Universo construible

Clase particular de conjuntos que pueden describirse completamente en términos de conjuntos más simples

En matemáticas , en la teoría de conjuntos , el universo construible (o universo construible de Gödel ), denotado por , es una clase particular de conjuntos que se pueden describir completamente en términos de conjuntos más simples. es la unión de la jerarquía construible . Fue introducido por Kurt Gödel en su artículo de 1938 "La consistencia del axioma de elección y de la hipótesis del continuo generalizada". ^[1] En este artículo, demostró que el universo construible es un modelo interno de la teoría de conjuntos ZF (es decir, de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección excluido), y también que el axioma de elección y la hipótesis del continuo generalizada son verdaderas en el universo construible. Esto muestra que ambas proposiciones son consistentes con los axiomas básicos de la teoría de conjuntos, si ZF en sí es consistente. Dado que muchos otros teoremas solo se cumplen en sistemas en los que una o ambas proposiciones son verdaderas, su consistencia es un resultado importante. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$

¿Qué es L?

${\displaystyle L}$puede pensarse como construido en "etapas" similares a la construcción del universo de von Neumann , . Las etapas están indexadas por ordinales . En el universo de von Neumann, en una etapa sucesora , se toma como el conjunto de todos los subconjuntos de la etapa anterior, . Por el contrario, en el universo construible de Gödel , se utilizan solo aquellos subconjuntos de la etapa anterior que son: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle V_{\alpha }}$ ${\displaystyle L}$

• definible mediante una fórmula en el lenguaje formal de la teoría de conjuntos,
• con parámetros de la etapa anterior y,
• con los cuantificadores interpretados para abarcar la etapa anterior.

Al limitarse a conjuntos definidos únicamente en términos de lo que ya se ha construido, se asegura que los conjuntos resultantes se construirán de una manera independiente de las peculiaridades del modelo circundante de teoría de conjuntos y que estarán contenidos en cualquier modelo de ese tipo.

Defina el operador Def: ^[2]

$${\displaystyle \operatorname {Def} (X):={\Bigl \{}\{y\mid y\in X{\text{ and }}(X,\in )\models \Phi (y,z_{1},\ldots ,z_{n})\}~{\Big |}~\Phi {\text{ is a first-order formula and }}z_{1},\ldots ,z_{n}\in X{\Bigr \}}.}$$

${\displaystyle L}$se define por recursión transfinita de la siguiente manera:

• ${\displaystyle L_{0}:=\varnothing .}$
• ${\displaystyle L_{\alpha +1}:=\operatorname {Def} (L_{\alpha }).}$
• Si es un ordinal límite , entonces Aquí significa precede . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle L_{\lambda }:=\bigcup _{\alpha <\lambda }L_{\alpha }.}$ ${\displaystyle \alpha <\lambda }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \lambda }$
• ${\displaystyle L:=\bigcup _{\alpha \in \mathbf {Ord} }L_{\alpha }.}$Aquí Ord denota la clase de todos los ordinales.

Si es un elemento de , entonces . ^[3] Por lo tanto , es un subconjunto de , que es un subconjunto del conjunto potencia de . En consecuencia, esta es una torre de conjuntos transitivos anidados . Pero en sí misma es una clase propia . ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle z=\{y\in L_{\alpha }\ {\text{and}}\ y\in z\}\in {\textrm {Def}}(L_{\alpha })=L_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle L_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle L}$

Los elementos de se llaman conjuntos "construibles"; y en sí mismo es el "universo construible". El " axioma de constructibilidad ", también conocido como " ", dice que todo conjunto (de ) es construible, es decir, en . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V=L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$

Datos adicionales sobre los conjuntos Lalfa

Una definición equivalente para es: ${\displaystyle L_{\alpha }}$

Para cualquier ordinal , . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle L_{\alpha }=\bigcup _{\beta <\alpha }\operatorname {Def} (L_{\beta })\!}$

