Cofinalidad

Tamaño de subconjuntos en la teoría del orden.

En matemáticas , especialmente en teoría del orden , la cofinalidad cf( A ) de un conjunto parcialmente ordenado A es la menor de las cardinalidades de los subconjuntos cofinales de A.

Esta definición de cofinalidad se basa en el axioma de elección , ya que utiliza el hecho de que todo conjunto no vacío de números cardinales tiene un miembro mínimo. La cofinalidad de un conjunto A parcialmente ordenado se puede definir alternativamente como el x menos ordinal tal que exista una función de x a A con imagen cofinal . Esta segunda definición tiene sentido sin el axioma de elección. Si se supone el axioma de elección, como será el caso en el resto de este artículo, entonces las dos definiciones son equivalentes.

La cofinalidad se puede definir de manera similar para un conjunto dirigido y se utiliza para generalizar la noción de subsecuencia en una red .

Ejemplos

• La cofinalidad de un conjunto parcialmente ordenado con el mayor elemento es 1 ya que el conjunto que consta únicamente del mayor elemento es cofinal (y debe estar contenido en todos los demás subconjuntos cofinales).
  • En particular, la cofinalidad de cualquier ordinal finito distinto de cero, o incluso de cualquier conjunto finito dirigido, es 1, ya que dichos conjuntos tienen un elemento mayor.
• Cada subconjunto cofinal de un conjunto parcialmente ordenado debe contener todos los elementos máximos de ese conjunto. Por tanto, la cofinalidad de un conjunto finito parcialmente ordenado es igual al número de sus elementos máximos.
  • En particular, sea un conjunto de tamaño y considere el conjunto de subconjuntos que no contienen más que elementos. Este está parcialmente ordenado bajo inclusión y los subconjuntos con elementos son máximos. Por lo tanto, la cofinalidad de este poset es elegir ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m.}$
• Un subconjunto de los números naturales es cofinal en si y sólo si es infinito, y por tanto la cofinalidad de es Por tanto, es un cardinal regular . ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \aleph _{0}.}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$
• La cofinalidad de los números reales con su orden habitual es ya que es cofinal en El orden habitual de no es un orden isomorfo a la cardinalidad de los números reales , que tiene una cofinalidad estrictamente mayor que Esto demuestra que la cofinalidad depende del orden; diferentes pedidos en el mismo conjunto pueden tener diferente cofinalidad. ${\displaystyle \aleph _{0},}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle \aleph _{0}.}$

Propiedades

Si admite un subconjunto cofinal totalmente ordenado , entonces podemos encontrar un subconjunto que esté bien ordenado y cofinal en Cualquier subconjunto de también esté bien ordenado. Dos subconjuntos cofinales de con cardinalidad mínima (es decir, su cardinalidad es la cofinalidad de ) no necesitan ser isomorfos de orden (por ejemplo, si ambos y vistos como subconjuntos de tienen la cardinalidad contable de la cofinalidad de pero no son isomorfos de orden). Los subconjuntos cofinales de tipo de orden mínimo serán de orden isomórfico. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B=\omega +\omega ,}$ ${\displaystyle \omega +\omega }$ ${\displaystyle \{\omega +n:n<\omega \}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$

Cofinalidad de ordinales y otros conjuntos bien ordenados

La cofinalidad de un ordinal es el ordinal más pequeño que es el tipo de orden de un subconjunto cofinal de La cofinalidad de un conjunto de ordinales o cualquier otro conjunto bien ordenado es la cofinalidad del tipo de orden de ese conjunto. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \alpha .}$

Por lo tanto, para un ordinal límite existe una secuencia estrictamente creciente indexada con límite. Por ejemplo, la cofinalidad de se debe a que la secuencia (cuando se extiende sobre los números naturales) tiende a pero, de manera más general, cualquier ordinal límite contable tiene cofinalidad. Un ordinal límite incontable puede tener cofinalidad como la tiene o una cofinalidad incontable. ${\displaystyle \alpha ,}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \alpha .}$ ${\displaystyle \omega ^{2}}$ ${\displaystyle \omega ,}$ ${\displaystyle \omega \cdot m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \omega ^{2};}$ ${\displaystyle \omega .}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega _{\omega }}$

La cofinalidad de 0 es 0. La cofinalidad de cualquier ordinal sucesor es 1. La cofinalidad de cualquier ordinal límite distinto de cero es un cardinal regular infinito.

