Axioma del infinito

Axioma de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel

En la teoría de conjuntos axiomática y las ramas de las matemáticas y la filosofía que la utilizan, el axioma del infinito es uno de los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel . Garantiza la existencia de al menos un conjunto infinito , es decir, un conjunto que contenga los números naturales . Fue publicado por primera vez por Ernst Zermelo como parte de su teoría de conjuntos en 1908. ^[1]

Declaración formal

En el lenguaje formal de los axiomas de Zermelo-Fraenkel, el axioma es el siguiente:

${\displaystyle \exists I\ (\exists o\ (o\in I\ \land \ \lnot \exists n\ \ n\in o)\ \land \ \forall x\ (x\in I\Rightarrow \exists y\ (y\in I\ \land \ \forall a\ (a\in y\Leftrightarrow (a\in x\ \lor \ a=x)))))}$

Existe un conjunto 𝐼 (el conjunto que se postula que es infinito) tal que el conjunto vacío es un elemento del mismo y para cada elemento de 𝐼 , existe un elemento de 𝐼 que consta solo de los elementos de y de sí mismo. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Esta fórmula se puede abreviar como:

${\displaystyle \exists I\,(\varnothing \in I\,\land \,\forall x\,(x\in I\Rightarrow \,(x\cup \{x\})\in I))}$

Algunos matemáticos pueden llamar a un conjunto construido de esta manera un conjunto inductivo .

Interpretación y consecuencias.

Este axioma está estrechamente relacionado con la construcción de von Neumann de los números naturales en la teoría de conjuntos, en la que el sucesor de x se define como x ∪ { x }. Si x es un conjunto, de los otros axiomas de la teoría de conjuntos se deduce que este sucesor también es un conjunto definido de forma única. Los sucesores se utilizan para definir la codificación habitual de la teoría de conjuntos de los números naturales . En esta codificación, cero es el conjunto vacío:

0 = {}.

El número 1 es el sucesor del 0:

1 = 0 ∪ {0} = {} ∪ {0} = {0} = {{}}.

Asimismo, 2 es el sucesor de 1:

2 = 1 ∪ {1} = {0} ∪ {1} = {0, 1} = { {}, {{}} },

etcétera:

3 = {0, 1, 2} = { {}, {{}}, {{}, {{}}} };

4 = {0, 1, 2, 3} = { {}, {{}}, { {}, {{}} }, { {}, {{}}, {{}, {{}}} } }.

Una consecuencia de esta definición es que todo número natural es igual al conjunto de todos los números naturales precedentes. El recuento de elementos de cada conjunto, en el nivel superior, es el mismo que el número natural representado, y la profundidad de anidamiento del conjunto vacío más anidado {}, incluyendo su anidamiento en el conjunto que representa el número del cual es una parte, también es igual al número natural que representa el conjunto.

Esta construcción forma los números naturales. Sin embargo, los demás axiomas son insuficientes para demostrar la existencia del conjunto de todos los números naturales . Por lo tanto, su existencia se toma como un axioma: el axioma del infinito. Este axioma afirma que existe un conjunto I que contiene 0 y está cerrado bajo la operación de tomar el sucesor; es decir, para cada elemento de I , el sucesor de ese elemento también está en I. ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$

Así, la esencia del axioma es:

Hay un conjunto, I , que incluye todos los números naturales.

El axioma del infinito es también uno de los axiomas de von Neumann-Bernays-Gödel .

Extrayendo los números naturales del conjunto infinito

El conjunto infinito I es un superconjunto de los números naturales. Para demostrar que los números naturales en sí mismos constituyen un conjunto, se puede aplicar el esquema axioma de especificación para eliminar elementos no deseados, dejando el conjunto N de todos los números naturales. Este conjunto es único por el axioma de extensionalidad .

Para extraer los números naturales, necesitamos una definición de qué conjuntos son números naturales. Los números naturales se pueden definir de una manera que no asume ningún axioma excepto el axioma de extensionalidad y el axioma de inducción : un número natural es cero o un sucesor y cada uno de sus elementos es cero o un sucesor de otro de sus elementos. En lenguaje formal, la definición dice:

${\displaystyle \forall n(n\in \mathbf {N} \iff ([n=\emptyset \,\,\lor \,\,\exists k(n=k\cup \{k\})]\,\,\land \,\,\forall m\in n[m=\emptyset \,\,\lor \,\,\exists k\in n(m=k\cup \{k\})])).}$

O, aún más formalmente:

${\displaystyle \forall n(n\in \mathbf {N} \iff ([\forall k(\lnot k\in n)\lor \exists k\forall j(j\in n\iff (j\in k\lor j=k))]\;\land }$

${\displaystyle \forall m(m\in n\Rightarrow [\forall k(\lnot k\in m)\lor \exists k(k\in n\land \forall j(j\in m\iff (j\in k\lor j=k)))]))).}$

Método alternativo

Un método alternativo es el siguiente. Sea la fórmula que dice "x es inductivo"; es decir . De manera informal, lo que haremos será tomar la intersección de todos los conjuntos inductivos. Más formalmente, deseamos demostrar la existencia de un conjunto único tal que ${\displaystyle \Phi (x)}$ ${\displaystyle \Phi (x)=(\emptyset \in x\wedge \forall y(y\in x\to (y\cup \{y\}\in x)))}$ ${\displaystyle W}$

${\displaystyle \forall x(x\in W\leftrightarrow \forall I(\Phi (I)\to x\in I)).}$ (*)

