Conjunto transitivo

Clase de conjunto matemático cuyos elementos son todos subconjuntos

En la teoría de conjuntos , una rama de las matemáticas , un conjunto se denomina transitivo si se cumple cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle A}$

• siempre que , y , entonces . ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle y\in x}$ ${\displaystyle y\in A}$
• siempre que , y no es un urelemento , entonces es un subconjunto de . ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$

De manera similar, una clase es transitiva si cada elemento de es un subconjunto de . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Ejemplos

Utilizando la definición de números ordinales sugerida por John von Neumann , los números ordinales se definen como conjuntos transitivos hereditarios : un número ordinal es un conjunto transitivo cuyos miembros también son transitivos (y, por lo tanto, ordinales). La clase de todos los ordinales es una clase transitiva.

Cualquiera de las etapas y que conducen a la construcción del universo de von Neumann y del universo construible de Gödel son conjuntos transitivos. Los universos y ellos mismos son clases transitivas. ${\displaystyle V_{\alpha }}$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$

Esta es una lista completa de todos los conjuntos transitivos finitos con hasta 20 paréntesis: ^[1]

• ${\displaystyle \{\},}$
• ${\displaystyle \{\{\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\{\{\{\}\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\{\{\}\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\{\{\}\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\{\}\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\{\{\{\}\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}$
• ${\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\}.}$

Propiedades

Un conjunto es transitivo si y sólo si , donde es la unión de todos los elementos de que son conjuntos, . ${\displaystyle X}$ ${\textstyle \bigcup X\subseteq X}$ ${\textstyle \bigcup X}$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle \bigcup X=\{y\mid \exists x\in X:y\in x\}}$

Si es transitivo, entonces es transitivo. ${\displaystyle X}$ ${\textstyle \bigcup X}$

Si y son transitivos, entonces y son transitivos. En general, si es una clase cuyos elementos son todos conjuntos transitivos, entonces y son transitivos. (La primera oración de este párrafo es el caso de ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\cup Y}$ ${\displaystyle X\cup Y\cup \{X,Y\}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\textstyle \bigcup Z}$ ${\textstyle Z\cup \bigcup Z}$ ${\displaystyle Z=\{X,Y\}}$

Un conjunto que no contiene urelementos es transitivo si y sólo si es un subconjunto de su propio conjunto potencia . El conjunto potencia de un conjunto transitivo sin urelementos es transitivo. ${\displaystyle X}$ ${\textstyle X\subseteq {\mathcal {P}}(X).}$

Cierre transitivo

El cierre transitivo de un conjunto es el conjunto transitivo más pequeño (con respecto a la inclusión) que incluye (es decir, ). ^[2] Supongamos que se nos da un conjunto , entonces el cierre transitivo de es ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle X\subseteq \operatorname {TC} (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \operatorname {TC} (X)=\bigcup \left\{X,\;\bigcup X,\;\bigcup \bigcup X,\;\bigcup \bigcup \bigcup X,\;\bigcup \bigcup \bigcup \bigcup X,\ldots \right\}.}$$

Demostración. Denotemos y . Luego afirmamos que el conjunto ${\textstyle X_{0}=X}$ ${\textstyle X_{n+1}=\bigcup X_{n}}$

$${\displaystyle T=\operatorname {TC} (X)=\bigcup _{n=0}^{\infty }X_{n}}$$

es transitivo, y siempre que es un conjunto transitivo que incluye entonces . ${\textstyle T_{1}}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle T\subseteq T_{1}}$

Supóngase . Entonces, para algunos y por lo tanto . Puesto que , . Por lo tanto, es transitivo. ${\textstyle y\in x\in T}$ ${\textstyle x\in X_{n}}$ ${\textstyle n}$ ${\textstyle y\in \bigcup X_{n}=X_{n+1}}$ ${\textstyle X_{n+1}\subseteq T}$ ${\textstyle y\in T}$ ${\textstyle T}$

Sea ahora como se indica arriba. Demostramos por inducción que para todo , lo que demuestra que : El caso base se cumple ya que . Supongamos ahora . Entonces . Pero es transitiva, por lo que , por lo tanto . Esto completa la demostración. ${\textstyle T_{1}}$ ${\textstyle X_{n}\subseteq T_{1}}$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle T\subseteq T_{1}}$ ${\textstyle X_{0}=X\subseteq T_{1}}$ ${\textstyle X_{n}\subseteq T_{1}}$ ${\textstyle X_{n+1}=\bigcup X_{n}\subseteq \bigcup T_{1}}$ ${\textstyle T_{1}}$ ${\textstyle \bigcup T_{1}\subseteq T_{1}}$ ${\textstyle X_{n+1}\subseteq T_{1}}$

Nótese que este es el conjunto de todos los objetos relacionados por el cierre transitivo de la relación de pertenencia, ya que la unión de un conjunto puede expresarse en términos del producto relativo de la relación de pertenencia consigo misma. ${\displaystyle X}$

El cierre transitivo de un conjunto se puede expresar mediante una fórmula de primer orden: es un cierre transitivo de si y solo si es una intersección de todos los superconjuntos transitivos de (es decir, cada superconjunto transitivo de contiene como subconjunto). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

Modelos transitivos de la teoría de conjuntos

Las clases transitivas se utilizan a menudo para la construcción de interpretaciones de la teoría de conjuntos en sí misma, normalmente llamadas modelos internos . La razón es que las propiedades definidas por fórmulas acotadas son absolutas para las clases transitivas. ^[3]

Un conjunto (o clase) transitivo que es un modelo de un sistema formal de teoría de conjuntos se denomina modelo transitivo del sistema (siempre que la relación de elementos del modelo sea la restricción de la verdadera relación de elementos al universo del modelo). La transitividad es un factor importante para determinar la absolutidad de las fórmulas.

En el enfoque de superestructura para el análisis no estándar , los universos no estándar satisfacen una transitividad fuerte . Aquí, una clase se define como fuertemente transitiva si, para cada conjunto , existe un superconjunto transitivo con . Una clase fuertemente transitiva es automáticamente transitiva. Esta suposición de transitividad reforzada permite concluir, por ejemplo, que contiene el dominio de cada relación binaria en . ^[4] ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle S\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S\subseteq T\subseteq {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Véase también

• Extensión final
• Relación transitiva
• Clase supertransitiva

Referencias

1. "Número de árboles de identidad enraizados con n nodos (árboles enraizados cuyo grupo de automorfismos es el grupo de identidad).", OEIS
2. Ciesielski, Krzysztof (1997), Teoría de conjuntos para el matemático en activo, Cambridge: Cambridge University Press, pág. 164, ISBN 978-1-139-17313-1, OCLC  817922080
3. Viale, Matteo (noviembre de 2003), "La jerarquía acumulativa y el universo construible de ZFA", Mathematical Logic Quarterly , 50 (1), Wiley: 99–103, doi :10.1002/malq.200310080
4. Goldblatt (1998) pág. 161

• Ciesielski, Krzysztof (1997), Teoría de conjuntos para el matemático en activo , London Mathematical Society Student Texts, vol. 39, Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 0-521-59441-3, Zbl0938.03067 ​
• Goldblatt, Robert (1998), Lecciones sobre los hiperreales. Una introducción al análisis no estándar , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 188, Nueva York, NY: Springer-Verlag , ISBN 0-387-98464-X, Zbl0911.03032 ​
• Jech, Thomas (2008) [publicado originalmente en 1973], El axioma de la elección , Dover Publications , ISBN 978-0-486-46624-8, Zbl0259.02051 ​