Extensión final

Extensión de un conjunto transitivo

En la teoría de modelos y la teoría de conjuntos , que son disciplinas dentro de las matemáticas, un modelo de algún sistema de axiomas de la teoría de conjuntos en el lenguaje de la teoría de conjuntos es una extensión final de , en símbolos , si ${\displaystyle {\mathfrak {B}}=\langle B,F\rangle }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathfrak {A}}=\langle A,E\rangle }$ ${\displaystyle {\mathfrak {A}}\subseteq _{\text{end}}{\mathfrak {B}}}$

1. ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$es una subestructura de , (es decir, y ), y ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ ${\displaystyle A\subseteq B}$ ${\displaystyle E=F|_{A}}$
2. ${\displaystyle b\in A}$siempre que y se mantengan, es decir, no se añaden nuevos elementos a los elementos de . ^[1] ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle bFa}$ ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ ${\displaystyle A}$

La segunda condición se puede escribir de manera equivalente como para todo . ${\displaystyle \{b\in A:bEa\}=\{b\in B:bFa\}}$ ${\displaystyle a\in A}$

Por ejemplo, es una extensión final de si y son conjuntos transitivos , y . ${\displaystyle \langle B,\in \rangle }$ ${\displaystyle \langle A,\in \rangle }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\subseteq B}$

Un concepto relacionado es el de extensión superior (también conocida como extensión de rango), donde un modelo es una extensión superior de un modelo si y para todos y , tenemos , donde denota el rango de un conjunto. ${\displaystyle {\mathfrak {B}}=\langle B,F\rangle }$ ${\displaystyle {\mathfrak {A}}=\langle A,E\rangle }$ ${\displaystyle {\mathfrak {A}}\subseteq _{\text{end}}{\mathfrak {B}}}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle b\in B\setminus A}$ ${\displaystyle rank(b)>rank(a)}$ ${\displaystyle rank(\cdot )}$

Existencia

Keisler y Morley demostraron que cada modelo contable de ZF tiene una extensión final que también es una extensión elemental . ^[2] Si el requisito de elementariedad se debilita a elemental para fórmulas que están en la jerarquía de Lévy , cada estructura contable en la que se cumple -colección tiene una extensión final -elemental. ^[3] ${\displaystyle \Sigma _{n}}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}}$

Referencias

1. HJ Keisler, JH Silver, "Extensiones finales de los modelos de teoría de conjuntos", p. 177. En Teoría de conjuntos axiomática, parte 1 (1971), Actas de simposios sobre matemáticas puras, Dana Scott, editor.
2. Keisler, H. Jerome; Morley, Michael (1968), "Extensiones elementales de modelos de teoría de conjuntos", Israel Journal of Mathematics , 5 : 49–65, doi :10.1007/BF02771605
3. Kaufmann, Matt (1981), "Sobre la existencia de Σ _n extensiones finales", Logic Year 1979–80 , Lecture Notes in Mathematics, vol. 859, págs. 92–103, doi :10.1007/BFb0090942, ISBN 3-540-10708-8