En matemáticas , y particularmente en teoría de conjuntos , teoría de categorías , teoría de tipos y fundamentos de las matemáticas , un universo es una colección que contiene todas las entidades que uno desea considerar en una situación determinada.
En la teoría de conjuntos, los universos son a menudo clases que contienen (como elementos ) todos los conjuntos para los cuales se espera demostrar un teorema particular . Estas clases pueden servir como modelos internos para varios sistemas axiomáticos como ZFC o la teoría de conjuntos de Morse-Kelley . Los universos son de importancia crítica para formalizar conceptos en la teoría de categorías dentro de los fundamentos de la teoría de conjuntos. Por ejemplo, el ejemplo motivador canónico de una categoría es Conjunto , la categoría de todos los conjuntos, que no puede formalizarse en una teoría de conjuntos sin alguna noción de universo.
En la teoría de tipos, un universo es un tipo cuyos elementos son tipos.
Quizás la versión más simple sea que cualquier conjunto puede ser un universo, siempre que el objeto de estudio se limite a ese conjunto en particular. Si el objeto de estudio está formado por los números reales , entonces la recta real R , que es el conjunto de números reales, podría ser el universo bajo consideración. Implícitamente, este es el universo que Georg Cantor estaba usando cuando desarrolló por primera vez la ingenua teoría de conjuntos y la cardinalidad modernas en las décadas de 1870 y 1880 en aplicaciones al análisis real . Los únicos conjuntos que interesaban originalmente a Cantor eran los subconjuntos de R .
Este concepto de universo se refleja en el uso de diagramas de Venn . En un diagrama de Venn, la acción tradicionalmente tiene lugar dentro de un gran rectángulo que representa el universo U. Generalmente se dice que los conjuntos están representados por círculos; pero estos conjuntos sólo pueden ser subconjuntos de U. El complemento de un conjunto A viene dado entonces por la porción del rectángulo fuera del círculo de A. Estrictamente hablando, este es el complemento relativo U \ A de A con respecto a U ; pero en un contexto donde U es el universo , puede considerarse como el complemento absoluto A C de A. De manera similar, existe una noción de intersección nula , es decir, la intersección de conjuntos cero (es decir, sin conjuntos, no conjuntos nulos ).
Sin universo, la intersección nula sería el conjunto de absolutamente todo, lo que generalmente se considera imposible; pero teniendo en cuenta el universo, la intersección nula puede tratarse como el conjunto de todo lo que se considera, que es simplemente U. Estas convenciones son bastante útiles en el enfoque algebraico de la teoría básica de conjuntos, basada en redes booleanas . Excepto en algunas formas no estándar de teoría de conjuntos axiomática (como New Foundations ), la clase de todos los conjuntos no es una red booleana (es sólo una red relativamente complementada ).
En contraste, la clase de todos los subconjuntos de U , llamada conjunto potencia de U , es una red booleana. El complemento absoluto descrito anteriormente es la operación de complemento en la red booleana; y U , como intersección nula, sirve como elemento superior (o encuentro nular ) en la red booleana. Entonces se aplican las leyes de De Morgan , que tratan de los complementos de encuentros y uniones (que son uniones en la teoría de conjuntos), y se aplican incluso al encuentro nular y a la unión nula (que es el conjunto vacío ).
Sin embargo, una vez que se consideran los subconjuntos de un conjunto dado X (en el caso de Cantor, X = R ), es posible que sea necesario que el universo sea un conjunto de subconjuntos de X. (Por ejemplo, una topología en X es un conjunto de subconjuntos de X .) Los diversos conjuntos de subconjuntos de X no serán en sí mismos subconjuntos de X sino que serán subconjuntos de P X , el conjunto potencia de X . Esto puede continuar; el objeto de estudio puede consistir a continuación en tales conjuntos de subconjuntos de X , y así sucesivamente, en cuyo caso el universo será P ( P X ). En otra dirección, se pueden considerar las relaciones binarias en X (subconjuntos del producto cartesiano X × X ) , o funciones de X hacia sí mismo, requiriendo universos como P ( X × X ) o X X .
Por lo tanto, incluso si el interés principal es X , es posible que el universo necesite ser considerablemente más grande que X. Siguiendo las ideas anteriores, es posible que deseemos que la superestructura sobre X sea el universo. Esto se puede definir mediante recursividad estructural de la siguiente manera:
Entonces la superestructura sobre X , escrita S X , es la unión de S 0 X , S 1 X , S 2 X , etc.; o
No importa qué conjunto X sea el punto de partida, el conjunto vacío {} pertenecerá a S 1 X . El conjunto vacío es el ordinal de von Neumann [0]. Entonces {[0]}, el conjunto cuyo único elemento es el conjunto vacío, pertenecerá a S 2 X ; este es el ordinal de von Neumann [1]. De manera similar, {[1]} pertenecerá a S 3 X , y por lo tanto también lo será {[0],[1]}, como unión de {[0]} y {[1]}; este es el ordinal de von Neumann [2]. Continuando con este proceso, todo número natural queda representado en la superestructura por su ordinal de von Neumann. A continuación, si xey pertenecen a la superestructura , también lo hace {{ x },{ x , y }}, que representa el par ordenado ( x , y ). Por tanto, la superestructura contendrá los diversos productos cartesianos deseados. Entonces la superestructura también contiene funciones y relaciones , ya que éstas pueden representarse como subconjuntos de productos cartesianos. El proceso también da n -tuplas ordenadas , representadas como funciones cuyo dominio es el ordinal de von Neumann [ n ], y así sucesivamente.
