Axioma de extensionalidad

Axioma de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel

En la teoría de conjuntos axiomática y las ramas de la lógica , las matemáticas y la informática que la utilizan, el axioma de extensionalidad , axioma de extensión o axioma de extensión , es uno de los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel . Informalmente, dice que los dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si A y B tienen los mismos miembros.

Declaración formal

En el lenguaje formal de los axiomas de Zermelo-Fraenkel, el axioma dice:

${\displaystyle \forall A\,\forall B\,(\forall X\,(X\in A\iff X\in B)\implies A=B)}$

o en palabras:

Dado cualquier conjunto A y cualquier conjunto B , si para cada conjunto X , X es miembro de A si y sólo si X es miembro de B , entonces A es igual a B.

(No es realmente esencial que X aquí sea un conjunto , pero en ZF, todo lo es. Consulte los elementos Ur a continuación para saber cuándo se viola esto).

Lo contrario de este axioma se deriva de la propiedad de sustitución de la igualdad . ${\displaystyle \forall A\,\forall B\,(A=B\implies \forall X\,(X\in A\iff X\in B)),}$

Interpretación

Para entender este axioma, observe que la cláusula entre paréntesis en la declaración simbólica anterior simplemente establece que A y B tienen exactamente los mismos miembros. Por tanto, lo que realmente dice el axioma es que dos conjuntos son iguales si y sólo si tienen exactamente los mismos miembros. También se puede interpretar este axioma como:

Un conjunto está determinado únicamente por sus miembros.

El axioma de extensionalidad se puede utilizar con cualquier enunciado de la forma , donde P es cualquier predicado unario que no menciona A , para definir un conjunto único cuyos miembros son precisamente los conjuntos que satisfacen el predicado . Luego podemos introducir un nuevo símbolo para ; es de esta manera que las definiciones en matemáticas ordinarias funcionan en última instancia cuando sus enunciados se reducen a términos puramente teóricos de conjuntos. ${\displaystyle \exists A\,\forall X\,(X\in A\iff P(X)\,)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A}$

El axioma de extensionalidad generalmente no es controvertido en los fundamentos de la teoría de conjuntos de las matemáticas, y aparece, o un equivalente, en casi cualquier axiomatización alternativa de la teoría de conjuntos. Sin embargo, puede requerir modificaciones para algunos propósitos, como se muestra a continuación.

En lógica de predicados sin igualdad

El axioma dado anteriormente supone que la igualdad es un símbolo primitivo en la lógica de predicados . Algunos tratamientos de la teoría axiomática de conjuntos prefieren prescindir de esto y, en cambio, tratan la afirmación anterior no como un axioma sino como una definición de igualdad. ^[1] Entonces es necesario incluir los axiomas habituales de igualdad de la lógica de predicados como axiomas sobre este símbolo definido. La mayoría de los axiomas de igualdad todavía se derivan de la definición; la restante es la propiedad de sustitución,

${\displaystyle \forall A\,\forall B\,(\forall X\,(X\in A\iff X\in B)\implies \forall Y\,(A\in Y\iff B\in Y)\,),}$

y se convierte en este axioma al que se hace referencia como axioma de extensionalidad en este contexto.

En teoría de conjuntos con elementos ur

Un elemento ur es un miembro de un conjunto que no es en sí mismo un conjunto. En los axiomas de Zermelo-Fraenkel, no hay elementos ur, pero están incluidos en algunas axiomatizaciones alternativas de la teoría de conjuntos. Los elementos Ur pueden tratarse como un tipo lógico diferente de los conjuntos; en este caso, no tiene sentido si es un elemento ur, por lo que el axioma de extensionalidad simplemente se aplica sólo a conjuntos. ${\displaystyle B\in A}$ ${\displaystyle A}$

Alternativamente, en lógica sin tipo, podemos exigir que sea falso siempre que sea un elemento ur. En este caso, el axioma habitual de extensionalidad implicaría que cada elemento ur es igual al conjunto vacío . Para evitar esta consecuencia, podemos modificar el axioma de extensionalidad para que se aplique sólo a conjuntos no vacíos, de modo que quede: ${\displaystyle B\in A}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \forall A\,\forall B\,(\exists X\,(X\in A)\implies [\forall Y\,(Y\in A\iff Y\in B)\implies A=B]\,).}$

Eso es:

Dados cualquier conjunto A y cualquier conjunto B , si A es un conjunto no vacío (es decir, si existe un miembro X de A ), entonces si A y B tienen exactamente los mismos miembros, entonces son iguales.

Otra alternativa más en la lógica sin tipo es definirse a sí mismo como el único elemento de siempre que sea un elemento ur. Si bien este enfoque puede servir para preservar el axioma de extensionalidad, el axioma de regularidad necesitará un ajuste. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Ver también

• Extensionalidad para una visión general.

Referencias

• Paul Halmos , Teoría ingenua de conjuntos . Princeton, Nueva Jersey: D. Van Nostrand Company, 1960. Reimpreso por Springer-Verlag, Nueva York, 1974. ISBN  0-387-90092-6 (edición Springer-Verlag).
• Jech, Thomas , 2003. Teoría de conjuntos: edición del tercer milenio, revisada y ampliada . Saltador. ISBN 3-540-44085-2 . 
• Kunen, Kenneth , 1980. Teoría de conjuntos: una introducción a las pruebas de independencia . Elsevier. ISBN 0-444-86839-9 . 

Notas

1. Por ejemplo , WVO Quine , Mathematical Logic (1981) utiliza "tres dispositivos de notación primitivos: membresía, negación conjunta y cuantificación", luego define = de esta manera (págs. 134-136)