En teoría de conjuntos , un árbol de Aronszajn es un árbol de altura incontable sin ramas incontables ni niveles incontables. Por ejemplo, cada árbol de Suslin es un árbol de Aronszajn. De manera más general, para un cardinal κ , un árbol κ -Aronszajn es un árbol de altura κ en el que todos los niveles tienen un tamaño menor que κ y todas las ramas tienen una altura menor que κ (por lo que los árboles de Aronszajn son lo mismo que los árboles -Aronszajn). Reciben su nombre de Nachman Aronszajn , quien construyó un árbol de Aronszajn en 1934; su construcción fue descrita por Kurepa (1935).
Se dice que un cardinal κ para el cual no existen árboles κ -Aronszajn tiene la propiedad de árbol (a veces se incluye la condición de que κ sea regular e incontable).
El lema de Kőnig afirma que los árboles -Aronszajn no existen.
La existencia de árboles de Aronszajn ( árboles -Aronszajn) fue probada por Nachman Aronszajn , e implica que el análogo del lema de Kőnig no es válido para árboles incontables.
La existencia de árboles -Aronszajn es indecidible en ZFC: más precisamente, la hipótesis del continuo implica la existencia de un árbol -Aronszajn, y Mitchell y Silver demostraron que es consistente (en relación con la existencia de un cardinal débilmente compacto ) que no existan árboles -Aronszajn.
Jensen demostró que V = L implica que hay un árbol κ -Aronszajn (de hecho, un árbol κ - Suslin ) para cada cardinal sucesor infinito κ .
Cummings y Foreman (1998) demostraron (utilizando un axioma cardinal grande) que es consistente que no existen árboles -Aronszajn para ningún n finito distinto de 1.
Si κ es débilmente compacto, entonces no existen árboles κ -Aronszajn. Por el contrario, si κ es inaccesible y no existen árboles κ -Aronszajn, entonces κ es débilmente compacto.
Un árbol de Aronszajn se llama especial si hay una función f del árbol a los racionales tal que f ( x ) < f ( y ) siempre que x < y . El axioma de Martin MA( ) implica que todos los árboles de Aronszajn son especiales, una proposición a veces abreviada por EATS . El axioma de forzamiento propio más fuerte implica la afirmación más fuerte de que para cualesquiera dos árboles de Aronszajn existe un conjunto club de niveles tal que las restricciones de los árboles a este conjunto de niveles son isomorfas, lo que dice que en algún sentido cualesquiera dos árboles de Aronszajn son esencialmente isomorfos (Abraham y Shelah 1985). Por otro lado, es consistente que existan árboles de Aronszajn no especiales, y esto también es consistente con la hipótesis del continuo generalizado más la hipótesis de Suslin (Schlindwein 1994).
Un árbol de Aronszajn especial se puede construir de la siguiente manera.
Los elementos del árbol son ciertos conjuntos bien ordenados de números racionales cuyo supremo es racional o −∞. Si x e y son dos de estos conjuntos, entonces definimos x ≤ y (en el orden del árbol) para significar que x es un segmento inicial del conjunto ordenado y . Para cada ordinal contable α escribimos U α para los elementos del árbol de nivel α, de modo que los elementos de U α son ciertos conjuntos de racionales con orden de tipo α. El árbol especial de Aronszajn T es la unión de los conjuntos U α para todos los α contables.
Construimos los niveles contables U α por inducción transfinita sobre α de la siguiente manera comenzando con el conjunto vacío como U 0 :
La función f ( x ) = sup x es racional o −∞, y tiene la propiedad de que si x < y entonces f ( x ) < f ( y ). Cualquier rama en T es contable ya que f mapea ramas inyectivamente a −∞ y a los racionales. T es incontable ya que tiene un nivel no vacío U α para cada ordinal contable α que compone el primer ordinal incontable . Esto prueba que T es un árbol de Aronszajn especial.
Esta construcción se puede utilizar para construir árboles κ -Aronszajn siempre que κ sea un sucesor de un cardinal regular y se cumpla la hipótesis del continuo generalizado, reemplazando los números racionales por un conjunto η más general .