Para cualquier ordinal finito , los conjuntos y son los mismos (sean iguales o no), y por lo tanto = : sus elementos son exactamente los conjuntos finitos hereditarios . La igualdad más allá de este punto no se cumple. Incluso en modelos de ZFC en los que es igual a , es un subconjunto propio de , y a partir de entonces es un subconjunto propio del conjunto potencia de para todo . Por otro lado, implica que es igual a si , por ejemplo si es inaccesible. De manera más general, implica = para todos los cardinales infinitos . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle L_{n}}$ ${\displaystyle V_{n}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L_{\omega }}$ ${\displaystyle V_{\omega }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L_{\omega +1}}$ ${\displaystyle V_{\omega +1}}$ ${\displaystyle L_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha >\omega }$ ${\displaystyle V=L}$ ${\displaystyle V_{\alpha }}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha =\omega _{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle V=L}$ ${\displaystyle H_{\alpha }}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$

Si es un ordinal infinito, entonces existe una biyección entre y , y la biyección es construible. Por lo tanto, estos conjuntos son equinumerosos en cualquier modelo de teoría de conjuntos que los incluya. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$

Como se definió anteriormente, es el conjunto de subconjuntos de definidos por fórmulas (con respecto a la jerarquía de Levy , es decir, fórmulas de la teoría de conjuntos que contienen solo cuantificadores acotados ) que usan como parámetros únicamente y sus elementos. ^[4] ${\displaystyle {\textrm {Def}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Delta _{0}}$ ${\displaystyle X}$

Otra definición, debida a Gödel, caracteriza a cada como la intersección del conjunto potencia de con la clausura de bajo una colección de nueve funciones explícitas, similar a las operaciones de Gödel . Esta definición no hace referencia a la definibilidad. ${\displaystyle L_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle L_{\alpha }\cup \{L_{\alpha }\}}$

Todos los subconjuntos aritméticos de y las relaciones en pertenecen a (porque la definición aritmética da uno en ). A la inversa, cualquier subconjunto de perteneciente a es aritmético (porque los elementos de pueden codificarse mediante números naturales de tal manera que sea definible, es decir, aritmético). Por otra parte, ya contiene ciertos subconjuntos no aritméticos de , como el conjunto de (los números naturales codifican) enunciados aritméticos verdaderos (esto puede definirse a partir de por lo que está en ). ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle L_{\omega +1}}$ ${\displaystyle L_{\omega +1}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle L_{\omega +1}}$ ${\displaystyle L_{\omega }}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle L_{\omega +2}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle L_{\omega +1}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle L_{\omega +2}}$

Todos los subconjuntos hiperaritméticos de y las relaciones en pertenecen a (donde representa el ordinal de Church-Kleene ), y a la inversa, cualquier subconjunto de que pertenece a es hiperaritmético. ^[5] ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle L_{\omega _{1}^{\mathrm {CK} }}}$ ${\displaystyle \omega _{1}^{\mathrm {CK} }}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle L_{\omega _{1}^{\mathrm {CK} }}}$

L es un modelo interno estándar de ZFC

${\displaystyle (L,\in )}$es un modelo estándar, es decir, es una clase transitiva y la interpretación utiliza la relación de elementos reales, por lo que está bien fundamentada . es un modelo interno, es decir, contiene todos los números ordinales de y no tiene conjuntos "extra" más allá de los de . Sin embargo, podría ser estrictamente una subclase de . es un modelo de ZFC , lo que significa que satisface los siguientes axiomas : ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$

• Axioma de regularidad : Todo conjunto no vacío contiene algún elemento tal que y son conjuntos disjuntos. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle (L,\in )}$es una subestructura de , que está bien fundada, por lo que está bien fundada. En particular, si , entonces por la transitividad de , . Si usamos esto igual que en , entonces sigue siendo disjunto de porque estamos usando la misma relación de elementos y no se agregaron nuevos conjuntos. ${\displaystyle (V,\in )}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle y\in x\in L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle y\in L}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x}$

• Axioma de extensionalidad : Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos.

