En matemáticas , una conjetura es una conclusión o una proposición que se ofrece de forma tentativa sin prueba . [1] [2] [3] Algunas conjeturas, como la hipótesis de Riemann (todavía una conjetura) o el último teorema de Fermat (una conjetura hasta que Andrew Wiles la demostró en 1995 ), han dado forma a gran parte de la historia de las matemáticas a medida que se desarrollan nuevas áreas de las matemáticas. desarrollados para demostrarlos. [4]
Las matemáticas formales se basan en una verdad demostrable . En matemáticas, cualquier número de casos que respalden una conjetura cuantificada universalmente , sin importar cuán grande sea, es insuficiente para establecer la veracidad de la conjetura, ya que un solo contraejemplo podría derribar la conjetura inmediatamente. Las revistas matemáticas a veces publican resultados menores de equipos de investigación que han extendido la búsqueda de un contraejemplo más allá de lo que se había hecho anteriormente. Por ejemplo, la conjetura de Collatz , que se refiere a si ciertas secuencias de números enteros terminan o no, se ha probado para todos los números enteros hasta 1,2 × 10 12 (más de un billón). Sin embargo, el hecho de no encontrar un contraejemplo después de una búsqueda exhaustiva no constituye una prueba de que la conjetura sea verdadera, porque la conjetura podría ser falsa pero con un contraejemplo mínimo muy grande.
Sin embargo, los matemáticos a menudo consideran que una conjetura está fuertemente respaldada por evidencia, aunque aún no esté demostrada. Esas pruebas pueden ser de diversos tipos, como la verificación de sus consecuencias o fuertes interconexiones con resultados conocidos. [5]
Una conjetura se considera probada sólo cuando se ha demostrado que es lógicamente imposible que sea falsa. Existen varios métodos para hacerlo; consulte métodos de prueba matemática para obtener más detalles.
Un método de prueba, aplicable cuando sólo hay un número finito de casos que podrían conducir a contraejemplos, se conoce como " fuerza bruta ": en este enfoque, se consideran todos los casos posibles y se demuestra que no se dan contraejemplos. En algunas ocasiones, el número de casos es bastante grande, en cuyo caso una prueba de fuerza bruta puede requerir, como cuestión práctica, el uso de un algoritmo informático para comprobar todos los casos. Por ejemplo, inicialmente se dudó de la validez de las demostraciones de fuerza bruta del teorema de los cuatro colores realizadas por computadora en 1976 y 1997, pero finalmente fue confirmada en 2005 mediante un software de demostración de teoremas .
Cuando una conjetura ha sido probada , ya no es una conjetura sino un teorema . Muchos teoremas importantes alguna vez fueron conjeturas, como el teorema de Geometrización (que resolvió la conjetura de Poincaré ), el último teorema de Fermat y otros.
Las conjeturas refutadas mediante contraejemplos a veces se denominan conjeturas falsas (cf. la conjetura de Pólya y la conjetura de la suma de potencias de Euler ). En el caso de este último, el primer contraejemplo encontrado para el caso n=4 involucraba números de millones, aunque posteriormente se descubrió que el contraejemplo mínimo es en realidad más pequeño.
No todas las conjeturas terminan siendo verdaderas o falsas. Finalmente se demostró que la hipótesis del continuo , que intenta determinar la cardinalidad relativa de ciertos conjuntos infinitos , es independiente del conjunto generalmente aceptado de axiomas de Zermelo-Fraenkel de la teoría de conjuntos. Por lo tanto, es posible adoptar esta afirmación, o su negación, como un nuevo axioma de manera consistente (de la misma manera que el postulado de las paralelas de Euclides puede considerarse verdadero o falso en un sistema axiomático de geometría).
En este caso, si una prueba utiliza esta afirmación, los investigadores a menudo buscarán una nueva prueba que no requiera la hipótesis (de la misma manera que es deseable que las afirmaciones en geometría euclidiana se demuestren utilizando sólo los axiomas de la geometría neutra, es decir, sin el postulado de las paralelas). La única excepción importante a esto en la práctica es el axioma de elección , ya que la mayoría de los investigadores normalmente no se preocupan de si un resultado lo requiere, a menos que estén estudiando este axioma en particular.
A veces, una conjetura se denomina hipótesis cuando se utiliza frecuente y repetidamente como suposición en pruebas de otros resultados. Por ejemplo, la hipótesis de Riemann es una conjetura de la teoría de números que, entre otras cosas, hace predicciones sobre la distribución de los números primos . Pocos teóricos de los números dudan de que la hipótesis de Riemann sea cierta. De hecho, anticipándose a su eventual prueba, algunos incluso han procedido a desarrollar más pruebas que dependen de la verdad de esta conjetura. Éstas se llaman demostraciones condicionales : las conjeturas asumidas aparecen en las hipótesis del teorema, por el momento.
