número de beth

Número cardinal infinito

En matemáticas , particularmente en teoría de conjuntos , los números beth son una determinada secuencia de números cardinales infinitos (también conocidos como números transfinitos ), escritos convencionalmente , donde está la letra hebrea beth . Los números beth están relacionados con los números aleph ( ), pero a menos que la hipótesis del continuo generalizado sea cierta, hay números indexados por que no lo están . ${\displaystyle \beth _{0},\ \beth _{1},\ \beth _{2},\ \beth _{3},\ \dots }$ ${\displaystyle \beth }$ ${\displaystyle \aleph _{0},\ \aleph _{1},\ \dots }$ ${\displaystyle \aleph }$ ${\displaystyle \beth }$

Definición

Los números de Beth se definen mediante recursividad transfinita :

• ${\displaystyle \beth _{0}=\aleph _{0},}$
• ${\displaystyle \beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }},}$
• ${\displaystyle \beth _{\lambda }=\sup\{\beth _{\alpha }:\alpha <\lambda \},}$

donde es un ordinal y es un ordinal límite . ^[1] ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \lambda }$

El cardinal es la cardinalidad de cualquier conjunto contablemente infinito como el conjunto de los números naturales , de modo que . ${\displaystyle \beth _{0}=\aleph _{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \beth _{0}=|\mathbb {N} |}$

Sea un ordinal y sea un conjunto con cardinalidad . Entonces, ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle A_{\alpha }}$ ${\displaystyle \beth _{\alpha }=|A_{\alpha }|}$

• ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A_{\alpha })}$denota el conjunto potencia de (es decir, el conjunto de todos los subconjuntos de ), ${\displaystyle A_{\alpha }}$ ${\displaystyle A_{\alpha }}$
• el conjunto denota el conjunto de todas las funciones desde hasta {0,1}, ${\displaystyle 2^{A_{\alpha }}\subset {\mathcal {P}}(A_{\alpha }\times 2)}$ ${\displaystyle A_{\alpha }}$
• el cardinal es el resultado de la exponenciación cardinal , y ${\displaystyle 2^{\beth _{\alpha }}}$
• ${\displaystyle \beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }}=|2^{A_{\alpha }}|=|{\mathcal {P}}(A_{\alpha })|}$es la cardinalidad del conjunto de potencias de . ${\displaystyle A_{\alpha }}$

Dada esta definición,

${\displaystyle \beth _{0},\ \beth _{1},\ \beth _{2},\ \beth _{3},\ \dots }$

son respectivamente las cardinalidades de

${\displaystyle \mathbb {N} ,\ {\mathcal {P}}(\mathbb {N} ),\ {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {N} )),\ {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {N} ))),\ \dots .}$

de modo que el segundo número beth es igual a , la cardinalidad del continuo (la cardinalidad del conjunto de los números reales ), y el tercer número beth es la cardinalidad del conjunto potencia del continuo. ${\displaystyle \beth _{1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle \beth _{2}}$

Debido al teorema de Cantor , cada conjunto de la secuencia anterior tiene una cardinalidad estrictamente mayor que el que le precede. Para ordinales límite infinitos , λ, el número beth correspondiente se define como el supremo de los números beth para todos los ordinales estrictamente menores que λ:

${\displaystyle \beth _{\lambda }=\sup\{\beth _{\alpha }:\alpha <\lambda \}.}$

También se puede demostrar que los universos de von Neumann tienen cardinalidad . ${\displaystyle V_{\omega +\alpha }}$ ${\displaystyle \beth _{\alpha }}$

Relación con los números aleph

Asumiendo el axioma de elección , infinitas cardinalidades están ordenadas linealmente ; No hay dos cardinalidades que no puedan dejar de ser comparables. Así, dado que por definición no hay infinitas cardinalidades entre y , se deduce que ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$

${\displaystyle \beth _{1}\geq \aleph _{1}.}$

Repitiendo este argumento (ver inducción transfinita ) se obtiene para todos los ordinales . ${\displaystyle \beth _{\alpha }\geq \aleph _{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$

La hipótesis del continuo es equivalente a

${\displaystyle \beth _{1}=\aleph _{1}.}$

La hipótesis del continuo generalizado dice que la secuencia de números beth así definida es la misma que la secuencia de números aleph , es decir, para todos los ordinales . ${\displaystyle \beth _{\alpha }=\aleph _{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$

Cardenales específicos

beth nulo

Dado que esto se define como , o aleph null , los conjuntos con cardinalidad incluyen: ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \beth _{0}}$

• los números naturales norte
• los números racionales q
• los números algebraicos
• los números computables y los conjuntos computables
• el conjunto de conjuntos finitos de números enteros
• el conjunto de multiconjuntos finitos de números enteros
• el conjunto de secuencias finitas de números enteros

beth uno

Los conjuntos con cardinalidad incluyen: ${\displaystyle \beth _{1}}$

• los números trascendentales
• los numeros irracionales
• los números reales R
• los números complejos C
• los números reales incomputables
• Espacio euclidiano R ⁿ
• el conjunto potencia de los números naturales (el conjunto de todos los subconjuntos de los números naturales)
• el conjunto de secuencias de números enteros (es decir, todas las funciones N → Z , a menudo denominadas Z ^N )
• el conjunto de secuencias de números reales, R ^N
• el conjunto de todas las funciones analíticas reales de R a R
• el conjunto de todas las funciones continuas de R a R
• el conjunto de todas las funciones de R a R con como máximo discontinuidades contables ^[2]
• el conjunto de subconjuntos finitos de números reales
• el conjunto de todas las funciones analíticas de C a C (las funciones holomorfas )
• el conjunto de todas las funciones desde los números naturales hasta los números naturales ( ) ${\displaystyle \mathbb {N^{N}} }$

beth dos

${\displaystyle \beth _{2}}$(pronunciado beth dos ) también se conoce como 2 ^c (pronunciado dos elevado a c ).

