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Cardenal Mahlo

En matemáticas , un cardinal de Mahlo es un tipo determinado de número cardinal grande . Los cardinales de Mahlo fueron descritos por primera vez por Paul Mahlo  (1911, 1912, 1913). Como sucede con todos los cardinales grandes, no se puede demostrar la existencia de ninguna de estas variedades de cardinales de Mahlo mediante ZFC (suponiendo que ZFC sea consistente ).

Un número cardinal se llama fuertemente Mahlo si es fuertemente inaccesible y el conjunto es estacionario en κ.

Un cardenal se llama débilmente Mahlo si es débilmente inaccesible y el conjunto de cardenales débilmente inaccesibles menores que es estacionario en .

El término "cardenal Mahlo" ahora suele significar "cardenal fuertemente Mahlo", aunque los cardenales considerados originalmente por Mahlo eran cardenales débilmente Mahlo.

Condición mínima suficiente para un cardenal Mahlo

La principal dificultad para demostrar esto es demostrar que κ es regular. Supondremos que no es regular y construiremos un conjunto de clubes que nos dé un μ tal que:

μ = cf(μ) < cf(κ) < μ < κ lo cual es una contradicción.

Si κ no fuera regular, entonces cf(κ) < κ. Podríamos elegir una sucesión cf(κ) estrictamente creciente y continua que comience con cf(κ)+1 y tenga κ como su límite. Los límites de esa sucesión serían club en κ. Por lo tanto, debe haber un μ regular entre esos límites. Por lo tanto, μ es un límite de una subsucesión inicial de la sucesión cf(κ). Por lo tanto, su cofinalidad es menor que la cofinalidad de κ y mayor que ella al mismo tiempo; lo cual es una contradicción. Por lo tanto, la suposición de que κ no es regular debe ser falsa, es decir, κ es regular.

No puede existir ningún conjunto estacionario por debajo de κ con la propiedad requerida porque {2,3,4,...} es un conjunto de tréboles en ω pero no contiene ordinales regulares; por lo tanto, κ es incontable. Y es un límite regular de cardinales regulares; por lo tanto, es débilmente inaccesible. Entonces, se usa el conjunto de cardinales límite incontables por debajo de κ como un conjunto de tréboles para mostrar que se puede suponer que el conjunto estacionario consiste en inaccesibles débiles.

κ es débilmente inaccesible y un límite fuerte, por lo que es fuertemente inaccesible.

Demostramos que el conjunto de cardinales límite fuertes incontables por debajo de κ es club en κ. Sea μ 0 el mayor entre el umbral y ω 1 . Para cada n finito, sea μ n+1 = 2 μ n que es menor que κ porque es un cardinal límite fuerte. Entonces su límite es un cardinal límite fuerte y es menor que κ por su regularidad. Los límites de cardinales límite fuertes incontables también son cardinales límite fuertes incontables. Entonces, el conjunto de ellos es club en κ. Intersecta ese conjunto club con el conjunto estacionario de cardinales débilmente inaccesibles menores que κ para obtener un conjunto estacionario de cardinales fuertemente inaccesibles menores que κ.

Ejemplo: demostrar que los cardinales de Mahlo κ son κ-inaccesibles (hiperinaccesibles)

El término "hiperinaccesible" es ambiguo. En esta sección, un cardinal κ se denomina hiperinaccesible si es κ-inaccesible (en contraposición al significado más común de 1-inaccesible).

Supongamos que κ es Mahlo. Procedemos por inducción transfinita sobre α para demostrar que κ es α-inaccesible para cualquier α ≤ κ. Como κ es Mahlo, κ es inaccesible; y por lo tanto 0-inaccesible, que es lo mismo.

