Hipótesis del continuo

Proposición en lógica matemática

En matemáticas , específicamente en teoría de conjuntos , la hipótesis del continuo (abreviada CH ) es una hipótesis sobre los posibles tamaños de conjuntos infinitos . Afirma:

"No existe ningún conjunto cuya cardinalidad esté estrictamente entre la de los números enteros y los reales ".

O equivalente:

"Cualquier subconjunto de números reales es finito, contablemente infinito o tiene la cardinalidad de los números reales".

En la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección (ZFC), esto es equivalente a la siguiente ecuación en números aleph :, o incluso más corto con números beth :. ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}}$ ${\displaystyle \beth _{1}=\aleph _{1}}$

La hipótesis del continuo fue propuesta por Georg Cantor en 1878, ^[1] y establecer su verdad o falsedad es el primero de los 23 problemas de Hilbert presentados en 1900. La respuesta a este problema es independiente de ZFC, de modo que la hipótesis del continuo o su negación se puede agregar como un axioma a la teoría de conjuntos ZFC, siendo la teoría resultante consistente si y solo si ZFC es consistente. Esta independencia fue demostrada en 1963 por Paul Cohen , complementando trabajos anteriores de Kurt Gödel en 1940. ^[2]

El nombre de la hipótesis proviene del término continuo para los números reales.

Historia

Cantor creyó que la hipótesis del continuo era cierta y durante muchos años intentó en vano demostrarla. ^[3] Se convirtió en la primera de la lista de preguntas abiertas importantes de David Hilbert que se presentó en el Congreso Internacional de Matemáticos en el año 1900 en París. La teoría axiomática de conjuntos aún no estaba formulada en ese momento. Kurt Gödel demostró en 1940 que la negación de la hipótesis del continuo, es decir, la existencia de un conjunto con cardinalidad intermedia, no podía demostrarse en la teoría de conjuntos estándar. ^[2] La segunda mitad de la independencia de la hipótesis del continuo – es decir, la imposibilidad de demostrar la inexistencia de un conjunto de tamaño intermedio – fue demostrada en 1963 por Paul Cohen . ^[4]

Cardinalidad de conjuntos infinitos

Se dice que dos conjuntos tienen la misma cardinalidad o número cardinal si existe una biyección (una correspondencia uno a uno) entre ellos. Intuitivamente, que dos conjuntos S y T tengan la misma cardinalidad significa que es posible "emparejar" elementos de S con elementos de T de tal manera que cada elemento de S esté emparejado exactamente con un elemento de T y viceversa. viceversa. Por tanto, el conjunto {plátano, manzana, pera} tiene la misma cardinalidad que {amarillo, rojo, verde}.

Con conjuntos infinitos como el conjunto de los números enteros o los números racionales , la existencia de una biyección entre dos conjuntos se vuelve más difícil de demostrar. Los números racionales aparentemente forman un contraejemplo a la hipótesis del continuo: los números enteros forman un subconjunto adecuado de los racionales, que a su vez forman un subconjunto adecuado de los reales, por lo que intuitivamente hay más números racionales que enteros y más números reales que números racionales. Sin embargo, este análisis intuitivo es erróneo; no tiene debidamente en cuenta el hecho de que los tres conjuntos son infinitos . Resulta que los números racionales en realidad se pueden colocar en correspondencia uno a uno con los números enteros y, por lo tanto, el conjunto de números racionales tiene el mismo tamaño ( cardinalidad ) que el conjunto de números enteros: ambos son conjuntos contables .

Cantor dio dos pruebas de que la cardinalidad del conjunto de números enteros es estrictamente menor que la del conjunto de números reales (ver la primera prueba de incontabilidad de Cantor y el argumento diagonal de Cantor ). Sus pruebas, sin embargo, no dan ninguna indicación de hasta qué punto la cardinalidad de los números enteros es menor que la de los números reales. Cantor propuso la hipótesis del continuo como una posible solución a esta cuestión.