Los conjuntos con cardinalidad incluyen: ${\displaystyle \beth _{2}}$

• El conjunto potencia del conjunto de números reales , por lo que es el número de subconjuntos de la recta real , o el número de conjuntos de números reales
• El conjunto potencia del conjunto potencia del conjunto de números naturales.
• El conjunto de todas las funciones de R a R ( R ^R )
• El conjunto de todas las funciones desde R ^m hasta R ⁿ
• El conjunto de todas las funciones de R a R con incontables discontinuidades ^[2]
• El conjunto potencia del conjunto de todas las funciones del conjunto de números naturales hacia sí mismo, por lo que es el número de conjuntos de secuencias de números naturales.
• Las compactaciones de Stone-Čech de R , Q y N
• El conjunto de fractales deterministas en R ^{n [3]}
• El conjunto de fractales aleatorios en R ^{n [4]}

beth omega

${\displaystyle \beth _{\omega }}$(pronunciado beth omega ) es el cardenal de límite fuerte incontable más pequeño .

Generalización

Ocasionalmente se utiliza el símbolo más general , para los ordinales α y los cardinales κ . Está definido por: ${\displaystyle \beth _{\alpha }(\kappa )}$

${\displaystyle \beth _{0}(\kappa )=\kappa ,}$

${\displaystyle \beth _{\alpha +1}(\kappa )=2^{\beth _{\alpha }(\kappa )},}$

${\displaystyle \beth _{\lambda }(\kappa )=\sup\{\beth _{\alpha }(\kappa ):\alpha <\lambda \}}$si λ es un ordinal límite.

Entonces

${\displaystyle \beth _{\alpha }=\beth _{\alpha }(\aleph _{0}).}$

En la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF), para cualquier cardinal κ y μ , existe un ordinal α tal que:

${\displaystyle \kappa \leq \beth _{\alpha }(\mu ).}$

Y en ZF, para cualquier cardinal κ y ordinales α y β :

${\displaystyle \beth _{\beta }(\beth _{\alpha }(\kappa ))=\beth _{\alpha +\beta }(\kappa ).}$

En consecuencia, en ZF faltan elementos ur con o sin el axioma de elección , para cualquier cardinal κ y μ , la igualdad

${\displaystyle \beth _{\beta }(\kappa )=\beth _{\beta }(\mu )}$

es válido para todos los ordinales β suficientemente grandes. Es decir, existe un ordinal α tal que la igualdad se cumple para todo ordinal β ≥ α .

Esto también es válido en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con elementos ur (con o sin el axioma de elección), siempre que los elementos ur formen un conjunto que sea equinumero con un conjunto puro (un conjunto cuya clausura transitiva no contiene elementos ur ). Si se cumple el axioma de elección, entonces cualquier conjunto de elementos ur es equinumero con un conjunto puro.

Determinación de Borel

La determinación de Borel está implícita en la existencia de todos los tramos de índice contable. ^[5]

Ver también

• número transfinito
• conjunto incontable

Referencias

1. Jech, Thomas (2002). Teoría de conjuntos (3ª edición del Milenio, rev. y ampliada. Corregida 4ª impresión, edición de 2006). Saltador. pag. 55.ISBN​ 978-3-540-44085-7.
2. Soltanifar, Mohsen (2023). "Una clasificación de elementos del espacio funcional F (R, R)". Matemáticas . 11 (17): 3715. arXiv : 2308.06297 . doi : 10.3390/matemáticas11173715 .
3. Soltanifar, Mohsen (2021). "Una generalización del teorema de la dimensión de Hausdorff para fractales deterministas". Matemáticas . 9 (13): 1546. arXiv : 2007.07991 . doi : 10.3390/math9131546 .
4. Soltanifar, Mohsen (2022). "La segunda generalización del teorema de la dimensión de Hausdorff para fractales aleatorios". Matemáticas . 10 (5): 706. doi : 10.3390/math10050706 . hdl : 1807/110291 .
5. Leinster, Tom (23 de julio de 2021). "La determinación de Borel no requiere reemplazo". El Café de categoría n . La Universidad de Texas en Austin . Consultado el 25 de agosto de 2021 .

Bibliografía

• TE Forster , Teoría de conjuntos con un conjunto universal: exploración de un universo sin tipo , Oxford University Press , 1995 — El número de Beth se define en la página 5.
• Bell, John Lane ; Slomson, Alan B. (2006) [1969]. Modelos y ultraproductos: una introducción (reimpresión de la edición de 1974). Publicaciones de Dover . ISBN 0-486-44979-3.Consulte las páginas 6 y 204–205 para conocer los números de Beth.
• Roitman, Judith (2011). Introducción a la teoría de conjuntos moderna . Universidad de la Commonwealth de Virginia . ISBN 978-0-9824062-4-3.Consulte la página 109 para conocer los números de Beth.