Si κ es α-inaccesible, entonces hay β-inaccesibles (para β < α) arbitrariamente cercanos a κ. Considérese el conjunto de límites simultáneos de tales β-inaccesibles mayores que algún umbral pero menores que κ. Es ilimitado en κ (imaginemos rotar a través de β-inaccesibles para β < α ω-veces eligiendo un cardinal mayor cada vez, luego tomemos el límite que es menor que κ por regularidad (esto es lo que falla si α ≥ κ)). Es cerrado, por lo que es un club en κ. Entonces, por la Mahlo-idad de κ, contiene un inaccesible. Ese inaccesible es en realidad un α-inaccesible. Entonces κ es α+1-inaccesible.

Si λ ≤ κ es un ordinal límite y κ ​​es α-inaccesible para todo α < λ, entonces todo β < λ es también menor que α para algún α < λ. Por lo tanto, este caso es trivial. En particular, κ es κ-inaccesible y, por lo tanto, hiperinaccesible .

Para demostrar que κ es un límite de hiper-inaccesibles y por lo tanto 1-hiper-inaccesibles, necesitamos demostrar que el conjunto diagonal de cardinales μ < κ que son α-inaccesibles para cada α < μ es club en κ. Elija un 0-inaccesible por encima del umbral, llámelo α 0 . Luego elija un α 0 -inaccesible, llámelo α 1 . Siga repitiendo esto y tomando límites en límites hasta que llegue a un punto fijo, llámelo μ. Entonces μ tiene la propiedad requerida (ser un límite simultáneo de α-inaccesibles para todo α < μ) y es menor que κ por regularidad. Los límites de tales cardinales también tienen la propiedad, por lo que el conjunto de ellos es club en κ. Por Mahlo-ness de κ, hay un inaccesible en este conjunto y es hiper-inaccesible. Por lo tanto, κ es 1-hiperinaccesible. Podemos intersecar este mismo conjunto de clubes con el conjunto estacionario menor que κ para obtener un conjunto estacionario de hiperinaccesibles menor que κ.

El resto de la prueba de que κ es α-hiperinaccesible imita la prueba de que es α-inaccesible. Por lo tanto, κ es hiperhiperinaccesible, etc.

Cardenales α-Mahlo, hiper-Mahlo y enormemente Mahlo

El término α-Mahlo es ambiguo y diferentes autores dan definiciones no equivalentes. Una definición es que un cardinal κ se llama α-Mahlo para algún ordinal α si κ es fuertemente inaccesible y para cada ordinal β<α, el conjunto de cardinales β-Mahlo por debajo de κ es estacionario en κ. [1] p. 3 Sin embargo, la condición "κ es fuertemente inaccesible" a veces se reemplaza por otras condiciones, como "κ es regular" o "κ es débilmente inaccesible" o "κ es Mahlo". Podemos definir "hiper-Mahlo", "α-hiper-Mahlo", "hiper-hiper-Mahlo", "débilmente α-Mahlo", "débilmente hiper-Mahlo", "débilmente α-hiper-Mahlo", y así sucesivamente, por analogía con las definiciones de inaccesibles, así por ejemplo un cardinal κ se llama hiper-Mahlo si es κ-Mahlo.

Un cardinal regular incontable κ es en gran medida Mahlo si y solo si hay un filtro κ-completo normal (es decir, no trivial y cerrado bajo intersecciones diagonales ) en el conjunto potencia de κ que está cerrado bajo la operación de Mahlo, que asigna el conjunto de ordinales S a {α S : α tiene cofinalidad incontable y S∩α es estacionario en α}

Para α < κ + , defina los subconjuntos M α (κ) ⊆ κ inductivamente de la siguiente manera:

Aunque la definición exacta depende de una elección de subconjunto cofinal para cada α < κ + de cofinalidad κ, cualquier elección dará la misma secuencia de subconjuntos módulo el ideal no estacionario.

Para δ ≤ κ + , κ se llama entonces δ-Mahlo si y solo si M α (κ) es estacionario en κ para todo α < δ. Un cardinal κ es κ + -Mahlo si y solo si es muy Mahlo.