Entonces, si el punto de partida es simplemente X = {}, una gran cantidad de conjuntos necesarios para las matemáticas aparecen como elementos de la superestructura sobre {}. Pero cada uno de los elementos de S {} será un conjunto finito . Cada uno de los números naturales le pertenece, pero el conjunto N de todos los números naturales no (aunque es un subconjunto de S {}). De hecho, la superestructura sobre {} consta de todos los conjuntos hereditariamente finitos . Como tal, puede considerarse el universo de las matemáticas finitistas . Hablando de manera anacrónica, se podría sugerir que el finitista del siglo XIX Leopold Kronecker estaba trabajando en este universo; creía que cada número natural existía pero que el conjunto N (un " infinito completo ") no.
Sin embargo, S {} es insatisfactorio para los matemáticos comunes (que no son finitistas), porque aunque N puede estar disponible como un subconjunto de S {}, el conjunto potencia de N no lo está. En particular, no se encuentran disponibles conjuntos arbitrarios de números reales. Por lo tanto, puede que sea necesario comenzar el proceso de nuevo y formar S ( S {}). Sin embargo, para simplificar las cosas, se puede tomar el conjunto N de números naturales como dado y formar SN , la superestructura sobre N. Este es a menudo considerado el universo de las matemáticas ordinarias . La idea es que todas las matemáticas que se estudian habitualmente se refieren a elementos de este universo. Por ejemplo, cualquiera de las construcciones habituales de los números reales (por ejemplo, mediante cortes de Dedekind ) pertenece a SN . Incluso se pueden realizar análisis no estándar en la superestructura sobre un modelo no estándar de números naturales.
Hay un ligero cambio en la filosofía con respecto a la sección anterior, donde el universo era cualquier conjunto U de interés. Allí, los conjuntos estudiados eran subconjuntos del universo; ahora son miembros del universo. Así, aunque P ( S X ) es una red booleana, lo relevante es que S X en sí no lo es. En consecuencia, es raro aplicar las nociones de redes booleanas y diagramas de Venn directamente al universo de superestructura como lo fueron a los universos de conjuntos de potencias de la sección anterior. En cambio, se puede trabajar con las redes booleanas individuales P A , donde A es cualquier conjunto relevante que pertenezca a S X ; entonces P A es un subconjunto de S X (y de hecho pertenece a S X ). En el caso de Cantor, X = R en particular, no están disponibles conjuntos arbitrarios de números reales, por lo que puede ser necesario comenzar el proceso de nuevo.
Es posible dar un significado preciso a la afirmación de que SN es el universo de las matemáticas ordinarias; es un modelo de la teoría de conjuntos de Zermelo , la teoría de conjuntos axiomática desarrollada originalmente por Ernst Zermelo en 1908. La teoría de conjuntos de Zermelo tuvo éxito precisamente porque fue capaz de axiomatizar las matemáticas "ordinarias", cumpliendo el programa iniciado por Cantor más de 30 años antes. Pero la teoría de conjuntos de Zermelo resultó insuficiente para el desarrollo posterior de la teoría de conjuntos axiomática y otros trabajos sobre los fundamentos de las matemáticas , especialmente la teoría de modelos .
Para poner un ejemplo dramático, la descripción anterior del proceso de superestructura no puede llevarse a cabo en la teoría de conjuntos de Zermelo. El paso final, formar S como una unión infinita, requiere el axioma de reemplazo , que se añadió a la teoría de conjuntos de Zermelo en 1922 para formar la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , el conjunto de axiomas más ampliamente aceptado en la actualidad. Entonces, si bien las matemáticas ordinarias pueden realizarse en SN , la discusión sobre SN va más allá de lo "ordinario", hacia la metamatemática .
Pero si se introduce una teoría de conjuntos de alto poder, el proceso de superestructura mencionado anteriormente se revela como simplemente el comienzo de una recursión transfinita . Volviendo a X = {}, el conjunto vacío, e introduciendo la notación (estándar) Vi para S i { }, V 0 = {}, V 1 = P {}, y así sucesivamente como antes. Pero lo que solía llamarse "superestructura" ahora es sólo el siguiente elemento de la lista: V ω , donde ω es el primer número ordinal infinito . Esto se puede extender a números ordinales arbitrarios :
define V i para cualquier número ordinal i . La unión de todos los Vi es el universo V de von Neumann :
Cada individuo Vi es un conjunto, pero su unión V es una clase propia . El axioma de fundación , que se agregó a la teoría de conjuntos ZF aproximadamente al mismo tiempo que el axioma de reemplazo, dice que todo conjunto pertenece a V.