Estas "pruebas", sin embargo, se desmoronarían si resultase que la hipótesis es falsa, por lo que existe un interés considerable en comprobar la verdad o falsedad de conjeturas de este tipo.
En teoría de números , el último teorema de Fermat (a veces llamado conjetura de Fermat , especialmente en textos más antiguos) establece que no hay tres números enteros positivos , y pueden satisfacer la ecuación para cualquier valor entero mayor que dos.
Este teorema fue conjeturado por primera vez por Pierre de Fermat en 1637 en el margen de una copia de Arithmetica , donde afirmaba que tenía una prueba que era demasiado grande para caber en el margen. [6] La primera prueba exitosa fue publicada en 1994 por Andrew Wiles , y publicada formalmente en 1995, después de 358 años de esfuerzo por parte de los matemáticos. El problema no resuelto estimuló el desarrollo de la teoría algebraica de números en el siglo XIX y la demostración del teorema de modularidad en el siglo XX. Se encuentra entre los teoremas más notables de la historia de las matemáticas y, antes de su demostración, figuraba en el Libro Guinness de los Récords por "los problemas matemáticos más difíciles". [7]
En matemáticas , el teorema de los cuatro colores , o teorema del mapa de los cuatro colores, establece que dada cualquier separación de un plano en regiones contiguas, produciendo una figura llamada mapa , no se requieren más de cuatro colores para colorear las regiones del mapa, por lo que que no hay dos regiones adyacentes que tengan el mismo color. Dos regiones se llaman adyacentes si comparten un límite común que no es una esquina, donde las esquinas son los puntos compartidos por tres o más regiones. [8] Por ejemplo, en el mapa de los Estados Unidos de América, Utah y Arizona son adyacentes, pero Utah y Nuevo México, que sólo comparten un punto que también pertenece a Arizona y Colorado, no lo son.
Möbius mencionó el problema en sus conferencias ya en 1840. [9] La conjetura fue propuesta por primera vez el 23 de octubre de 1852 [10] cuando Francis Guthrie , mientras intentaba colorear el mapa de los condados de Inglaterra, notó que sólo cuatro colores diferentes eran necesario. El teorema de los cinco colores , que tiene una breve demostración elemental, afirma que cinco colores son suficientes para colorear un mapa y fue demostrado a finales del siglo XIX; [11] sin embargo, demostrar que cuatro colores son suficientes resultó ser mucho más difícil. Desde el primer enunciado del teorema de los cuatro colores en 1852 han aparecido varias demostraciones falsas y contraejemplos falsos.
El teorema de los cuatro colores fue finalmente demostrado en 1976 por Kenneth Appel y Wolfgang Haken . Fue el primer teorema importante demostrado utilizando una computadora . El enfoque de Appel y Haken comenzó mostrando que existe un conjunto particular de 1.936 mapas, cada uno de los cuales no puede ser parte de un contraejemplo de tamaño más pequeño para el teorema de los cuatro colores (es decir, si aparecieran, se podría hacer un contraejemplo más pequeño ). Appel y Haken utilizaron un programa informático especial para confirmar que cada uno de estos mapas tenía esta propiedad. Además, cualquier mapa que pueda ser un contraejemplo debe tener una parte que se parezca a uno de estos 1.936 mapas. Mostrando esto con cientos de páginas de análisis manual, Appel y Haken concluyeron que no existe ningún contraejemplo más pequeño porque cualquiera debe contener, pero no contener, uno de estos 1.936 mapas. Esta contradicción significa que no hay ningún contraejemplo y que, por tanto, el teorema es verdadero. Inicialmente, su demostración no fue aceptada en absoluto por los matemáticos porque la demostración asistida por computadora no era factible de verificar a mano por un humano. [12] Sin embargo, la prueba ha ganado desde entonces una aceptación más amplia, aunque aún quedan dudas. [13]
La Hauptvermutung (en alemán, conjetura principal) de topología geométrica es la conjetura de que dos triangulaciones cualesquiera de un espacio triangulable tienen un refinamiento común, una única triangulación que es una subdivisión de ambas. Fue formulado originalmente en 1908 por Steinitz y Tietze . [14]
Ahora se sabe que esta conjetura es falsa. La versión no múltiple fue refutada por John Milnor [15] en 1961 utilizando la torsión de Reidemeister .
La versión múltiple es verdadera en dimensiones m ≤ 3 . Los casos m = 2 y 3 fueron demostrados por Tibor Radó y Edwin E. Moise [16] en los años 1920 y 1950, respectivamente.
En matemáticas , las conjeturas de Weil fueron algunas propuestas muy influyentes de André Weil (1949) sobre las funciones generadoras (conocidas como funciones zeta locales ) derivadas del conteo del número de puntos en variedades algebraicas sobre cuerpos finitos .
Una variedad V sobre un campo finito con q elementos tiene un número finito de puntos racionales , así como puntos sobre cada campo finito con q k elementos que contienen ese campo. La función generadora tiene coeficientes derivados de los números N k de puntos sobre el campo (esencialmente único) con q k elementos.
