teoría de conjuntos son independientes de ZF, bajo el supuesto de que ZF es consistente:
No se puede demostrar que las siguientes afirmaciones (ninguna de las cuales ha demostrado ser falsa) en ZFC (la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel más el axioma de elección) sean independientes de ZFC, bajo la hipótesis adicional de que ZFC es consistente.
Las siguientes afirmaciones son incompatibles con el axioma de elección y, por tanto, con ZFC. Sin embargo, probablemente sean independientes de ZF, en el sentido correspondiente a lo anterior: no pueden demostrarse en ZF, y pocos teóricos de conjuntos en activo esperan encontrar una refutación en ZF. Sin embargo, ZF no puede probar que sean independientes de ZF, incluso con la hipótesis añadida de que ZF es consistente.
Desde el año 2000, se entiende que la independencia lógica tiene una importancia crucial en los fundamentos de la física. [1] [2]