The Higher Infinite: Large Cardinals in Set Theory from their Beginnings es una monografía sobre teoría de conjuntos de Akihiro Kanamori , que trata sobre la historia y la teoría de los grandes cardinales , conjuntos infinitos caracterizados por propiedades tan fuertes que su existencia no puede probarse en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC). [1] Este libro fue publicado en 1994 por Springer-Verlag en su serie Perspectives in Mathematical Logic, con una segunda edición en 2003 en su serie Springer Monographs in Mathematics, [2] y una reimpresión en rústica de la segunda edición en 2009 ( ISBN 978-3-540-88866-6 ). [3]
Sin contar el material introductorio y los apéndices, The Higher Infinite consta de seis capítulos , ordenados aproximadamente en orden cronológico según la historia del desarrollo del tema. El autor escribe que eligió este orden "tanto porque proporciona la exposición más coherente de las matemáticas como porque contiene la clave para cualquier preocupación epistemológica". [1] [4]
En el primer capítulo, "Comienzos", [4] el material incluye cardinales inaccesibles , cardinales de Mahlo , cardinales medibles , cardinales compactos y cardinales indescriptibles . El capítulo cubre el universo construible y los modelos internos , las incrustaciones elementales y los ultrapoderes , y un resultado de Dana Scott de que los cardinales medibles son inconsistentes con el axioma de constructibilidad . [5] [6]
El segundo capítulo, "Propiedades de partición", [4] incluye el cálculo de particiones de Paul Erdős y Richard Rado , árboles y árboles de Aronszajn , el estudio teórico de modelos de cardinales grandes y la existencia del conjunto 0 # de fórmulas verdaderas sobre indiscernibles . También incluye cardinales de Jónsson y cardinales de Rowbottom . [5] [6]
A continuación se presentan dos capítulos sobre "Forzamiento y conjuntos de números reales" y "Aspectos de mensurabilidad". [4] El tema principal del primero de estos capítulos es el forzamiento , una técnica introducida por Paul Cohen para probar resultados de consistencia e inconsistencia en la teoría de conjuntos; también incluye material sobre la teoría descriptiva de conjuntos . El segundo de estos capítulos cubre la aplicación del forzamiento por parte de Robert M. Solovay para probar la consistencia de los cardinales medibles y los resultados relacionados utilizando nociones más sólidas de forzamiento. [5]
El capítulo cinco es "Hipótesis fuertes". [4] Incluye material sobre cardinales supercompactos y sus propiedades de reflexión , sobre cardinales enormes , sobre el principio de Vopěnka , [5] sobre cardinales extensibles , sobre cardinales fuertes y sobre cardinales de Woodin . [6] El libro concluye con el capítulo "Determinación", [4] que involucra el axioma de determinación y la teoría de juegos infinitos. [5] El revisor Frank R. Drake considera este capítulo, y la prueba que contiene Donald A. Martin del teorema de determinación de Borel , como central para Kanamori, "un triunfo para la teoría que presenta". [7]
Aunque a lo largo del libro aparecen citas que expresan las posiciones filosóficas de los investigadores en esta área, [1] una cobertura más detallada de las cuestiones de la filosofía de las matemáticas relacionadas con los fundamentos de las matemáticas se deja para un apéndice. [8]
El crítico Pierre Matet escribe que este libro "sin duda servirá durante muchos años como la principal referencia para los grandes cardinales", [4] y los críticos Joel David Hamkins , Azriel Lévy y Philip Welch expresan sentimientos similares. [1] [6] [8] Hamkins escribe que el libro está "lleno de conocimiento histórico, redacción clara, teoremas interesantes y pruebas elegantes". [1] Debido a que este tema utiliza muchas de las herramientas importantes de la teoría de conjuntos de manera más general, Lévy recomienda el libro "a cualquiera que quiera comenzar a investigar en teoría de conjuntos", [6] y Welch lo recomienda a todas las bibliotecas universitarias. [8]