Weil conjeturó que tales funciones zeta deberían ser funciones racionales , deberían satisfacer una forma de ecuación funcional y deberían tener sus ceros en lugares restringidos. Las dos últimas partes se basaron conscientemente en la función zeta de Riemann y la hipótesis de Riemann . La racionalidad fue demostrada por Dwork (1960), la ecuación funcional por Grothendieck (1965) y la análoga a la hipótesis de Riemann fue demostrada por Deligne (1974).
En matemáticas , la conjetura de Poincaré es un teorema sobre la caracterización de la 3-esfera , que es la hiperesfera que limita la bola unitaria en un espacio de cuatro dimensiones. La conjetura establece que:
Cada 3 variedades cerradas y simplemente conectadas es homeomorfa a las 3 esferas.
Una forma equivalente de la conjetura implica una forma de equivalencia más burda que el homeomorfismo llamada equivalencia de homotopía : si una variedad de 3 es equivalente en homotopía a la de 3 esferas, entonces es necesariamente homeomorfa para ella.
Originalmente conjeturado por Henri Poincaré en 1904, el teorema se refiere a un espacio que localmente parece un espacio tridimensional ordinario pero que es conexo, de tamaño finito y carece de límites (una variedad tridimensional cerrada ). La conjetura de Poincaré afirma que si dicho espacio tiene la propiedad adicional de que cada bucle en el espacio puede estrecharse continuamente hasta un punto, entonces es necesariamente una esfera tridimensional. Un resultado análogo se conoce desde hace algún tiempo en dimensiones superiores.
Después de casi un siglo de esfuerzos por parte de los matemáticos, Grigori Perelman presentó una prueba de la conjetura en tres artículos disponibles en 2002 y 2003 en arXiv . La prueba fue una continuación del programa de Richard S. Hamilton de utilizar el flujo de Ricci para intentar resolver el problema. Más tarde, Hamilton introdujo una modificación del flujo de Ricci estándar, llamado flujo de Ricci con cirugía para extirpar sistemáticamente regiones singulares a medida que se desarrollan, de forma controlada, pero no pudo demostrar que este método "convergiera" en tres dimensiones. [17] Perelman completó esta parte de la prueba. Varios equipos de matemáticos han verificado que la demostración de Perelman es correcta.
La conjetura de Poincaré, antes de ser demostrada, era una de las cuestiones abiertas más importantes en topología .
En matemáticas, la hipótesis de Riemann , propuesta por Bernhard Riemann (1859), es una conjetura de que todos los ceros no triviales de la función zeta de Riemann tienen parte real 1/2. El nombre también se utiliza para algunos análogos estrechamente relacionados, como la hipótesis de Riemann para curvas sobre campos finitos .
La hipótesis de Riemann implica resultados sobre la distribución de números primos . Junto con las generalizaciones adecuadas, algunos matemáticos lo consideran el problema no resuelto más importante de la matemática pura . [18] La hipótesis de Riemann, junto con la conjetura de Goldbach , forma parte del octavo problema de Hilbert en la lista de 23 problemas sin resolver de David Hilbert ; también es uno de los Problemas del Premio del Milenio del Clay Mathematics Institute .
El problema P versus NP es un importante problema sin resolver en informática . Informalmente, se pregunta si todo problema cuya solución pueda ser verificada rápidamente por una computadora también puede resolverse rápidamente por una computadora; Se conjetura ampliamente que la respuesta es no. Básicamente, se mencionó por primera vez en una carta de 1956 escrita por Kurt Gödel a John von Neumann . Gödel preguntó si cierto problema NP-completo podría resolverse en tiempo cuadrático o lineal. [19] La formulación precisa del problema P=NP fue introducida en 1971 por Stephen Cook en su artículo fundamental "La complejidad de los procedimientos de demostración de teoremas" [20] y muchos lo consideran el problema abierto más importante en este campo. [21] Es uno de los siete Problemas del Premio del Milenio seleccionados por el Clay Mathematics Institute para otorgar un premio de 1.000.000 de dólares a la primera solución correcta.
Karl Popper fue pionero en el uso del término "conjetura" en la filosofía científica . [24] La conjetura está relacionada con la hipótesis , que en ciencia se refiere a una conjetura comprobable.
De este artículo: Definiciones: Un mapa plano es un conjunto de subconjuntos disjuntos por pares del plano, llamados regiones.
Un mapa simple es aquel cuyas regiones son conjuntos abiertos conectados.
Dos regiones de un mapa son adyacentes si sus respectivos cierres tienen un punto común que no es una esquina del mapa.
Un punto es una esquina de un mapa si y sólo si pertenece a los cierres de al menos tres regiones.
Teorema: Las regiones de cualquier mapa plano simple se pueden colorear con solo cuatro colores, de tal manera que dos regiones adyacentes cualesquiera tengan colores diferentes.
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