Si y están en y tienen los mismos elementos en , entonces por la transitividad de , tienen los mismos elementos (en ). Por lo tanto, son iguales (en y, por lo tanto, en ). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$

• Axioma del conjunto vacío : {} es un conjunto.

${\displaystyle \{\}=L_{0}=\{y\mid y\in L_{0}\land y=y\}}$, que está en . Por lo tanto . Dado que la relación entre elementos es la misma y no se agregaron elementos nuevos, este es el conjunto vacío de . ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle \{\}\in L}$ ${\displaystyle L}$

• Axioma de emparejamiento : Si , son conjuntos, entonces es un conjunto. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \{x,y\}}$

Si y , entonces existe algún ordinal tal que y . Entonces . Por lo tanto y tiene el mismo significado para que para . ${\displaystyle x\in L}$ ${\displaystyle y\in L}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle x\in L_{\alpha }}$ ${\displaystyle y\in L_{\alpha }}$ ${\displaystyle \{x,y\}=\{s\mid s\in L_{\alpha }\;\mathrm {and} \;(s=x\;\mathrm {or} \;s=y)\}\in L_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle \{x,y\}\in L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$

• Axioma de unión : Para cualquier conjunto existe un conjunto cuyos elementos son precisamente los elementos de los elementos de . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

Si , entonces sus elementos están en y sus elementos también están en . Por lo tanto es un subconjunto de . Entonces . Por lo tanto . ${\displaystyle x\in L_{\alpha }}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle y=\{s\mid s\in L_{\alpha }\;\mathrm {and} \;\mathrm {there} \;\mathrm {exists} \;z\in x\;\mathrm {such} \;\mathrm {that} \;s\in z\}\in L_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle y\in L}$

• Axioma de infinito : Existe un conjunto tal que está en y siempre que está en , también lo está la unión . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y\cup \{y\}}$

La inducción transfinita se puede utilizar para demostrar que cada ordinal está en . En particular, y por lo tanto . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle L_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle \omega \in L_{\omega +1}}$ ${\displaystyle \omega \in L}$

• Axioma de separación : Dado cualquier conjunto y cualquier proposición , es un conjunto. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P(x,z_{1},\ldots ,z_{n})}$ ${\displaystyle \{x\mid x\in S\;\mathrm {and} \;P(x,z_{1},\ldots ,z_{n})\}}$

Por inducción sobre subfórmulas de , se puede demostrar que existe un tal que contiene y y ( es verdadero en si y sólo si es verdadero en ), este último se llama " principio de reflexión "). Por lo tanto = . Por lo tanto, el subconjunto está en . ^[6] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \{x\mid x\in S\;\mathrm {and} \;P(x,z_{1},\ldots ,z_{n})\;\mathrm {holds} \;\mathrm {in} \;L\}}$ ${\displaystyle \{x\mid x\in L_{\alpha }\;\mathrm {and} \;x\in S\;\mathrm {and} \;P(x,z_{1},\ldots ,z_{n})\;\mathrm {holds} \;\mathrm {in} \;L_{\alpha }\}\in L_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle L}$

• Axioma de reemplazo : Dado cualquier conjunto y cualquier aplicación (definida formalmente como una proposición donde e implica ), es un conjunto. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P(x,y)}$ ${\displaystyle P(x,y)}$ ${\displaystyle P(x,z)}$ ${\displaystyle y=z}$ ${\displaystyle \{y\mid \;\mathrm {there} \;\mathrm {exists} \;x\in S\;\mathrm {such} \;\mathrm {that} \;P(x,y)\}}$