La hipótesis del continuo establece que el conjunto de números reales tiene una cardinalidad mínima posible que es mayor que la cardinalidad del conjunto de números enteros. Es decir, cada conjunto, S , de números reales se puede asignar uno a uno a los números enteros o los números reales se pueden asignar uno a uno a S. Como los números reales son equinumeros con el conjunto de potencias de los números enteros, es decir , la hipótesis del continuo se puede reformular de la siguiente manera: ${\displaystyle |\mathbb {R} |=2^{\aleph _{0}}}$

Hipótesis del continuo  —  . ${\displaystyle \nexists S\colon \aleph _{0}<|S|<2^{\aleph _{0}}}$

Asumiendo el axioma de elección , existe un único número cardinal menor mayor que , y la hipótesis del continuo es a su vez equivalente a la igualdad . ^[5] ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}}$

Independencia de ZFC

La independencia de la hipótesis del continuo (CH) de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) se deriva del trabajo combinado de Kurt Gödel y Paul Cohen .

Gödel ^{[6] [2]} demostró que CH no puede ser refutado de ZF, incluso si se adopta el axioma de elección (AC) (haciendo ZFC). La prueba de Gödel muestra que CH y AC son válidos en el universo construible L, un modelo interno de la teoría de conjuntos ZF, asumiendo sólo los axiomas de ZF. La existencia de un modelo interno de ZF en el que se cumplen axiomas adicionales muestra que los axiomas adicionales son consistentes con ZF, siempre que ZF en sí sea consistente. Esta última condición no se puede demostrar en ZF en sí, debido a los teoremas de incompletitud de Gödel , pero se cree ampliamente que es cierta y se puede demostrar en teorías de conjuntos más sólidas.

Cohen ^{[4] [7]} demostró que CH no puede demostrarse a partir de los axiomas de ZFC, completando la prueba de independencia general. Para probar su resultado, Cohen desarrolló el método de forzar , que se ha convertido en una herramienta estándar en la teoría de conjuntos. Esencialmente, este método comienza con un modelo de ZF en el que CH se cumple y construye otro modelo que contiene más conjuntos que el original, de manera que CH no se cumple en el nuevo modelo. Cohen recibió la Medalla Fields en 1966 por su prueba.

La prueba de independencia que acabamos de describir muestra que CH es independiente de ZFC. Investigaciones adicionales han demostrado que CH es independiente de todos los grandes axiomas cardinales conocidos en el contexto de ZFC. ^[8] Además, se ha demostrado que la cardinalidad del continuo puede ser cualquier cardinal consistente con el teorema de König . Un resultado de Solovay, probado poco después del resultado de Cohen sobre la independencia de la hipótesis del continuo, muestra que en cualquier modelo de ZFC, si es un cardinal de cofinalidad incontable , entonces hay una extensión forzada en la que . Sin embargo, según el teorema de König, no es consistente asumir que es o cualquier cardinal con cofinalidad . ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\kappa }$ ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$ ${\displaystyle \aleph _{\omega _{1}+\omega }}$ ${\displaystyle \omega }$

La hipótesis del continuo está estrechamente relacionada con muchas declaraciones en análisis , topología de conjuntos de puntos y teoría de la medida . Como resultado de su independencia, posteriormente se ha demostrado que muchas conjeturas sustanciales en esos campos también son independientes.

La independencia de ZFC significa que es imposible probar o refutar el CH dentro de ZFC. Sin embargo, no se acepta universalmente que los resultados negativos de Gödel y Cohen eliminen todo interés en la hipótesis del continuo. La hipótesis del continuo sigue siendo un tema activo de investigación; consulte Woodin ^{[9] [10]} y Peter Koellner ^[11] para obtener una descripción general del estado actual de la investigación.

La hipótesis del continuo y el axioma de elección estuvieron entre los primeros enunciados genuinamente matemáticos que demostraron ser independientes de la teoría de conjuntos ZF. Aunque la existencia de algunos enunciados independientes de ZFC ya se conocía más de dos décadas antes: por ejemplo, asumiendo buenas propiedades de solidez y la consistencia ZFC, los teoremas de incompletitud de Gödel , publicados en 1931, establecen que existe un enunciado formal (uno para cada esquema de numeración de Gödel apropiado ) que expresa la consistencia de ZFC, que también es independiente de él. De hecho, este último resultado de independencia es válido para muchas teorías.

Argumentos a favor y en contra de la hipótesis del continuo

Gödel creía que CH es falso y que su prueba de que CH es consistente con ZFC solo muestra que los axiomas de Zermelo-Fraenkel no caracterizan adecuadamente el universo de conjuntos. Gödel era un platónico y, por tanto, no tenía problemas para afirmar la verdad y la falsedad de declaraciones independientemente de su demostrabilidad. Cohen, aunque formalista , ^[12] también tendía a rechazar a CH.

