En lógica matemática , dos teorías son equiconsistentes si la consistencia de una teoría implica la consistencia de la otra teoría, y viceversa . En este caso, son, en términos generales, "tan consistentes entre sí".
En general, no es posible demostrar la consistencia absoluta de una teoría T. En lugar de ello, normalmente tomamos una teoría S , que se cree que es consistente, y tratamos de probar la afirmación más débil de que si S es consistente entonces T también debe ser consistente; si podemos hacer esto, decimos que T es consistente con respecto a S. Si S también es consistente con respecto a T entonces decimos que S y T son equiconsistentes .
En lógica matemática, las teorías formales se estudian como objetos matemáticos . Dado que algunas teorías son lo suficientemente poderosas como para modelar diferentes objetos matemáticos, es natural preguntarse acerca de su propia consistencia .
Hilbert propuso a principios del siglo XX un programa cuyo objetivo final era mostrar, mediante métodos matemáticos, la consistencia de las matemáticas. Dado que la mayoría de las disciplinas matemáticas pueden reducirse a la aritmética , el programa rápidamente se convirtió en el establecimiento de la coherencia de la aritmética mediante métodos formalizables dentro de la propia aritmética.
Los teoremas de incompletitud de Gödel muestran que el programa de Hilbert no puede realizarse: si una teoría consistente y enumerable es lo suficientemente fuerte como para formalizar su propia metamatemática (ya sea que algo sea una prueba o no), es decir, lo suficientemente fuerte como para modelar un fragmento débil de aritmética ( aritmética de Robinson). es suficiente), entonces la teoría no puede probar su propia consistencia. Hay algunas advertencias técnicas sobre qué requisitos debe satisfacer el enunciado formal que representa el enunciado metamatemático "La teoría es consistente", pero el resultado es que si una teoría (suficientemente sólida) puede demostrar su propia coherencia, entonces no existe una forma computable. de identificar si un enunciado es incluso un axioma de la teoría o no, o si la teoría misma es inconsistente (en cuyo caso puede probar cualquier cosa, incluidos enunciados falsos como su propia consistencia).
Teniendo esto en cuenta, en lugar de una coherencia absoluta, normalmente se considera la coherencia relativa: sean S y T teorías formales. Supongamos que S es una teoría consistente. ¿Se sigue que T es consistente? Si es así, entonces T es consistente con respecto a S. Dos teorías son equiconsistentes si cada una es consistente con la otra.
Si T es consistente con respecto a S , pero no se sabe que S sea consistente con T , entonces decimos que S tiene mayor fuerza de consistencia que T. Al discutir estas cuestiones de la fuerza de la coherencia, es necesario abordar cuidadosamente la metateoría en la que se desarrolla la discusión. Para las teorías al nivel de la aritmética de segundo orden , el programa de matemáticas inversas tiene mucho que decir. Los problemas de consistencia son una parte habitual de la teoría de conjuntos , ya que se trata de una teoría computable que ciertamente puede modelar la mayor parte de las matemáticas. El conjunto de axiomas de la teoría de conjuntos más utilizado se denomina ZFC . Cuando se dice que un enunciado de teoría de conjuntos A es equiconsistente con otro B , lo que realmente se afirma es que en la metateoría ( aritmética de Peano en este caso) se puede demostrar que las teorías ZFC+ A y ZFC+ B son equiconsistentes. Por lo general, se puede adoptar la aritmética recursiva primitiva como metateoría en cuestión, pero incluso si la metateoría es ZFC o una extensión de ella, la noción es significativa. El método de forzado permite demostrar que las teorías ZFC, ZFC+CH y ZFC+¬CH son todas equiconsistentes (donde CH denota la hipótesis del continuo ).
Cuando se analizan fragmentos de ZFC o sus extensiones (por ejemplo, ZF, teoría de conjuntos sin el axioma de elección, o ZF+AD, teoría de conjuntos con el axioma de determinación ), las nociones descritas anteriormente se adaptan en consecuencia. Por tanto, ZF es equiconsistente con ZFC, como lo muestra Gödel.
La fuerza de coherencia de numerosas afirmaciones combinatorias puede calibrarse mediante grandes cardenales . Por ejemplo:
