Cardenal inefable

Tipo de número cardinal grande

En las matemáticas de los números transfinitos , un cardinal inefable es un tipo determinado de número cardinal grande , introducido por Jensen y Kunen (1969). En las siguientes definiciones, siempre será un número cardinal incontable regular . ${\displaystyle \kappa }$

Un número cardinal se llama casi inefable si para cada (donde es el conjunto potencia de ) con la propiedad de que es un subconjunto de para todos los ordinales , existe un subconjunto de que tiene cardinalidad y es homogéneo para , en el sentido de que para cualquier en , . ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle f:\kappa \to {\mathcal {P}}(\kappa )}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\kappa )}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle f(\delta )}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta <\kappa }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \delta _{1}<\delta _{2}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f(\delta _{1})=f(\delta _{2})\cap \delta _{1}}$

Un número cardinal se llama inefable si para cada función de valor binario , hay un subconjunto estacionario de en el que es homogéneo : es decir, asigna todos los pares no ordenados de elementos extraídos de ese subconjunto a cero, o asigna todos esos pares no ordenados a uno. Una formulación equivalente es que un cardinal es inefable si para cada secuencia ⟨A _α  : α ∈ κ⟩ tal que cada A _α ⊆ α , hay A ⊆ κ tal que { α ∈ κ  : A ∩ α = A _α } es estacionario en κ . ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle f:[\kappa ]^{2}\to \{0,1\}}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \kappa }$

Otra formulación equivalente es que un cardinal incontable regular es inefable si para cada conjunto de cardinalidad de subconjuntos de , existe un filtro no trivial -completo normal (es decir, cerrado bajo la intersección diagonal ) al decidir : es decir, para cualquier , o . ^[1] Esto es similar a una caracterización de cardinales débilmente compactos . ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X\in S}$ ${\displaystyle X\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \kappa \setminus X\in {\mathcal {F}}}$

En términos más generales, se denomina -inefable (para un entero positivo ) si para cada uno existe un subconjunto estacionario de en el que es - homogéneo (toma el mismo valor para todas las -tuplas desordenadas extraídas del subconjunto). Por lo tanto, es inefable si y sólo si es 2-inefable. La inefabilidad es estrictamente más débil que la 3-inefabilidad. ^{[2] p. 399} ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f:[\kappa ]^{n}\to \{0,1\}}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Un cardenal totalmente inefable es un cardenal que es -inefable para cada . Si es -inefable, entonces el conjunto de cardenales -inefables que figura a continuación es un subconjunto estacionario de . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2\leq n<\aleph _{0}}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle (n+1)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$

Todo cardenal -inefable es -casi inefable (con un conjunto de -casi inefables debajo de él estacionarios), y todo -casi inefable es -sutil (con un conjunto de -sutil debajo de él estacionarios). El cardenal menos -sutil ni siquiera es débilmente compacto (y a diferencia de los cardenales inefables, el menos -casi inefable es -descriptible), pero los cardenales -inefables son estacionarios debajo de cada cardenal -sutil. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Pi _{2}^{1}}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle n}$

Un cardinal κ es completamente inefable si existe un no vacío tal que - todo es estacionario - para todo y , existe homogéneo para f con . ${\displaystyle R\subseteq {\mathcal {P}}(\kappa )}$
${\displaystyle A\in R}$
${\displaystyle A\in R}$ ${\displaystyle f:[\kappa ]^{2}\to \{0,1\}}$ ${\displaystyle B\subseteq A}$ ${\displaystyle B\in R}$

El uso de cualquier finito  > 1 en lugar de 2 conduciría a la misma definición, por lo que los cardinales completamente inefables son totalmente inefables (y tienen mayor fuerza de consistencia ). Los cardinales completamente inefables son -indescriptibles para cada n , pero la propiedad de ser completamente inefable es . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Pi _{n}^{1}}$ ${\displaystyle \Delta _{1}^{2}}$

La fuerza de consistencia de los completamente inefables es inferior a la de los cardinales 1-iterables, que a su vez es inferior a la de los cardinales notables , que a su vez es inferior a la de los cardinales ω-Erdős . En la sección siguiente se encuentra disponible una lista de axiomas cardinales grandes por fuerza de consistencia.

Véase también

• Lista de grandes propiedades cardinales

Referencias

• Friedman, Harvey (2001), "Cardinales sutiles y ordenamientos lineales", Anales de lógica pura y aplicada , 107 (1–3): 1–34, doi : 10.1016/S0168-0072(00)00019-1.
• Jensen, Ronald ; Kunen, Kenneth (1969), Algunas propiedades combinatorias de L y V, Manuscrito inédito

Citas

1. Santo, Pedro; Schlicht, Philipp (2017). "Una jerarquía de cardenales tipo Ramsey". arXiv : 1710.10043 [matemáticas.LO].
2. K. Kunen, "Combinatoria". En Handbook of Mathematical Logic , Estudios de lógica y fundamentos de la matemática, vol. 90, ed. J. Barwise (1977)