Históricamente, los matemáticos que favorecían un universo de conjuntos "rico" y "grande" estaban en contra de CH, mientras que aquellos que favorecían un universo "ordenado" y "controlable" favorecían a CH. Se hicieron argumentos paralelos a favor y en contra del axioma de constructibilidad , que implica CH. Más recientemente, Matthew Foreman ha señalado que el maximalismo ontológico en realidad puede usarse para argumentar a favor de CH, porque entre los modelos que tienen los mismos reales, los modelos con "más" conjuntos de reales tienen más posibilidades de satisfacer CH. ^[13]

Otro punto de vista es que la concepción de conjunto no es lo suficientemente específica como para determinar si CH es verdadero o falso. Este punto de vista fue propuesto ya en 1923 por Skolem , incluso antes del primer teorema de incompletitud de Gödel. Skolem argumentó sobre la base de lo que hoy se conoce como paradoja de Skolem , y fue posteriormente sustentada en la independencia de CH de los axiomas de ZFC ya que estos axiomas son suficientes para establecer las propiedades elementales de los conjuntos y cardinalidades. Para argumentar en contra de este punto de vista, sería suficiente demostrar nuevos axiomas que estén respaldados por la intuición y resuelvan el CH en una dirección u otra. Aunque el axioma de constructibilidad resuelve CH, generalmente no se considera intuitivamente verdadero, como tampoco se considera que CH sea falso. ^[14]

Se han propuesto al menos otros dos axiomas que tienen implicaciones para la hipótesis del continuo, aunque actualmente estos axiomas no han encontrado una amplia aceptación en la comunidad matemática. En 1986, Chris Freiling ^[15] presentó un argumento contra CH mostrando que la negación de CH es equivalente al axioma de simetría de Freiling , afirmación derivada del argumento de intuiciones particulares sobre probabilidades . Freiling cree que este axioma es "intuitivamente cierto", pero otros no están de acuerdo.

Un difícil argumento contra CH desarrollado por W. Hugh Woodin ha atraído considerable atención desde el año 2000. ^{[9] [10]} Foreman no rechaza de plano el argumento de Woodin, pero insta a tener precaución. ^[16] Woodin propuso una nueva hipótesis que denominó "(*)-axioma" , o "axioma de la estrella". El axioma de la estrella implicaría que es , falsificando así a CH. El axioma de Star fue reforzado por una prueba independiente de mayo de 2021 que muestra que el axioma de Star se puede derivar de una variación del máximo de Martin . Sin embargo, Woodin declaró en la década de 2010 que ahora cree que CH es cierta, basándose en su creencia en su nueva conjetura de la "L definitiva". ^{[17] [18]} ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ ${\displaystyle \aleph _{2}}$

Solomon Feferman argumentó que CH no es un problema matemático definido. ^[19] Propuso una teoría de la "definición" utilizando un subsistema semiintuicionista de ZF que acepta la lógica clásica para los cuantificadores acotados pero utiliza la lógica intuicionista para los ilimitados, y sugirió que una proposición es matemáticamente "definida" si la teoría semiintuicionista puede probar . Conjeturó que CH no es definido según esta noción y propuso que, por lo tanto, se debería considerar que CH no tiene un valor de verdad. Peter Koellner escribió un comentario crítico sobre el artículo de Feferman. ^[20] ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle (\phi \lor \neg \phi )}$

Joel David Hamkins propone un enfoque multiverso para la teoría de conjuntos y sostiene que "la hipótesis del continuo se establece en la visión del multiverso gracias a nuestro amplio conocimiento sobre cómo se comporta en el multiverso y, como resultado, ya no se puede resolver de la manera anteriormente esperado". ^[21] En una línea relacionada, Saharon Shelah escribió que "no está de acuerdo con la visión platónica pura de que los problemas interesantes en la teoría de conjuntos pueden resolverse, que simplemente tenemos que descubrir el axioma adicional. Mi imagen mental es que tenemos muchas teorías de conjuntos posibles, todas conformes a ZFC". ^[22]

