el axioma de martin

En el campo matemático de la teoría de conjuntos , el axioma de Martin , introducido por Donald A. Martin y Robert M. Solovay , ^[1] es un enunciado independiente de los axiomas habituales de la teoría de conjuntos ZFC . Está implícito en la hipótesis del continuo , pero es consistente con ZFC y la negación de la hipótesis del continuo. Informalmente, dice que todos los cardinales menores que la cardinalidad del continuo , 𝔠, se comportan aproximadamente como ℵ ₀ . La intuición detrás de esto puede entenderse estudiando la prueba del lema de Rasiowa-Sikorski . Es un principio que se utiliza para controlar ciertos argumentos forzados .

Declaración

Para un número cardinal κ , defina la siguiente afirmación:

MA( κ )

Para cualquier orden parcial P que satisfaga la condición de cadena contable (en adelante ccc) y cualquier conjunto D  = { D _i } _{i ∈ I} de subconjuntos densos de P tales que |D|  ≤  κ , hay un filtro F en P tal que  F  ∩  Di  no _está vacío para cada Di _∈ D .

En este contexto, un conjunto D se llama denso si cada elemento de P tiene un límite inferior en D. Para la aplicación de ccc, una anticadena es un subconjunto A de P tal que dos miembros distintos de A son incompatibles (se dice que dos elementos son compatibles si existe un elemento común debajo de ambos en el orden parcial). Esto difiere, por ejemplo, de la noción de anticadena en el contexto de los árboles .

MA(ℵ ₀ ) es demostrable en ZFC y se conoce como lema de Rasiowa-Sikorski .

MA(2 ^{ℵ ₀} ) es falso: [0, 1] es un espacio compacto separable de Hausdorff , por lo que ( P , el poset de subconjuntos abiertos bajo inclusión, es) ccc. Pero ahora considere los siguientes dos conjuntos de conjuntos densos de tamaño 𝔠 en P : ningún x  ∈ [0, 1] está aislado , por lo que cada x define el subconjunto denso {  S  | x∉S }  . ​  Y cada r  ∈ (0, 1], define el subconjunto denso {  S  | diam( S ) <  r  }. Los dos conjuntos combinados también son de tamaño 𝔠, y un filtro que cumpla con ambos debe evitar simultáneamente todos los puntos de [0, 1] ] mientras contiene conjuntos de diámetro arbitrariamente pequeño. Pero un filtro F que contiene conjuntos de diámetro arbitrariamente pequeño debe contener un punto en ⋂ F por compacidad (Ver también § Formas equivalentes de MA(κ).)

El axioma de Martin es entonces que MA( κ ) se cumple para cada κ para el cual podría:

Axioma de Martin (MA)

MA( κ ) es válida para todo κ  < 𝔠.

Formas equivalentes de MA( κ )

Las siguientes afirmaciones son equivalentes a MA( κ ):

• Si X es un espacio topológico compacto de Hausdorff que satisface el ccc, entonces X no es la unión de κ o menos subconjuntos densos en ninguna parte .
• Si P es un poset ccc hacia arriba no vacío e Y es un conjunto de subconjuntos cofinales de P con |Y|  ≤  κ entonces existe un conjunto A dirigido hacia arriba tal que A cumple con todos los elementos de Y .
• Sea A un álgebra booleana ccc distinta de cero y F un conjunto de subconjuntos de A con |F|  ≤  κ . Entonces hay un homomorfismo booleano φ:  A  →  Z /2 Z tal que para cada X  ∈  F , existe un a  ∈  X con φ( a ) = 1 o existe un límite superior b  ∈  X con φ( b ) = 0.

Consecuencias

El axioma de Martin tiene otras consecuencias combinatorias , analíticas y topológicas interesantes :

• La unión de κ o menos conjuntos nulos en una medida de Borel σ-finita sin átomos en un espacio polaco es nula. En particular, la unión de κ o menos subconjuntos de R de la medida 0 de Lebesgue también tiene la medida 0 de Lebesgue.
• Un espacio compacto de Hausdorff X con |X|  < 2 ^κ es secuencialmente compacto , es decir, cada secuencia tiene una subsecuencia convergente.
• Ningún ultrafiltro no principal en N tiene una base de cardinalidad menor que κ .
• De manera equivalente, para cualquier x  ∈ β N \ N tenemos 𝜒( x ) ≥  κ , donde 𝜒 es el carácter de x , por lo que 𝜒(β N ) ≥  κ .
• MA(ℵ ₁ ) implica que un producto de espacios topológicos ccc es ccc (esto a su vez implica que no hay líneas de Suslin ).
• MA + ¬CH implica que existe un grupo Whitehead que no es libre; Shelah usó esto para mostrar que el problema de Whitehead es independiente de ZFC.

Mayor desarrollo

• El axioma de Martin tiene generalizaciones llamadas axioma de forzamiento propio y máximo de Martin .
• Sheldon W. Davis ha sugerido en su libro que el axioma de Martin está motivado por el teorema de la categoría de Baire . ^[2]

Referencias

1. Martín, Donald A .; Solováy, Robert M. (1970). "Extensiones internas de Cohen". Ana. Matemáticas. Lógica . 2 (2): 143–178. doi : 10.1016/0003-4843(70)90009-4 . SEÑOR  0270904.
2. Davis, Sheldon W. (2005). Topología . McGraw-Hill. pag. 29.ISBN​ 0-07-291006-2.

Otras lecturas

• Fremlin, David H. (1984). Consecuencias del axioma de Martin . Tratados de Cambridge sobre matemáticas, núm. 84. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-25091-9.
• Jech, Thomas , 2003. Teoría de conjuntos: edición del tercer milenio, revisada y ampliada . Saltador. ISBN 3-540-44085-2 . 
• Kunen, Kenneth , 1980. Teoría de conjuntos: una introducción a las pruebas de independencia . Elsevier. ISBN 0-444-86839-9 .