Cardenal regular

Tipos de números cardinales en matemáticas

En teoría de conjuntos , un cardinal regular es un número cardinal que es igual a su propia cofinalidad . Más explícitamente, esto significa que es un cardinal regular si y solo si cada subconjunto no acotado tiene cardinalidad . Los cardinales infinitos bien ordenados que no son regulares se denominan cardinales singulares . Los números cardinales finitos normalmente no se denominan regulares o singulares. ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle C\subseteq \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$

En presencia del axioma de elección , cualquier número cardinal puede estar bien ordenado, y entonces los siguientes son equivalentes para un cardinal : ${\displaystyle \kappa }$

1. ${\displaystyle \kappa }$es un cardenal regular.
2. Si y para todos , entonces . ${\displaystyle \kappa =\sum _{i\in I}\lambda _{i}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}<\kappa }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle |I|\geq \kappa }$
3. Si , y si y para todos , entonces . ${\displaystyle S=\bigcup _{i\in I}S_{i}}$ ${\displaystyle |I|<\kappa }$ ${\displaystyle |S_{i}|<\kappa }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle |S|<\kappa }$
4. La categoría de conjuntos de cardinalidad menor que y todas las funciones entre ellos está cerrada bajo colímites de cardinalidad menor que . ${\displaystyle \operatorname {Set} _{<\kappa }}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$
5. ${\displaystyle \kappa }$es un ordinal regular (ver abajo)

Hablando en términos generales, esto significa que un cardinal regular es uno que no se puede descomponer en un pequeño número de partes más pequeñas.

La situación es ligeramente más complicada en contextos en los que el axioma de elección podría fallar, ya que en ese caso no todos los cardinales son necesariamente las cardinalidades de conjuntos bien ordenados. En ese caso, la equivalencia anterior se aplica únicamente a los cardinales bien ordenables.

Un ordinal infinito es un ordinal regular si es un ordinal límite que no es el límite de un conjunto de ordinales más pequeños que, como conjunto, tienen un tipo de orden menor que . Un ordinal regular es siempre un ordinal inicial , aunque algunos ordinales iniciales no son regulares, por ejemplo (consulte el ejemplo siguiente). ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \omega _{\omega }}$

Ejemplos

Los ordinales menores que son finitos. Una secuencia finita de ordinales finitos siempre tiene un máximo finito, por lo que no puede ser el límite de ninguna secuencia de tipo menor que cuyos elementos sean ordinales menores que , y por lo tanto es un ordinal regular. ( aleph-null ) es un cardinal regular porque su ordinal inicial, , es regular. También se puede ver directamente que es regular, ya que la suma cardinal de un número finito de números cardinales finitos es en sí misma finita. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega +1}$es el siguiente número ordinal mayor que . Es singular, ya que no es un ordinal límite. es el siguiente ordinal límite después de . Puede escribirse como el límite de la secuencia , , , , y así sucesivamente. Esta secuencia tiene tipo de orden , por lo que es el límite de una secuencia de tipo menor que cuyos elementos son ordinales menores que ; por lo tanto, es singular. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega +\omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega +1}$ ${\displaystyle \omega +2}$ ${\displaystyle \omega +3}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega +\omega }$ ${\displaystyle \omega +\omega }$ ${\displaystyle \omega +\omega }$

${\displaystyle \aleph _{1}}$es el siguiente número cardinal mayor que , por lo que los cardinales menores que son contables (finitos o numerables). Suponiendo el axioma de elección, la unión de un conjunto contable de conjuntos contables es en sí misma contable. Por lo tanto, no se puede escribir como la suma de un conjunto contable de números cardinales contables y es regular. ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$

${\displaystyle \aleph _{\omega }}$es el siguiente número cardinal después de la secuencia , , , , y así sucesivamente. Su ordinal inicial es el límite de la secuencia , , , , y así sucesivamente, que tiene tipo de orden , por lo que es singular, y por lo tanto es . Suponiendo el axioma de elección, es el primer cardinal infinito que es singular (el primer ordinal infinito que es singular es , y el primer ordinal límite infinito que es singular es ). Probar la existencia de cardinales singulares requiere el axioma de reemplazo , y de hecho la incapacidad de probar la existencia de en la teoría de conjuntos de Zermelo es lo que llevó a Fraenkel a postular este axioma. ^[1] ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle \aleph _{2}}$ ${\displaystyle \aleph _{3}}$ ${\displaystyle \omega _{\omega }}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$ ${\displaystyle \omega _{3}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega _{\omega }}$ ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$ ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$ ${\displaystyle \omega +1}$ ${\displaystyle \omega +\omega }$ ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$

