Cardenal supercompacto

En teoría de conjuntos , un cardenal supercompacto es un tipo de cardenal grande introducido de forma independiente por Solovay y Reinhardt. ^[1] Muestran una variedad de propiedades de reflexión.

Definicion formal

Si es cualquier ordinal , es -supercompacto significa que existe una incrustación elemental del universo en un modelo interno transitivo con punto crítico , y ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle j(\kappa )>\lambda }$

${\displaystyle {}^{\lambda }M\subseteq M\,.}$

Es decir, contiene todas sus secuencias. Entonces es supercompacto significa que es -supercompacto para todos los ordinales . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$

Alternativamente, un cardinal incontable es supercompacto si para cada uno de ellos existe una medida normal sobre , en el siguiente sentido. ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \vert A\vert \geq \kappa }$ ${\displaystyle [A]^{<\kappa }}$

${\displaystyle [A]^{<\kappa }}$se define de la siguiente manera:

${\displaystyle [A]^{<\kappa }:=\{x\subseteq A\mid \vert x\vert <\kappa \}}$.

Un ultrafiltro terminado está bien si es completo y , para cada . Una medida normal es un ultrafiltro fino con la propiedad adicional de que cada función es constante en un conjunto . Aquí "constante en un conjunto " significa que existe tal que . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle [A]^{<\kappa }}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \{x\in [A]^{<\kappa }\mid a\in x\}\in U}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle [A]^{<\kappa }}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle [A]^{<\kappa }}$ ${\displaystyle f:[A]^{<\kappa }\to A}$ ${\displaystyle \{x\in [A]^{<\kappa }|f(x)\in x\}\in U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle \{x\in [A]^{<\kappa }|f(x)=a\}\in U}$

Propiedades

Los cardinales supercompactos tienen propiedades de reflexión. Si un cardenal con alguna propiedad (digamos un cardenal de 3 grandes ) que es atestiguado por una estructura de rango limitado existe encima de un cardenal supercompacto , entonces existe un cardenal con esa propiedad debajo . Por ejemplo, si es supercompacto y la hipótesis del continuo generalizado (GCH) se cumple por debajo, entonces se cumple en todas partes porque una biyección entre el conjunto de poderes de y un cardinal al menos sería un testigo de rango limitado del fracaso de GCH en, por lo que también tendría existir debajo . ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \nu ^{++}}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \nu }$

Encontrar un modelo interno canónico para cardinales supercompactos es uno de los principales problemas de la teoría del modelo interno .

El cardinal menos supercompacto es el menos tal que para cada estructura con cardinalidad del dominio , y para cada oración tal que , existe una subestructura con un dominio más pequeño (es decir ), que satisface . ^[2] ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle (M,R_{1},\ldots ,R_{n})}$ ${\displaystyle \vert M\vert \geq \kappa }$ ${\displaystyle \Pi _{1}^{1}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle (M,R_{1},\ldots ,R_{n})\vDash \phi }$ ${\displaystyle (M',R_{1}\vert M,\ldots ,R_{n}\vert M)}$ ${\displaystyle \vert M'\vert <\vert M\vert }$ ${\displaystyle \phi }$

La supercompacidad tiene una caracterización combinatoria similar a la propiedad de ser inefable . Sea el conjunto de todos los subconjuntos no vacíos de los cuales tienen cardinalidad . Un cardinal es supercompacto si y solo para cada conjunto (equivalentemente cada cardenal ), para cada función , si es para todas , entonces existe alguna que sea estacionaria. ^[3] ${\displaystyle P_{\kappa }(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle <\kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle f:P_{\kappa }(A)\to P_{\kappa }(A)}$ ${\displaystyle f(X)\subseteq X}$ ${\displaystyle X\in P_{\kappa }(A)}$ ${\displaystyle B\subseteq A}$ ${\displaystyle \{X\mid f(X)=B\cap X\}}$

Magidor obtuvo una variante de la propiedad del árbol que es válida para un cardenal inaccesible si es supercompacto. ^[4]

Ver también

• Indestructibilidad
• Cardenal fuertemente compacto
• Lista de grandes propiedades cardinales

Referencias

• Drake, FR (1974). Teoría de conjuntos: introducción a los cardinales grandes (estudios de lógica y fundamentos de las matemáticas; V. 76) . Elsevier Science Ltd. ISBN 0-444-10535-2.
• Jech, Thomas (2002). Teoría de conjuntos, edición del tercer milenio (revisada y ampliada) . Saltador. ISBN 3-540-44085-2.
• Kanamori, Akihiro (2003). El infinito superior: grandes cardinales en la teoría de conjuntos desde sus inicios (2ª ed.). Saltador. ISBN 3-540-00384-3.

Citas

1. A. Kanamori, "Kunen y la teoría de conjuntos", páginas 2450-2451. Topología y sus aplicaciones, vol. 158 (2011).
2. Magidor, M. (1971). "Sobre el papel de los cardinales supercompactos y extensibles en la lógica". Revista Israelí de Matemáticas . 10 (2): 147-157. doi :10.1007/BF02771565.
3. M. Magidor, Caracterización combinatoria de cardenales supercompactos, páginas 281-282. Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense, vol. 42 núm. 1, 1974.
4. S. Hachtman, S. Sinapova, "La propiedad del superárbol en el sucesor de un singular". Revista Israel de Matemáticas, vol 236, edición. 1 (2020), págs.473--500.