La metamatemática es el estudio de las matemáticas en sí mismas utilizando métodos matemáticos. Este estudio produce metateorías , que son teorías matemáticas sobre otras teorías matemáticas. El énfasis en la metamatemática (y quizás la creación del término en sí) se debe al intento de David Hilbert de asegurar los fundamentos de las matemáticas a principios del siglo XX. La metamatemática proporciona "una técnica matemática rigurosa para investigar una gran variedad de problemas básicos para las matemáticas y la lógica " (Kleene 1952, p. 59). Una característica importante de la metamatemática es su énfasis en diferenciar entre el razonamiento desde dentro de un sistema y desde fuera de un sistema. Una ilustración informal de esto es categorizar la proposición "2+2=4" como perteneciente a las matemáticas mientras que categoriza la proposición "'2+2=4' es válido" como perteneciente a la metamatemática.
Los metateoremas metamatemáticos sobre las matemáticas en sí se diferenciaron originalmente de los teoremas matemáticos ordinarios en el siglo XIX para centrarse en lo que entonces se llamó la crisis fundacional de las matemáticas . La paradoja de Richard (Richard 1905) relativa a ciertas "definiciones" de números reales en el idioma inglés es un ejemplo del tipo de contradicciones que pueden ocurrir fácilmente si uno no logra distinguir entre matemáticas y metamatemáticas. Algo similar puede decirse sobre la conocida paradoja de Russell (¿Se contiene a sí mismo el conjunto de todos aquellos conjuntos que no se contienen a sí mismos?).
La metamatemática estaba íntimamente relacionada con la lógica matemática , de modo que las primeras historias de ambos campos, a finales del siglo XIX y principios del XX, se superponen en gran medida. Más recientemente, la lógica matemática ha incluido a menudo el estudio de nuevas matemáticas puras, como la teoría de conjuntos , la teoría de categorías , la teoría de la recursión y la teoría de modelos puros .
La reflexión metamatemática seria comenzó con el trabajo de Gottlob Frege , especialmente su Begriffsschrift , publicada en 1879.
David Hilbert fue el primero en invocar el término "metamatemática" con regularidad (véase el programa de Hilbert ), a principios del siglo XX. En sus manos, significaba algo parecido a la teoría de la demostración contemporánea , en la que se utilizan métodos finitarios para estudiar varios teoremas matemáticos axiomatizados (Kleene 1952, p. 55).
Otras figuras destacadas en este campo incluyen a Bertrand Russell , Thoralf Skolem , Emil Post , Alonzo Church , Alan Turing , Stephen Kleene , Willard Quine , Paul Benacerraf , Hilary Putnam , Gregory Chaitin , Alfred Tarski , Paul Cohen y Kurt Gödel .
Hoy en día, la metalógica y la metamatemática se superponen ampliamente, y ambas han sido subsumidas sustancialmente por la lógica matemática en el ámbito académico.
El descubrimiento de la geometría hiperbólica tuvo importantes consecuencias filosóficas para la metamatemática. Antes de su descubrimiento sólo existían una geometría y una matemática; la idea de que existiera otra geometría se consideraba improbable.
Cuando Gauss descubrió la geometría hiperbólica, se dice que no publicó nada sobre ella por miedo al "alboroto de los beocios ", que arruinaría su condición de princeps mathematicorum (del latín, "el príncipe de los matemáticos"). [1] El "alboroto de los beocios" vino y se fue, y dio un impulso a las metamatemáticas y grandes mejoras en el rigor matemático , la filosofía analítica y la lógica .
Begriffsschrift (que en alemán significa, aproximadamente, "escritura conceptual") es un libro sobre lógica de Gottlob Frege , publicado en 1879, y el sistema formal expuesto en ese libro.
Begriffsschrift se traduce habitualmente como escritura de conceptos o notación de conceptos ; el título completo del libro lo identifica como "un lenguaje de fórmulas , modelado sobre el de la aritmética , del pensamiento puro ". La motivación de Frege para desarrollar su enfoque formal de la lógica se parecía a la motivación de Leibniz para su cálculo razonador (a pesar de que, en su prólogo, Frege niega claramente que haya alcanzado este objetivo, y también que su objetivo principal sería construir un lenguaje ideal como el de Leibniz, lo que Frege declara ser una tarea bastante difícil e idealista, sin embargo, no imposible). Frege continuó empleando su cálculo lógico en su investigación sobre los fundamentos de las matemáticas , realizada durante el siguiente cuarto de siglo.