Sea la fórmula que relativiza a , es decir, todos los cuantificadores en están restringidos a . es una fórmula mucho más compleja que , pero sigue siendo una fórmula finita, y dado que era una aplicación sobre , debe ser una aplicación sobre ; por lo tanto, podemos aplicar el reemplazo en a . Entonces = es un conjunto en y una subclase de . Nuevamente, utilizando el axioma de reemplazo en , podemos mostrar que debe haber un tal que este conjunto sea un subconjunto de . Luego, se puede utilizar el axioma de separación en para terminar de mostrar que es un elemento de ${\displaystyle Q(x,y)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \{y\mid y\in L\;\mathrm {and} \;\mathrm {there} \;\mathrm {exists} \;x\in S\;\mathrm {such} \;\mathrm {that} \;P(x,y)\;\mathrm {holds} \;\mathrm {in} \;L\}}$ ${\displaystyle \{y\mid \mathrm {there} \;\mathrm {exists} \;\mathrm {x} \in S\;\mathrm {such} \;\mathrm {that} \;Q(x,y)\}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle L_{\alpha }\in L_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

• Axioma del conjunto potencia : Para cualquier conjunto existe un conjunto , tal que los elementos de son precisamente los subconjuntos de . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

En general, algunos subconjuntos de un conjunto en no estarán en . Por lo tanto, el conjunto potencia completo de un conjunto en normalmente no estará en . Lo que necesitamos aquí es demostrar que la intersección del conjunto potencia con está en . Utilice el reemplazo en para demostrar que hay un α tal que la intersección es un subconjunto de . Entonces la intersección es . Por lo tanto, el conjunto requerido está en . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle \{z\mid z\in L_{\alpha }\;\mathrm {and} \;z\;\mathrm {is} \;\mathrm {a} \;\mathrm {subset} \;\mathrm {of} \;x\}\in L_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle L}$

• Axioma de elección : Dado un conjunto de conjuntos no vacíos mutuamente disjuntos, existe un conjunto (un conjunto de elección para ) que contiene exactamente un elemento de cada miembro de . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Se puede demostrar que existe un buen ordenamiento definible de L , en particular basado en ordenar todos los conjuntos en por sus definiciones y por el rango en el que aparecen. Por lo tanto, se elige el elemento menor de cada miembro de para formar utilizando los axiomas de unión y separación en ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle L}$

Nótese que la prueba de que es un modelo de ZFC solo requiere que sea un modelo de ZF, es decir, no asumimos que el axioma de elección se cumple en . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

L es absoluta y mínima

Si es cualquier modelo estándar de ZF que comparte los mismos ordinales que , entonces el definido en es el mismo que el definido en . En particular, es el mismo en y , para cualquier ordinal . Y las mismas fórmulas y parámetros en producen los mismos conjuntos construibles en . ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \mathrm {Def} (L_{\alpha })}$ ${\displaystyle L_{\alpha +1}}$

Además, dado que es una subclase de y, de manera similar, es una subclase de , es la clase más pequeña que contiene todos los ordinales que es un modelo estándar de ZF. De hecho, es la intersección de todas esas clases. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

Si hay un conjunto en que es un modelo estándar de ZF, y el ordinal es el conjunto de ordinales que ocurren en , entonces es el de . Si hay un conjunto que es un modelo estándar de ZF, entonces el conjunto más pequeño de tales conjuntos es tal que . Este conjunto se llama modelo mínimo de ZFC. Usando el teorema de Löwenheim-Skolem descendente , se puede demostrar que el modelo mínimo (si existe) es un conjunto numerable. ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle L_{\kappa }}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle L_{\kappa }}$

Por supuesto, cualquier teoría consistente debe tener un modelo, por lo que incluso dentro del modelo mínimo de la teoría de conjuntos hay conjuntos que son modelos de ZF (suponiendo que ZF sea consistente). Sin embargo, esos modelos de conjuntos no son estándar. En particular, no utilizan la relación de elementos normal y no están bien fundamentados.