Para existir, utilizaremos el Axioma del Infinito combinado con el esquema de especificación del Axioma . Sea un conjunto inductivo garantizado por el Axioma del Infinito. Luego usamos el esquema axiomático de especificación para definir nuestro conjunto , es decir, es el conjunto de todos los elementos de , que también son elementos de cualquier otro conjunto inductivo. Esto claramente satisface la hipótesis de (*), ya que si , entonces está en todo conjunto inductivo, y si está en todo conjunto inductivo, está en particular en , por lo que también debe estar en . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle W=\{x\in I:\forall J(\Phi (J)\to x\in J)\}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle x\in W}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle W}$

Para la unicidad, primero tenga en cuenta que cualquier conjunto que satisfaga (*) es en sí mismo inductivo, ya que 0 está en todos los conjuntos inductivos, y si un elemento está en todos los conjuntos inductivos, entonces, según la propiedad inductiva, también lo está su sucesor. Por lo tanto, si hubiera otro conjunto que cumpliera (*), tendríamos que desde es inductivo y desde es inductivo. De este modo . Denotemos este elemento único. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle W'}$ ${\displaystyle W'\subseteq W}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W\subseteq W'}$ ${\displaystyle W'}$ ${\displaystyle W=W'}$ ${\displaystyle \omega }$

Esta definición es conveniente porque el principio de inducción se sigue inmediatamente: si es inductivo, entonces también , de modo que . ${\displaystyle I\subseteq \omega }$ ${\displaystyle \omega \subseteq I}$ ${\displaystyle I=\omega }$

Ambos métodos producen sistemas que satisfacen los axiomas de la aritmética de segundo orden , ya que el axioma del conjunto de potencias nos permite cuantificar sobre el conjunto de potencias de , como en la lógica de segundo orden . Por lo tanto, ambos determinan completamente los sistemas isomórficos y, dado que son isomórficos según el mapa de identidad , de hecho deben ser iguales . ${\displaystyle \omega }$

Una versión aparentemente más débil

Algunos textos antiguos utilizan una versión aparentemente más débil del axioma del infinito, a saber:

${\displaystyle \exists x\,(\exists y\,(y\in x)\,\land \,\forall y(y\in x\,\rightarrow \,\exists z(z\in x\,\land \,y\subsetneq z)))\,.}$

Esto dice que hay un elemento en x y por cada elemento y de x hay otro elemento de x que es un superconjunto estricto de y . Esto implica que x es un conjunto infinito sin decir mucho sobre su estructura. Sin embargo, con la ayuda de los otros axiomas de ZF, podemos demostrar que esto implica la existencia de ω. Primero, si tomamos el conjunto de potencias de cualquier conjunto infinito x , entonces ese conjunto de potencias contendrá elementos que son subconjuntos de x de cada cardinalidad finita (entre otros subconjuntos de x ). Probar la existencia de esos subconjuntos finitos puede requerir el axioma de separación o los axiomas de emparejamiento y unión. Entonces podemos aplicar el axioma de reemplazo para reemplazar cada elemento de ese conjunto de potencias de x por el número ordinal inicial de la misma cardinalidad (o cero, si no existe tal ordinal). El resultado será un conjunto infinito de ordinales. Entonces podemos aplicar el axioma de unión a eso para obtener un ordinal mayor o igual a ω.

Independencia

El axioma del infinito no puede demostrarse a partir de los otros axiomas de ZFC si son consistentes. (Para ver por qué, tenga en cuenta que ZFC Con(ZFC − Infinity) y utilice el segundo teorema de incompletitud de Gödel .) ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle \vdash }$

La negación del axioma del infinito no puede derivarse del resto de axiomas de ZFC, si son consistentes. (Esto equivale a decir que ZFC es consistente, si los otros axiomas son consistentes.) Nosotros ^{[ ¿quién? ]} cree esto, pero no puede probarlo (si es cierto).

De hecho, utilizando el universo de von Neumann , podemos construir un modelo de ZFC − Infinity + (¬Infinity). Es la clase de conjuntos hereditariamente finitos , con la relación de membresía heredada. Tenga en cuenta que si el axioma del conjunto vacío no se toma como parte de este sistema (ya que puede derivarse de ZF + Infinity), entonces el dominio vacío también satisface ZFC − Infinity + ¬Infinity, ya que todos sus axiomas son universales. cuantificado y, por tanto, trivialmente satisfecho si no existe ningún conjunto. ${\displaystyle V_{\omega }\!}$

La cardinalidad del conjunto de números naturales, aleph nulo ( ), tiene muchas de las propiedades de un cardinal grande . Así, el axioma del infinito a veces se considera como el primer axioma cardinal importante y, a la inversa, los axiomas cardinales grandes a veces se denominan ^{[ ¿por quién? ]} axiomas de infinito más fuertes. ${\displaystyle \aleph _{0}}$

Ver también

• Axiomas de Peano
• finitismo

Referencias

1. Zermelo: Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre , 1907, en: Mathematische Annalen 65 (1908), 261-281; Axioma de los Unendlichen p. 266 y sigs.

• Paul Halmos (1960) Teoría ingenua de conjuntos . Princeton, Nueva Jersey: D. Van Nostrand Company. Reimpreso en 1974 por Springer-Verlag. ISBN  0-387-90092-6 .
• Thomas Jech (2003) Teoría de conjuntos: edición del tercer milenio, revisada y ampliada . Springer-Verlag. ISBN 3-540-44085-2 . 
• Kenneth Kunen (1980) Teoría de conjuntos: una introducción a las pruebas de independencia . Elsevier. ISBN 0-444-86839-9 . 
• Hrbaček, Karel; Jech, Thomas (1999). Introducción a la teoría de conjuntos (3 ed.). Marcel Dekker. ISBN 0-8247-7915-0.