En teoría axiomática de conjuntos , el axioma de conjunto vacío es una afirmación que afirma la existencia de un conjunto sin elementos. Es un axioma de la teoría de conjuntos de Kripke-Platek y la variante de la teoría general de conjuntos que Burgess (2005) llama "ST", y una verdad demostrable en la teoría de conjuntos de Zermelo y la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , con o sin el axioma de elección . [1]
En el lenguaje formal de los axiomas de Zermelo-Fraenkel, el axioma dice:
o en palabras:
Podemos utilizar el axioma de extensionalidad para demostrar que sólo hay un conjunto vacío. Como es único podemos nombrarlo. Se llama conjunto vacío (denotado por {} o ∅). El axioma, expresado en lenguaje natural, es en esencia:
Esta fórmula es un teorema y se considera verdadera en todas las versiones de la teoría de conjuntos. La única controversia es sobre cómo debería justificarse: convirtiéndolo en un axioma; derivándolo de un axioma (o lógica) de existencia de conjuntos y el axioma de separación; derivándolo del axioma del infinito; o algún otro método.
En algunas formulaciones de ZF, el axioma del conjunto vacío en realidad se repite en el axioma del infinito . Sin embargo, existen otras formulaciones de ese axioma que no presuponen la existencia de un conjunto vacío. Los axiomas de ZF también se pueden escribir utilizando un símbolo constante que represente el conjunto vacío; entonces el axioma del infinito usa este símbolo sin requerir que esté vacío, mientras que el axioma del conjunto vacío es necesario para indicar que en realidad está vacío.
Además, a veces se consideran teorías de conjuntos en las que no hay conjuntos infinitos, y entonces aún puede ser necesario el axioma del conjunto vacío. Sin embargo, cualquier axioma de la teoría de conjuntos o de la lógica que implique la existencia de cualquier conjunto implicará la existencia del conjunto vacío, si se tiene el esquema del axioma de separación . Esto es cierto, ya que el conjunto vacío es un subconjunto de cualquier conjunto formado por aquellos elementos que satisfacen una fórmula contradictoria.
En muchas formulaciones de lógica de predicados de primer orden, la existencia de al menos un objeto siempre está garantizada. Si la axiomatización de la teoría de conjuntos se formula en tal sistema lógico con el esquema axiomático de separación como axiomas, y si la teoría no hace distinción entre conjuntos y otros tipos de objetos (lo cual es válido para ZF, KP y teorías similares), entonces la existencia del conjunto vacío es un teorema.
Si la separación no se postula como un esquema axioma, sino que se deriva como un esquema teorema del esquema de reemplazo (como se hace a veces), la situación es más complicada y depende de la formulación exacta del esquema de reemplazo. La formulación utilizada en el esquema axiomático del artículo de sustitución sólo permite construir la imagen F [ a ] cuando a está contenida en el dominio de la función de clase F ; entonces la derivación de la separación requiere el axioma del conjunto vacío. Por otro lado, la restricción de totalidad de F a menudo se elimina del esquema de reemplazo, en cuyo caso implica el esquema de separación sin utilizar el axioma de conjunto vacío (o cualquier otro axioma).