Como tanto " construido dentro de " como " construido dentro de " dan como resultado lo real , y tanto el de como el de son lo real , obtenemos que es cierto en y en cualquier modelo de ZF. Sin embargo, no se cumple en ningún otro modelo estándar de ZF. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L_{\kappa }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L_{\kappa }}$ ${\displaystyle L_{\kappa }}$ ${\displaystyle V=L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L_{\kappa }}$ ${\displaystyle V=L}$

L y grandes cardenales

Dado que , las propiedades de los ordinales que dependen de la ausencia de una función u otra estructura (es decir, fórmulas) se conservan al descender de a . Por lo tanto, los ordinales iniciales de los cardinales permanecen iniciales en . Los ordinales regulares permanecen regulares en . Los cardinales límite débiles se convierten en cardinales límite fuertes en porque la hipótesis del continuo generalizado se cumple en . Los cardinales débilmente inaccesibles se convierten en fuertemente inaccesibles. Los cardinales débilmente de Mahlo se convierten en fuertemente de Mahlo. Y, de forma más general, cualquier propiedad cardinal grande más débil que 0 # (consulte la lista de propiedades cardinales grandes ) se conservará en . ${\displaystyle \mathrm {Ord} \subset L\subseteq V}$ ${\displaystyle \Pi _{1}^{\mathrm {ZF} }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

Sin embargo, es falso en incluso si es verdadero en . Por lo tanto, todos los cardinales grandes cuya existencia implica dejan de tener esas propiedades cardinales grandes, pero conservan las propiedades más débiles que las que también poseen. Por ejemplo, los cardinales medibles dejan de ser medibles pero siguen siendo Mahlo en . ${\displaystyle 0^{\sharp }}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 0^{\sharp }}$ ${\displaystyle 0^{\sharp }}$ ${\displaystyle L}$

Si se cumple en , entonces hay una clase cerrada e ilimitada de ordinales que son indiscernibles en . Si bien algunos de estos ni siquiera son ordinales iniciales en , tienen todas las propiedades cardinales grandes más débiles que en . Además, cualquier función de clase estrictamente creciente de la clase de indiscernibles a sí misma se puede extender de una manera única a una incrustación elemental de en . ^{[ cita requerida ]} Esto da una bonita estructura de segmentos repetidos. ${\displaystyle 0^{\sharp }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 0^{\sharp }}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

L puede estar bien ordenada

Existen varias formas de ordenar correctamente . Algunas de ellas implican la "estructura fina" de , que fue descrita por primera vez por Ronald Bjorn Jensen en su artículo de 1972 titulado "La estructura fina de la jerarquía construible". En lugar de explicar la estructura fina, daremos un esquema de cómo se podría ordenar correctamente utilizando únicamente la definición dada anteriormente. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

Supongamos que y son dos conjuntos diferentes en y deseamos determinar si o . Si aparece primero en y aparece primero en y es diferente de , entonces sea < si y solo si . De aquí en adelante, suponemos que . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x<y}$ ${\displaystyle x>y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle L_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle L_{\beta +1}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \alpha <\beta }$ ${\displaystyle \beta =\alpha }$

La etapa utiliza fórmulas con parámetros de para definir los conjuntos y . Si se descuentan (por el momento) los parámetros, se puede dar a las fórmulas una numeración de Gödel estándar mediante los números naturales. Si es la fórmula con el número de Gödel más pequeño que se puede usar para definir , y es la fórmula con el número de Gödel más pequeño que se puede usar para definir , y es diferente de , entonces sea < si y solo si en la numeración de Gödel. De aquí en adelante, suponemos que . ${\displaystyle L_{\alpha +1}=\mathrm {Def} (L_{\alpha })}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \Phi <\Psi }$ ${\displaystyle \Psi =\Phi }$

Supongamos que utiliza parámetros de . Supongamos que es la secuencia de parámetros que se puede utilizar con para definir , y hace lo mismo para . Entonces sea si y solo si o ( y ) o ( y y ), etc. Esto se llama ordenamiento lexicográfico inverso ; si hay múltiples secuencias de parámetros que definen uno de los conjuntos, elegimos el menor de ellos según este ordenamiento. Entendiendo que los valores posibles de cada parámetro se ordenan de acuerdo con la restricción del ordenamiento de a , por lo que esta definición implica recursión transfinita en . ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x<y}$ ${\displaystyle z_{n}<w_{n}}$ ${\displaystyle z_{n}=w_{n}}$ ${\displaystyle z_{n-1}<w_{n-1}}$ ${\displaystyle z_{n}=w_{n}}$ ${\displaystyle z_{n-1}=w_{n-1}}$ ${\displaystyle z_{n-2}<w_{n-2}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$

