En el campo matemático de la teoría de conjuntos , una propiedad cardinal grande es un cierto tipo de propiedad de los números cardinales transfinitos . Los cardinales con tales propiedades son, como su nombre indica, generalmente muy "grandes" (por ejemplo, más grandes que el mínimo α tal que α=ω α ). La proposición de que tales cardinales existen no se puede probar en la axiomatización más común de la teoría de conjuntos, a saber, ZFC , y tales proposiciones pueden verse como formas de medir cuánto, más allá de ZFC, uno necesita suponer para poder probar ciertos cardinales deseados. resultados. En otras palabras, pueden verse, en frase de Dana Scott , como una cuantificación del hecho de que "si quieres más tienes que asumir más". [1]
Existe una convención aproximada de que los resultados demostrables únicamente a partir de ZFC pueden enunciarse sin hipótesis, pero que si la prueba requiere otras suposiciones (como la existencia de cardinales grandes), éstas deben enunciarse. Si esto es simplemente una convención lingüística o algo más, es un punto controvertido entre las distintas escuelas filosóficas (ver Motivaciones y estatus epistémico más abajo).
AEl axioma cardinal grande es un axioma que establece que existe un cardinal (o quizás muchos de ellos) con alguna propiedad cardinal grande especificada.
La mayoría de los teóricos de conjuntos creen que los grandes axiomas cardinales que se están considerando actualmente son consistentes con ZFC. [ cita necesaria ] Estos axiomas son lo suficientemente fuertes como para implicar la coherencia de ZFC. Esto tiene la consecuencia (a través del segundo teorema de incompletitud de Gödel ) de que su coherencia con ZFC no se puede demostrar en ZFC (suponiendo que ZFC sea consistente).
No existe una definición precisa generalmente aceptada de qué es una propiedad cardinal grande, aunque esencialmente todos están de acuerdo en que aquellas en la lista de propiedades cardinales grandes son propiedades cardinales grandes.
Una condición necesaria para que una propiedad de los números cardinales sea una propiedad cardinal grande es que no se sepa que la existencia de tal cardinal sea inconsistente con ZF y que tal cardinal Κ sería un ordinal inicial incontable para el cual L Κ es un modelo. de ZFC. Si ZFC es consistente , entonces ZFC no implica que existan cardinales tan grandes.
Una observación notable sobre los grandes axiomas cardinales es que parecen ocurrir en estricto orden lineal por fuerza de consistencia . Es decir, no se conoce ninguna excepción a lo siguiente: dados dos grandes axiomas cardinales A 1 y A 2 , sucede exactamente una de tres cosas:
Éstas son mutuamente excluyentes, a menos que una de las teorías en cuestión sea realmente inconsistente.
En el caso 1, decimos que A 1 y A 2 son equiconsistentes . En el caso 2, decimos que A 1 es consistentemente más fuerte que A 2 (viceversa en el caso 3). Si A 2 es más fuerte que A 1 , entonces ZFC+ A 1 no puede probar que ZFC+ A 2 sea consistente, incluso con la hipótesis adicional de que ZFC+ A 1 sea consistente en sí misma (siempre y cuando, por supuesto, realmente lo sea). Esto se desprende del segundo teorema de incompletitud de Gödel .
La observación de que los grandes axiomas cardinales están ordenados linealmente según su consistencia es sólo eso, una observación, no un teorema. (Sin una definición aceptada de gran propiedad cardinal, no está sujeta a prueba en el sentido ordinario). Además, no se sabe en todos los casos cuál de los tres casos es válido. Saharon Shelah ha preguntado: "¿Existe algún teorema que explique esto, o nuestra visión es simplemente más uniforme de lo que creemos?" Woodin , sin embargo, deduce esto de la conjetura Ω , el principal problema no resuelto de su lógica Ω . También es digno de mención que muchos enunciados combinatorios son exactamente equiconsistentes con algún cardinal grande en lugar de, digamos, ser intermedios entre ellos.
El orden de la fuerza de consistencia no es necesariamente el mismo que el orden del tamaño del testigo más pequeño de un axioma cardinal grande. Por ejemplo, la existencia de un cardinal enorme es mucho más fuerte, en términos de consistencia, que la existencia de un cardinal supercompacto , pero suponiendo que ambos existan, el primer cardinal enorme es más pequeño que el primer supercompacto.
Los cardinales grandes se entienden en el contexto del universo V de von Neumann , que se construye iterando transfinitamente la operación powerset , que reúne todos los subconjuntos de un conjunto dado. Normalmente, los modelos en los que fallan los grandes axiomas cardinales pueden verse de alguna manera natural como submodelos de aquellos en los que los axiomas se cumplen. Por ejemplo, si hay un cardenal inaccesible , entonces "cortar el universo" a la altura del primer cardenal produce un universo en el que no hay ningún cardenal inaccesible. O si hay un cardinal mensurable , entonces iterar la operación del conjunto de poderes definible en lugar de la completa produce el universo construible de Gödel , L, que no satisface la afirmación "hay un cardinal mensurable" (aunque contiene el cardinal mensurable como un ordinal ).
Así, desde cierto punto de vista sostenido por muchos teóricos de conjuntos (especialmente aquellos inspirados en la tradición de la Cábala ), los grandes axiomas cardinales "dicen" que estamos considerando todos los conjuntos que "se supone" que debemos considerar, mientras que sus Las negaciones son "restrictivas" y dicen que estamos considerando sólo algunos de esos conjuntos. Además, las consecuencias de los grandes axiomas cardinales parecen caer en patrones naturales (véase Maddy, "Believing the Axioms, II"). Por estas razones, estos teóricos de conjuntos tienden a considerar que los grandes axiomas cardinales tienen un estatus preferido entre las extensiones de ZFC, uno que no comparten los axiomas de motivación menos clara (como el axioma de Martin ) u otros que consideran intuitivamente improbables (como V = L ). Los realistas incondicionales de este grupo afirmarían, de manera más simple, que los grandes axiomas cardinales son verdaderos .
Este punto de vista no es de ninguna manera universal entre los teóricos de conjuntos. Algunos formalistas afirmarían que la teoría de conjuntos estándar es, por definición, el estudio de las consecuencias de ZFC, y si bien en principio no se opondrían a estudiar las consecuencias de otros sistemas, no ven ninguna razón para señalar los cardinales grandes como preferidos. También hay realistas que niegan que el maximalismo ontológico sea una motivación adecuada, e incluso creen que los grandes axiomas cardinales son falsos. Y finalmente, hay quienes niegan que las negaciones de los grandes axiomas cardinales sean restrictivas, señalando que (por ejemplo) puede haber un modelo de conjunto transitivo en L que crea que existe un cardinal mensurable, aunque L mismo no satisfaga esa proposición.