Los cardinales límite incontables (débiles) que también son regulares se conocen como cardinales (débilmente) inaccesibles . No se puede demostrar su existencia dentro de ZFC, aunque no se sabe que su existencia sea incompatible con ZFC. Su existencia a veces se toma como un axioma adicional. Los cardinales inaccesibles son necesariamente puntos fijos de la función aleph , aunque no todos los puntos fijos son regulares. Por ejemplo, el primer punto fijo es el límite de la sucesión y, por lo tanto, es singular. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \aleph _{0},\aleph _{\omega },\aleph _{\omega _{\omega }},...}$

Propiedades

Si se cumple el axioma de elección , entonces todo cardinal sucesor es regular. Por lo tanto, la regularidad o singularidad de la mayoría de los números aleph se puede comprobar dependiendo de si el cardinal es un cardinal sucesor o un cardinal límite. No se puede demostrar que algunas cardinalidades sean iguales a ningún aleph en particular, por ejemplo, la cardinalidad del continuo , cuyo valor en ZFC puede ser cualquier cardinal incontable de cofinalidad incontable (véase el teorema de Easton ). La hipótesis del continuo postula que la cardinalidad del continuo es igual a , que es regular suponiendo elección. ${\displaystyle \aleph _{1}}$

Sin el axioma de elección: habría números cardinales que no serían bien ordenables. ^{[ cita requerida ]} Además, no se podría definir la suma cardinal de una colección arbitraria. ^{[ cita requerida ]} Por lo tanto, solo los números aleph podrían llamarse de manera significativa cardinales regulares o singulares. ^{[ cita requerida ]} Además, un aleph sucesor no necesitaría ser regular. Por ejemplo, la unión de un conjunto contable de conjuntos contables no necesariamente sería contable. Es consistente con ZF que sea el límite de una secuencia contable de ordinales contables así como el conjunto de números reales sea una unión contable de conjuntos contables. ^{[ cita requerida ]} Además, es consistente con ZF cuando no se incluye AC que cada aleph mayor que sea singular (un resultado probado por Moti Gitik ). ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$

Si es un ordinal límite, es regular si y solo si el conjunto de que son puntos críticos de - incrustaciones elementales con es club en . ^[2] ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \alpha <\kappa }$ ${\displaystyle \Sigma _{1}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j(\alpha )=\kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$

Para los cardinales , digamos que una incrustación elemental es una incrustación pequeña si es transitiva y . Un cardinal es incontable y regular si y solo si existe un tal que para cada , existe una incrustación pequeña . ^{[3] Corolario 2.2} ${\displaystyle \kappa <\theta }$ ${\displaystyle j:M\to H(\theta )}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle j({\textrm {crit}}(j))=\kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \alpha >\kappa }$ ${\displaystyle \theta >\alpha }$ ${\displaystyle j:M\to H(\theta )}$

Véase también

• Cardenal inaccesible

Referencias

1. Maddy, Penelope (1988), "Creer en los axiomas. Yo", Journal of Symbolic Logic , 53 (2): 481–511, doi :10.2307/2274520, JSTOR  2274520, MR  0947855. Se pueden encontrar indicios tempranos del axioma de reemplazo en la carta de Cantor a Dedekind [1899] y en Mirimanoff [1917].. Maddy cita dos artículos de Mirimanoff, "Les antinomies de Russell et de Burali-Forti et le problème fundamental de la théorie des ensembles" y "Remarques sur la théorie des ensembles et les antinomies Cantorienne", ambos en L'Enseignement Mathématique (1917). .
2. T. Arai, "Límites de la demostrabilidad en las teorías de conjuntos" (2012, p.2). Consultado el 4 de agosto de 2022.
3. Holy, Lücke, Njegomir, "Caracterizaciones de incrustaciones pequeñas para cardinales grandes". Annals of Pure and Applied Logic vol. 170, núm. 2 (2019), pp.251--271.

• Herbert B. Enderton , Elementos de la teoría de conjuntos , ISBN 0-12-238440-7 
• Kenneth Kunen , Teoría de conjuntos: Introducción a las pruebas de independencia , ISBN 0-444-85401-0