La hipótesis inductiva de la inducción transfinita proporciona el orden correcto de los valores de parámetros individuales. Los valores de -tuplas de parámetros están bien ordenados por el orden del producto. Las fórmulas con parámetros están bien ordenadas por la suma ordenada (por números de Gödel) de los ordenamientos correctos. Y está bien ordenada por la suma ordenada (indexada por ) de los ordenamientos en . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle L_{\alpha +1}}$

Nótese que este buen ordenamiento puede definirse en sí mismo mediante una fórmula de teoría de conjuntos sin parámetros, solo las variables libres y . Y esta fórmula da el mismo valor de verdad independientemente de si se evalúa en , , o (algún otro modelo estándar de ZF con los mismos ordinales) y supondremos que la fórmula es falsa si o no está en . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle L}$

Es bien sabido que el axioma de elección es equivalente a la capacidad de ordenar correctamente cada conjunto. Ser capaz de ordenar correctamente la clase adecuada (como hemos hecho aquí con ) es equivalente al axioma de elección global , que es más poderoso que el axioma de elección ordinario porque también cubre las clases propias de conjuntos no vacíos. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$

yotiene un principio de reflexión

Para demostrar que se cumplen los axiomas de separación , de reemplazo y de elección , se requiere (al menos como se muestra arriba) el uso de un principio de reflexión para . Aquí describimos dicho principio. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

Por inducción en , podemos usar ZF en para demostrar que para cualquier ordinal , hay un ordinal tal que para cualquier oración con en y que contenga menos de símbolos (contando un símbolo constante para un elemento de como un símbolo) obtenemos que se cumple en si y solo si se cumple en . ${\displaystyle n<\omega }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta >\alpha }$ ${\displaystyle P(z_{1},\ldots ,z_{k})}$ ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{k}}$ ${\displaystyle L_{\beta }}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle L_{\beta }}$ ${\displaystyle P(z_{1},\ldots ,z_{k})}$ ${\displaystyle L_{\beta }}$ ${\displaystyle L}$

La hipótesis del continuo generalizado se cumple en L

Sea , y sea cualquier subconjunto construible de . Entonces hay algunos con , por lo que , para alguna fórmula y algunos extraídos de . Por el teorema de Löwenheim-Skolem descendente y el colapso de Mostowski , debe haber algún conjunto transitivo que contenga a y algunos , y que tenga la misma teoría de primer orden que con el sustituido por el ; y este tendrá el mismo cardinal que . Como es cierto en , también es cierto en K , por lo que para algunos que tienen el mismo cardinal que . Y porque y tienen la misma teoría. Por lo que es de hecho en . ${\displaystyle S\in L_{\alpha }}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle T\in L_{\beta +1}}$ ${\displaystyle T=\{x\in L_{\beta }:x\in S\wedge \Phi (x,z_{i})\}=\{x\in S:\Phi (x,z_{i})\}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle z_{i}}$ ${\displaystyle L_{\beta }}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle w_{i}}$ ${\displaystyle L_{\beta }}$ ${\displaystyle w_{i}}$ ${\displaystyle z_{i}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle V=L}$ ${\displaystyle L_{\beta }}$ ${\displaystyle K=L_{\gamma }}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle T=\{x\in L_{\beta }:x\in S\wedge \Phi (x,z_{i})\}=\{x\in L_{\gamma }:x\in S\wedge \Phi (x,w_{i})\}}$ ${\displaystyle L_{\beta }}$ ${\displaystyle L_{\gamma }}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle L_{\gamma +1}}$