Hipótesis del continuo generalizado

La hipótesis del continuo generalizado (GCH) establece que si la cardinalidad de un conjunto infinito se encuentra entre la de un conjunto infinito S y la del conjunto potencia de S , entonces tiene la misma cardinalidad que S o . Es decir, para cualquier cardinal infinito no existe ningún cardinal tal que . GCH es equivalente a: ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \lambda <\kappa <2^{\lambda }}$

${\displaystyle \aleph _{\alpha +1}=2^{\aleph _{\alpha }}}$para cada ordinal ^[5] (ocasionalmente llamada hipótesis aleph de Cantor ). ${\displaystyle \alpha }$

Los números beth proporcionan una notación alternativa para esta condición: para cada ordinal . La hipótesis del continuo es el caso especial del ordinal . GCH fue sugerido por primera vez por Philip Jourdain . ^[23] Para conocer la historia temprana de GCH, consulte Moore. ^[24] ${\displaystyle \aleph _{\alpha }=\beth _{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha =1}$

Como CH, GCH también es independiente de ZFC, pero Sierpiński demostró que ZF + GCH implica el axioma de elección (AC) (y por tanto la negación del axioma de determinabilidad , AD), por lo que elección y GCH no son independientes en ZF; No hay modelos de ZF en los que GCH se mantenga y AC falle. Para probar esto, Sierpiński demostró que GCH implica que cada cardinalidad n es menor que algún número aleph y, por lo tanto, puede ordenarse. Esto se hace demostrando que n es menor que su propio número de Hartogs ; esto utiliza la igualdad ; para ver la prueba completa, consulte Gillman. ^[25] ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}+n}}$ ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}+n}\,=\,2\cdot \,2^{\aleph _{0}+n}}$

Kurt Gödel demostró que GCH es una consecuencia de ZF + V=L (el axioma de que todo conjunto es construible en relación con los ordinales) y, por tanto, es consistente con ZFC. Como GCH implica CH, el modelo de Cohen en el que CH falla es un modelo en el que GCH falla y, por lo tanto, GCH no se puede demostrar a partir de ZFC. W. B. Easton utilizó el método de forzado desarrollado por Cohen para demostrar el teorema de Easton , que muestra que es consistente con ZFC para que cardenales arbitrariamente grandes no se cumplan . Mucho más tarde, Foreman y Woodin demostraron que (suponiendo la consistencia de cardinales muy grandes) es consistente lo que se cumple para todo cardinal infinito . Más tarde, Woodin amplió esto mostrando la coherencia de for each . Carmi Merimovich ^[26] demostró que, para cada n  ≥ 1, es consistente con ZFC que para cada κ, 2 ^κ es el enésimo sucesor de κ. Por otro lado, László Patai ^[27] demostró que si γ es un ordinal y para cada cardinal infinito κ, 2 ^κ es el γésimo sucesor de κ, entonces γ es finito. ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$ ${\displaystyle 2^{\aleph _{\alpha }}=\aleph _{\alpha +1}}$ ${\displaystyle 2^{\kappa }>\kappa ^{+}}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle 2^{\kappa }=\kappa ^{++}}$ ${\displaystyle \kappa }$

Para cualquier conjunto infinito A y B, si hay una inyección de A a B, entonces hay una inyección de subconjuntos de A a subconjuntos de B. Por lo tanto, para cualquier cardinal infinito A y B ,. Si A y B son finitos, se cumple la desigualdad más fuerte. GCH implica que esta desigualdad estricta y más fuerte es válida tanto para cardinales infinitos como para cardinales finitos. ${\displaystyle A<B\to 2^{A}\leq 2^{B}}$ ${\displaystyle A<B\to 2^{A}<2^{B}}$

Implicaciones de GCH para la exponenciación cardinal

Aunque la hipótesis del continuo generalizado se refiere directamente sólo a la exponenciación cardinal con 2 como base, se pueden deducir de ella los valores de la exponenciación cardinal en todos los casos. GCH implica que para los ordinales α y β : ^[28] ${\displaystyle \aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}}$

${\displaystyle \aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}=\aleph _{\beta +1}}$cuando α ≤ β +1;

${\displaystyle \aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}=\aleph _{\alpha }}$cuando β +1 < α y , donde cf es la operación de cofinalidad ; y ${\displaystyle \aleph _{\beta }<\operatorname {cf} (\aleph _{\alpha })}$