En una interpretación de la lógica de primer orden , el universo (o dominio del discurso) es el conjunto de individuos (constantes individuales) sobre los cuales varían los cuantificadores . Una proposición como ∀ x ( x 2 ≠ 2) es ambigua si no se ha identificado ningún dominio del discurso. En una interpretación, el dominio del discurso podría ser el conjunto de los números reales ; en otra interpretación, podría ser el conjunto de los números naturales . Si el dominio del discurso es el conjunto de los números reales, la proposición es falsa, con x = √ 2 como contraejemplo; si el dominio es el conjunto de los naturales, la proposición es verdadera, ya que 2 no es el cuadrado de ningún número natural.
Hay otro enfoque de los universos que está históricamente relacionado con la teoría de categorías . Ésta es la idea de un universo de Grothendieck . En términos generales, un universo de Grothendieck es un conjunto dentro del cual se pueden realizar todas las operaciones habituales de la teoría de conjuntos. Esta versión de un universo se define como cualquier conjunto para el cual se cumplen los siguientes axiomas: [1]
El uso más común de un universo U de Grothendieck es tomar U como reemplazo de la categoría de todos los conjuntos. Se dice que un conjunto S es U - pequeño si S ∈ U y U - grande en caso contrario. La categoría U - Conjunto de todos los U -conjuntos pequeños tiene como objetos todos los U -conjuntos pequeños y como morfismos todas las funciones entre estos conjuntos. Tanto el conjunto de objetos como el conjunto de morfismos son conjuntos, por lo que es posible discutir la categoría de "todos" los conjuntos sin invocar clases adecuadas. Entonces es posible definir otras categorías en términos de esta nueva categoría. Por ejemplo, la categoría de todas las U -categorías pequeñas es la categoría de todas las categorías cuyo conjunto de objetos y cuyo conjunto de morfismos están en U. Entonces los argumentos habituales de la teoría de conjuntos son aplicables a la categoría de todas las categorías, y uno no tiene que preocuparse por hablar accidentalmente de clases adecuadas. Como los universos de Grothendieck son extremadamente grandes, esto es suficiente en casi todas las aplicaciones.
A menudo, cuando trabajan con universos de Grothendieck, los matemáticos asumen el axioma de los universos : "Para cualquier conjunto x , existe un universo U tal que x ∈ U ". El objetivo de este axioma es que cualquier conjunto que uno encuentre es entonces U -pequeño para alguna U , por lo que se puede aplicar cualquier argumento elaborado en un universo general de Grothendieck. [2] Este axioma está estrechamente relacionado con la existencia de cardenales fuertemente inaccesibles .
En algunas teorías de tipos, especialmente en sistemas con tipos dependientes , los tipos mismos pueden considerarse términos . Hay un tipo llamado universo (a menudo denominado ) que tiene tipos como elementos. Para evitar paradojas como la paradoja de Girard (un análogo de la paradoja de Russell para la teoría de tipos), las teorías de tipos suelen estar equipadas con una jerarquía contablemente infinita de tales universos, siendo cada universo un término del siguiente.
Hay al menos dos tipos de universos que se pueden considerar en la teoría de tipos: universos de estilo Russell (llamados así en honor a Bertrand Russell ) y universos de estilo Tarski (llamados así en honor a Alfred Tarski ). [3] [4] [5] Un universo al estilo Russell es un tipo cuyos términos son tipos. [3] Un universo al estilo Tarski es un tipo junto con una operación de interpretación que nos permite considerar sus términos como tipos. [3]
Por ejemplo: [6]
El carácter abierto de la teoría de tipos de Martin-Löf se manifiesta particularmente en la introducción de los llamados universos. Los universos tipo encapsulan la noción informal de reflexión cuyo papel puede explicarse de la siguiente manera. Durante el curso del desarrollo de una formalización particular de la teoría de tipos, el teórico de tipos puede revisar las reglas para los tipos, digamos C, que se han introducido hasta ahora y realizar el paso de reconocer que son válidas de acuerdo con la regla informal de Martin-Löf. Semántica de la explicación del significado. Este acto de "introspección" es un intento de tomar conciencia de las concepciones que han gobernado nuestras construcciones en el pasado. Da lugar a un “ principio de reflexión que, en términos generales, dice que cualquier cosa que estemos acostumbrados a hacer con tipos se puede hacer dentro de un universo” (Martin-Löf 1975, 83). En el nivel formal, esto conduce a una extensión de la formalización existente de la teoría de tipos en el sentido de que las capacidades de formación de tipos de C quedan consagradas en un universo tipo U C que refleja a C.