Por lo tanto, todos los subconjuntos construibles de un conjunto infinito tienen rangos con (como máximo) el mismo cardinal que el rango de ; se sigue que si es el ordinal inicial para , entonces sirve como el "conjunto potencia" de dentro de Por lo tanto, este "conjunto potencia" . Y esto a su vez significa que el "conjunto potencia" de tiene cardinal como máximo . Suponiendo que él mismo tiene cardinal , el "conjunto potencia" debe tener cardinal exactamente . Pero esta es precisamente la hipótesis del continuo generalizada relativizada a . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \kappa ^{+}}$ ${\displaystyle L\cap {\mathcal {P}}(S)\subseteq L_{\delta }}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L\cap {\mathcal {P}}(S)\in L_{\delta +1}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \vert \delta \vert }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa ^{+}}$ ${\displaystyle L}$

Los conjuntos construibles se pueden definir a partir de los ordinales.

Hay una fórmula de la teoría de conjuntos que expresa la idea de que . Tiene solo variables libres para y . Usando esto podemos expandir la definición de cada conjunto construible. Si , entonces para alguna fórmula y alguna en . Esto es equivalente a decir que: para todo , si y solo si [existe tal que y y ] donde es el resultado de restringir cada cuantificador en a . Observe que cada para algún . Combine fórmulas para los de con la fórmula para y aplique cuantificadores existenciales sobre los de fuera y uno obtiene una fórmula que define el conjunto construible usando solo los ordinales que aparecen en expresiones como como parámetros. ${\displaystyle X=L_{\alpha }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle S\in L_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle S=\{y\mid y\in L_{\alpha }\;\mathrm {and} \;\Phi (y,z_{1},\ldots ,z_{n})\;\mathrm {holds} \;\mathrm {in} \;(L_{\alpha },\in )\}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y\in S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=L_{\alpha }}$ ${\displaystyle y\in X}$ ${\displaystyle \Psi (X,y,z_{1},\ldots ,z_{n})}$ ${\displaystyle \Psi (X,\ldots )}$ ${\displaystyle \Phi (\ldots )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle z_{k}\in L_{\beta +1}}$ ${\displaystyle \beta <\alpha }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle x=L_{\alpha }}$

Ejemplo: El conjunto es construible. Es el único conjunto que satisface la fórmula: ${\displaystyle \{5,\omega \}}$ ${\displaystyle s}$

$${\displaystyle \forall y(y\in s\iff (y\in L_{\omega +1}\land (\forall a(a\in y\iff a\in L_{5}\land Ord(a))\lor \forall b(b\in y\iff b\in L_{\omega }\land Ord(b)))))}$$

donde es la abreviatura de: ${\displaystyle Ord(a)}$

$${\displaystyle \forall c\in a(\forall d\in c(d\in a\land \forall e\in d(e\in c))).}$$

En realidad, incluso esta fórmula compleja se ha simplificado a partir de lo que darían las instrucciones dadas en el primer párrafo. Pero el punto sigue siendo el mismo: hay una fórmula de la teoría de conjuntos que es verdadera solo para el conjunto construible deseado y que contiene parámetros solo para ordinales. ${\displaystyle S}$

Constructibilidad relativa

A veces es deseable encontrar un modelo de teoría de conjuntos que sea estrecho como , pero que incluya o esté influenciado por un conjunto que no sea construible. Esto da lugar al concepto de constructibilidad relativa, del que hay dos variantes, denotadas por y . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L(A)}$ ${\displaystyle L[A]}$

La clase de un conjunto no construible es la intersección de todas las clases que son modelos estándar de la teoría de conjuntos y contienen todos los ordinales. ${\displaystyle L(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle L(A)}$se define por recursión transfinita de la siguiente manera:

• ${\displaystyle L_{0}(A)}$= el conjunto transitivo más pequeño que contiene como elemento, es decir, el cierre transitivo de . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{A\}}$
• ${\displaystyle L_{\alpha +1}(A)}$= ${\displaystyle \mathrm {Def} (L_{\alpha }(A))}$
• Si es un ordinal límite, entonces . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle L_{\lambda }(A)=\bigcup _{\alpha <\lambda }L_{\alpha }(A)}$
• ${\displaystyle L(A)=\bigcup _{\alpha }L_{\alpha }(A)}$.