Ordinales regulares y singulares

Un ordinal regular es un ordinal que es igual a su cofinalidad. Un ordinal singular es cualquier ordinal que no es regular.

Todo ordinal regular es el ordinal inicial de un cardenal. Cualquier límite de ordinales regulares es un límite de ordinales iniciales y, por tanto, también es inicial, pero no tiene por qué ser regular. Suponiendo el axioma de elección, es regular para cada En este caso, los ordinales y son regulares, mientras que y son ordinales iniciales que no son regulares. ${\displaystyle \omega _{\alpha +1}}$ ${\displaystyle \alpha .}$ ${\displaystyle 0,1,\omega ,\omega _{1},}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$ ${\displaystyle 2,3,\omega _{\omega },}$ ${\displaystyle \omega _{\omega \cdot 2}}$

La cofinalidad de cualquier ordinal es un ordinal regular, es decir, la cofinalidad de la cofinalidad de es la misma que la cofinalidad de Entonces la operación de cofinalidad es idempotente . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha .}$

Cofinalidad de cardenales

Si es un número cardinal infinito, entonces el mínimo cardinal tal que exista una función ilimitada desde a es también la cardinalidad del conjunto más pequeño de cardinales estrictamente más pequeños cuya suma es más precisamente ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \operatorname {cf} (\kappa )}$ ${\displaystyle \operatorname {cf} (\kappa )}$ ${\displaystyle \kappa ;}$ ${\displaystyle \operatorname {cf} (\kappa )}$ ${\displaystyle \kappa ;}$

$${\displaystyle \mathrm {cf} (\kappa )=\min \left\{|I|\ :\ \kappa =\sum _{i\in I}\lambda _{i}\ \land \ {\text{ for all such }}i\,\lambda _{i}<\kappa \right\}}$$

Que el conjunto anterior no esté vacío proviene del hecho de que

$${\displaystyle \kappa =\bigcup _{i\in \kappa }\{i\}}$$

unión disjunta ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \operatorname {cf} (\kappa )\leq \kappa .}$ ${\displaystyle \operatorname {cf} (\kappa )=\operatorname {cf} (\operatorname {cf} (\kappa )).}$

Usando el teorema de König , se puede demostrar y para cualquier cardinal infinito ${\displaystyle \kappa <\kappa ^{\operatorname {cf} (\kappa )}}$ ${\displaystyle \kappa <\operatorname {cf} \left(2^{\kappa }\right)}$ ${\displaystyle \kappa .}$

La última desigualdad implica que la cofinalidad de la cardinalidad del continuo debe ser incontable. Por otro lado,

$${\displaystyle \aleph _{\omega }=\bigcup _{n<\omega }\aleph _{n}.}$$

Siendo el número ordinal ω el primer ordinal infinito, de modo que la cofinalidad de es card(ω) = (En particular, es singular). Por lo tanto, ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$ ${\displaystyle \aleph _{0}.}$ ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$

$${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}\neq \aleph _{\omega }.}$$

(Compárese con la hipótesis del continuo , que establece ) ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}.}$

Generalizando este argumento, se puede demostrar que para un límite ordinal ${\displaystyle \delta }$

$${\displaystyle \mathrm {cf} (\aleph _{\delta })=\mathrm {cf} (\delta ).}$$

Por otro lado, si se cumple el axioma de elección , entonces para un sucesor o un ordinal cero ${\displaystyle \delta }$

$${\displaystyle \mathrm {cf} (\aleph _{\delta })=\aleph _{\delta }.}$$

Ver también

• Conjunto de clubes  : concepto de teoría de conjuntos
• Ordinal inicial  – concepto matemáticoPages displaying wikidata descriptions as a fallback

Referencias

• Jech, Thomas , 2003. Teoría de conjuntos: edición del tercer milenio, revisada y ampliada . Saltador. ISBN  3-540-44085-2 .
• Kunen, Kenneth , 1980. Teoría de conjuntos: una introducción a las pruebas de independencia . Elsevier. ISBN 0-444-86839-9 .