Colector cerrado

En matemáticas , una variedad cerrada es una variedad sin límite que es compacta . En comparación, una variedad abierta es una variedad sin límite que solo tiene componentes no compactos .

Ejemplos

El único ejemplo unidimensional conectado es un círculo . La esfera , el toro y la botella de Klein son variedades bidimensionales cerradas. El espacio proyectivo real RP ⁿ es una variedad cerrada de n dimensiones. El espacio proyectivo complejo CP ⁿ es una variedad cerrada de 2n dimensiones. ^[1] Una línea no está cerrada porque no es compacta. Un disco cerrado es una variedad bidimensional compacta, pero no está cerrado porque tiene un límite.

Propiedades

Cada variedad cerrada es una retracción de vecindad euclidiana y, por lo tanto, tiene grupos de homología generados de forma finita. ^[2]

Si es una n-colector cerrada y conectada, el n-ésimo grupo de homología es o 0 dependiendo de si es orientable o no. ^[3] Además, el subgrupo de torsión del (n-1)-ésimo grupo de homología es 0 o dependiendo de si es orientable o no. Esto se desprende de una aplicación del teorema del coeficiente universal . ^[4] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle H_{n}(M;\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle H_{n-1}(M;\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle M}$

Sea un anillo conmutativo. Para -orientable con clase fundamental , el mapa definido por es un isomorfismo para todo k. Ésta es la dualidad de Poincaré . ^[5] En particular, toda variedad cerrada es -orientable. Entonces siempre hay un isomorfismo . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle [M]\in H_{n}(M;R)}$ ${\displaystyle D:H^{k}(M;R)\to H_{n-k}(M;R)}$ ${\displaystyle D(\alpha )=[M]\cap \alpha }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle H^{k}(M;\mathbb {Z} _{2})\cong H_{n-k}(M;\mathbb {Z} _{2})}$

Colectores abiertos

Para una variedad conectada, "abierto" es equivalente a "sin límite y no compacto", pero para una variedad desconectada, abierta es más fuerte. Por ejemplo, la unión disjunta de un círculo y una línea no es compacta ya que una línea no es compacta, pero esta no es una variedad abierta ya que el círculo (uno de sus componentes) es compacto.

Abuso de lenguaje

La mayoría de los libros generalmente definen una variedad como un espacio que es, localmente, homeomorfo al espacio euclidiano (junto con algunas otras condiciones técnicas), por lo que, según esta definición, una variedad no incluye su límite cuando está incrustada en un espacio más grande. Sin embargo, esta definición no cubre algunos objetos básicos como un disco cerrado , por lo que los autores a veces definen una variedad con límite y abusivamente dicen variedad sin referencia al límite. Pero normalmente, una variedad compacta (compacta con respecto a su topología subyacente) se puede usar como sinónimo de variedad cerrada si se usa la definición habitual de variedad.

La noción de variedad cerrada no tiene relación con la de conjunto cerrado . Una línea es un subconjunto cerrado del plano y una variedad, pero no una variedad cerrada.

Uso en física

La noción de un " universo cerrado " puede referirse a que el universo es una variedad cerrada, pero lo más probable es que se refiera a que el universo es una variedad de curvatura de Ricci positiva constante .

Ver también

• colector manso

Referencias

1. Véase Hatcher 2002, p.231.
2. Véase Hatcher 2002, p.536.
3. Véase Hatcher 2002, p.236.
4. Véase Hatcher 2002, p.238.
5. Véase Hatcher 2002, p.250.

• Michael Spivak : una introducción completa a la geometría diferencial. Volumen 1. 3ª edición con correcciones. Publicar o perecer, Houston TX 2005, ISBN  0-914098-70-5 .
• Allen Hatcher , Topología algebraica. Prensa de la Universidad de Cambridge, Cambridge, 2002.