${\displaystyle \aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}=\aleph _{\alpha +1}}$cuando β +1 < α y . ${\displaystyle \aleph _{\beta }\geq \operatorname {cf} (\aleph _{\alpha })}$

La primera igualdad (cuando α ≤ β +1) se deriva de:

${\displaystyle \aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}\leq \aleph _{\beta +1}^{\aleph _{\beta }}=(2^{\aleph _{\beta }})^{\aleph _{\beta }}=2^{\aleph _{\beta }\cdot \aleph _{\beta }}=2^{\aleph _{\beta }}=\aleph _{\beta +1}}$, mientras:

${\displaystyle \aleph _{\beta +1}=2^{\aleph _{\beta }}\leq \aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}}$ ;

La tercera igualdad (cuando β +1 < α y ) se deriva de: ${\displaystyle \aleph _{\beta }\geq \operatorname {cf} (\aleph _{\alpha })}$

${\displaystyle \aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}\geq \aleph _{\alpha }^{\operatorname {cf} (\aleph _{\alpha })}>\aleph _{\alpha }}$, por el teorema de König , mientras que:

${\displaystyle \aleph _{\alpha }^{\aleph _{\beta }}\leq \aleph _{\alpha }^{\aleph _{\alpha }}\leq (2^{\aleph _{\alpha }})^{\aleph _{\alpha }}=2^{\aleph _{\alpha }\cdot \aleph _{\alpha }}=2^{\aleph _{\alpha }}=\aleph _{\alpha +1}}$

Donde, para cada γ, se utiliza GCH para igualar y ; se utiliza porque es equivalente al axioma de elección . ${\displaystyle 2^{\aleph _{\gamma }}}$ ${\displaystyle \aleph _{\gamma +1}}$ ${\displaystyle \aleph _{\gamma }^{2}=\aleph _{\gamma }}$

Ver también

• Infinito absoluto
• número de beth
• Cardinalidad
• lógica Ω
• Segunda hipótesis del continuo
• El problema de Wetzel

Referencias

1. Cantor, Georg (1878). "Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre". Journal für die Reine und Angewandte Mathematik . 1878 (84): 242–258. doi :10.1515/crll.1878.84.242 (inactivo el 31 de enero de 2024).{{cite journal}}: CS1 maint: DOI inactive as of January 2024 (link)
2. Gödel, Kurt (1940). La consistencia de la hipótesis del continuo . Prensa de la Universidad de Princeton.
3. Dauben, Joseph Warren (1990). Georg Cantor: Sus matemáticas y filosofía del infinito . Prensa de la Universidad de Princeton. págs. 134-137. ISBN 9780691024479.
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Fuentes

• Este artículo incorpora material de la hipótesis del continuo generalizado en PlanetMath , que tiene la licencia Creative Commons Attribution/Share-Alike License . Archivado el 8 de febrero de 2017 en Wayback Machine.

Otras lecturas

• Cohen, Paul Joseph (2008) [1966]. Teoría de conjuntos y hipótesis del continuo . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-46921-8.
• Valles, HG; Woodin, WH (1987). Una introducción a la independencia para analistas . Cambridge.
• Enderton, Herbert (1977). Elementos de la teoría de conjuntos . Prensa académica.
• Gödel, K.: ¿Qué es el problema del continuo de Cantor? , reimpreso en la colección Philosophy of Mathematics de Benacerraf y Putnam , 2ª ed., Cambridge University Press, 1983. Un resumen de los argumentos de Gödel contra CH.
• Martín, D. (1976). "El primer problema de Hilbert: la hipótesis del continuo", en Mathematical Developments Arising from Hilbert's Problems, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics XXVIII, F. Browder, editor. Sociedad Estadounidense de Matemáticas, 1976, págs. 81–92. ISBN 0-8218-1428-1 
• McGough, Nancy. "La hipótesis del continuo".
• Wolchover, Natalie (15 de julio de 2021). "¿Cuántos números existen? La prueba del infinito acerca las matemáticas a una respuesta".

enlaces externos

Citas relacionadas con la hipótesis del continuo en Wikiquote

• Szudzik, Matthew y Weisstein, Eric W. "Hipótesis del continuo". MundoMatemático .