Las propiedades de ser inaccesible, Mahlo, débilmente Mahlo, α-Mahlo, gran Mahlo, etc. se conservan si reemplazamos el universo por un modelo interno .

Cada cardenal reflector tiene estrictamente más fuerza de consistencia que un Mahlo grande, pero los cardenales reflectores inaccesibles no son en general Mahlo - ver https://mathoverflow.net/q/212597

La operación Mahlo

Si X es una clase de ordinales, entonces podemos formar una nueva clase de ordinales M ( X ) que consiste en los ordinales α de cofinalidad incontable tales que α∩ X es estacionario en α. Esta operación M se llama operación de Mahlo . Puede usarse para definir cardinales de Mahlo: por ejemplo, si X es la clase de cardinales regulares, entonces M ( X ) es la clase de cardinales de Mahlo débil. La condición de que α tiene cofinalidad incontable asegura que los subconjuntos no acotados cerrados de α sean cerrados bajo intersección y formen así un filtro; en la práctica, los elementos de X a menudo ya tienen cofinalidad incontable, en cuyo caso esta condición es redundante. Algunos autores añaden la condición de que α esté en X , lo que en la práctica suele suponer poca diferencia, ya que a menudo se satisface automáticamente.

Para un cardinal regular incontable fijo κ, la operación de Mahlo induce una operación en el álgebra de Boole de todos los subconjuntos de κ módulo el ideal no estacionario.

La operación Mahlo se puede iterar transfinitamente de la siguiente manera:

Estas operaciones de Mahlo iteradas producen las clases de cardenales α-Mahlo comenzando con la clase de cardenales fuertemente inaccesibles.

También es posible diagonalizar este proceso definiendo

Y, por supuesto, este proceso de diagonalización también se puede repetir. La operación Mahlo diagonalizada produce los cardinales hiper-Mahlo, y así sucesivamente.

Los cardenales de Mahlo y los principios de reflexión

El axioma F es la afirmación de que toda función normal sobre los ordinales tiene un punto fijo regular. (Este no es un axioma de primer orden ya que cuantifica sobre todas las funciones normales, por lo que puede considerarse como un axioma de segundo orden o como un esquema axiomático). Un cardinal se llama Mahlo si toda función normal sobre él tiene un punto fijo regular [ cita requerida ] , por lo que el axioma F en cierto sentido dice que la clase de todos los ordinales es Mahlo. [ cita requerida ] Un cardinal κ es Mahlo si y solo si una forma de segundo orden del axioma F se cumple en V κ . [ cita requerida ] El axioma F es a su vez equivalente a la afirmación de que para cualquier fórmula φ con parámetros existen ordinales α inaccesibles arbitrariamente grandes tales que V α refleja φ (en otras palabras, φ se cumple en V α si y sólo si se cumple en todo el universo) (Drake 1974, capítulo 4).

Apariencia en diagonalización de Borel

Harvey Friedman  (1981) ha demostrado que la existencia de cardinales de Mahlo es una suposición necesaria en cierto sentido para probar ciertos teoremas sobre funciones de Borel en productos del intervalo unitario cerrado.

Sea , el producto cartesiano iterado -fold del intervalo unitario cerrado consigo mismo. El grupo de todas las permutaciones de que se mueven solo un número finito de números naturales puede verse como actuando sobre permutando coordenadas. La acción del grupo también actúa diagonalmente sobre cualquiera de los productos , al definir un abuso de notación . Para , sea si y están en la misma órbita bajo esta acción diagonal.

Sea una función de Borel tal que para cualquier y , si entonces . Entonces existe una sucesión tal que para todas las sucesiones de índices , es la primera coordenada de . Este teorema es demostrable en , pero no en ninguna teoría para algún . [2]

Véase también

Notas

  1. ^ W. Boos, Cardenales grandes no estándar (1971).
  2. ^ Friedman 1981, pág. 253.

Referencias