Principia Mathematica, o "PM", como se abrevia a menudo, fue un intento de describir un conjunto de axiomas y reglas de inferencia en lógica simbólica a partir de los cuales se pudieran demostrar, en principio, todas las verdades matemáticas. Como tal, este ambicioso proyecto es de gran importancia en la historia de las matemáticas y la filosofía, [2] siendo uno de los principales productos de la creencia de que tal empresa podría lograrse. Sin embargo, en 1931, el teorema de incompletitud de Gödel demostró definitivamente que PM, y de hecho cualquier otro intento, nunca podría lograr este objetivo; es decir, para cualquier conjunto de axiomas y reglas de inferencia propuestos para encapsular las matemáticas, de hecho habría algunas verdades matemáticas que no podrían deducirse de ellos.
Una de las principales inspiraciones y motivaciones para la paradoja de Russell fue el trabajo anterior de Gottlob Frege sobre lógica, que Russell descubrió que permitía la construcción de conjuntos paradójicos . La paradoja de Russell intentó evitar este problema al descartar la creación sin restricciones de conjuntos arbitrarios. Esto se logró reemplazando la noción de un conjunto general con la noción de una jerarquía de conjuntos de diferentes " tipos ", un conjunto de un cierto tipo solo podía contener conjuntos de tipos estrictamente inferiores. Sin embargo, las matemáticas contemporáneas evitan paradojas como la de Russell de formas menos difíciles de manejar, como el sistema de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel .
Los teoremas de incompletitud de Gödel son dos teoremas de lógica matemática que establecen limitaciones inherentes de todos los sistemas axiomáticos capaces de hacer aritmética , excepto los más triviales . Los teoremas, demostrados por Kurt Gödel en 1931, son importantes tanto en lógica matemática como en filosofía de las matemáticas . Los dos resultados se interpretan ampliamente, pero no universalmente, como una demostración de que el programa de Hilbert para encontrar un conjunto completo y consistente de axiomas para todas las matemáticas es imposible, lo que da una respuesta negativa al segundo problema de Hilbert .
El primer teorema de incompletitud establece que ningún sistema consistente de axiomas cuyos teoremas puedan enumerarse mediante un " procedimiento eficaz " (por ejemplo, un programa informático, pero podría ser cualquier tipo de algoritmo) es capaz de demostrar todas las verdades sobre las relaciones de los números naturales ( aritmética ). Para cualquier sistema de este tipo, siempre habrá afirmaciones sobre los números naturales que sean verdaderas, pero que no sean demostrables dentro del sistema. El segundo teorema de incompletitud, una extensión del primero, muestra que un sistema de este tipo no puede demostrar su propia consistencia.
El esquema T o esquema de verdad (que no debe confundirse con la « Convención T ») se utiliza para dar una definición inductiva de la verdad que se encuentra en el corazón de cualquier realización de la teoría semántica de la verdad de Alfred Tarski . Algunos autores se refieren a él como el «Esquema de Equivalencia», un sinónimo introducido por Michael Dummett . [3]
El esquema T se expresa a menudo en lenguaje natural , pero se puede formalizar en lógica de predicados multiclasificados o lógica modal ; dicha formalización se denomina teoría T. Las teorías T forman la base de mucho trabajo fundamental en lógica filosófica , donde se aplican en varias controversias importantes en filosofía analítica .
Como se expresa en lenguaje seminatural (donde 'S' es el nombre de la oración abreviado como S): 'S' es verdadero si y solo si S
Ejemplo: 'la nieve es blanca' es verdadero si y sólo si la nieve es blanca.
El Entscheidungsproblem ( en alemán , " problema de decisión ") es un desafío planteado por David Hilbert en 1928. [4] El Entscheidungsproblem pide un algoritmo que tome como entrada un enunciado de una lógica de primer orden (posiblemente con un número finito de axiomas más allá de los axiomas habituales de la lógica de primer orden) y responda "Sí" o "No" según si el enunciado es universalmente válido , es decir, válido en toda estructura que satisfaga los axiomas. Por el teorema de completitud de la lógica de primer orden , un enunciado es universalmente válido si y solo si puede deducirse de los axiomas, por lo que el Entscheidungsproblem también puede verse como un algoritmo que pide decidir si un enunciado dado es demostrable a partir de los axiomas utilizando las reglas de la lógica.
En 1936, Alonzo Church y Alan Turing publicaron artículos independientes [5] que demostraban que una solución general al Entscheidungsproblem es imposible, suponiendo que la notación intuitiva de " efectivamente calculable " está capturada por las funciones computables por una máquina de Turing (o equivalentemente, por aquellas expresables en el cálculo lambda ). Esta suposición ahora se conoce como la tesis de Church-Turing .