Si contiene un buen ordenamiento del cierre transitivo de , entonces esto puede extenderse a un buen ordenamiento de . De lo contrario, el axioma de elección fallará en . ${\displaystyle L(A)}$ ${\displaystyle \{A\}}$ ${\displaystyle L(A)}$ ${\displaystyle L(A)}$

Un ejemplo común es , el modelo más pequeño que contiene todos los números reales, que se utiliza ampliamente en la teoría de conjuntos descriptivos moderna . ${\displaystyle L(\mathbb {R} )}$

La clase es la clase de conjuntos cuya construcción está influenciada por , donde puede ser un conjunto (presumiblemente no construible) o una clase propia. La definición de esta clase utiliza , que es la misma que excepto que en lugar de evaluar la verdad de las fórmulas en el modelo , se utiliza el modelo donde es un predicado unario. La interpretación pretendida de es . Entonces la definición de es exactamente la de solo que con reemplazado por . ${\displaystyle L[A]}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathrm {Def} _{A}(X)}$ ${\displaystyle \mathrm {Def} (X)}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle (X,\in )}$ ${\displaystyle (X,\in ,A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A(y)}$ ${\displaystyle y\in A}$ ${\displaystyle L[A]}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \mathrm {Def} }$ ${\displaystyle \mathrm {Def} _{A}}$

${\displaystyle L[A]}$es siempre un modelo del axioma de elección. Incluso si es un conjunto, no es necesariamente en sí mismo un miembro de , aunque siempre lo es si es un conjunto de ordinales. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle L[A]}$ ${\displaystyle A}$

Los conjuntos en o por lo general no son realmente construibles, y las propiedades de estos modelos pueden ser bastante diferentes de las propiedades de ellos mismos. ${\displaystyle L(A)}$ ${\displaystyle L[A]}$ ${\displaystyle L}$

Véase también

• Axioma de constructibilidad
• Afirmaciones verdaderas en L
• Principio de reflexión
• Teoría de conjuntos axiomáticos
• Conjunto transitivo
• De izquierda a derecha
• Definible ordinal

Notas

1. Gödel 1938.
2. KJ Devlin, "Introducción a la estructura fina de la jerarquía construible" (1974). Consultado el 20 de febrero de 2023.
3. KJ Devlin, Constructibilidad (1984), cap. 2, "El universo construible", pág. 58. Perspectivas en lógica matemática, Springer-Verlag.
4. K. Devlin 1975, Introducción a la estructura fina de la jerarquía construible (p.2). Consultado el 12 de mayo de 2021.
5. Barwise 1975, página 60 (comentario posterior a la demostración del teorema 5.9)
6. P. Odifreddi, Teoría de la recursión clásica , pág. 427. Estudios de lógica y fundamentos de las matemáticas

Referencias

• Barwise, Jon (1975). Conjuntos y estructuras admisibles . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 0-387-07451-1.
• Devlin, Keith J. (1984). Constructibilidad . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 0-387-13258-9.
• Felgner, Ulrich (1971). Modelos de la teoría de conjuntos ZF . Apuntes de clase de matemáticas. Springer-Verlag. ISBN 3-540-05591-6.
• Gödel, Kurt (1938). "La consistencia del axioma de elección y de la hipótesis generalizada del continuo". Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 24 (12). Academia Nacional de Ciencias: 556–557. Bibcode :1938PNAS...24..556G. doi : 10.1073/pnas.24.12.556 . JSTOR  87239. PMC  1077160 . PMID  16577857.
• Gödel, Kurt (1940). La consistencia de la hipótesis del continuo. Anales de estudios matemáticos. Vol. 3. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-07927-1.Sr. 0002514  .
• Jech, Thomas (2002). Teoría de conjuntos . Springer Monographs in Mathematics (3.ª edición del milenio). Springer. ISBN 3-540-44085-2.