En teoría de números , el último teorema de Fermat (a veces llamado conjetura de Fermat , especialmente en textos más antiguos ) establece que no hay tres números enteros positivos a , b y c que satisfagan la ecuación an + b n = c n para cualquier valor entero de n mayor que 2. . Se sabe desde la antigüedad que los casos n = 1 y n = 2 tienen infinitas soluciones. [1]
La proposición fue enunciada por primera vez como teorema por Pierre de Fermat alrededor de 1637 en el margen de una copia de Arithmetica . Fermat añadió que tenía una prueba demasiado grande para caber en el margen. Aunque otras afirmaciones afirmadas por Fermat sin prueba fueron posteriormente probadas por otros y acreditadas como teoremas de Fermat (por ejemplo, el teorema de Fermat sobre la suma de dos cuadrados ), el último teorema de Fermat se resistió a la prueba, lo que llevó a dudar de que Fermat alguna vez tuviera una prueba correcta. En consecuencia, la proposición pasó a ser conocida como una conjetura más que como un teorema. Después de 358 años de esfuerzo por parte de matemáticos, la primera prueba exitosa fue publicada en 1994 por Andrew Wiles y publicada formalmente en 1995. Fue descrita como un "avance sorprendente" en la mención para el Premio Abel de Wiles en 2016. [2] También demostró gran parte de la conjetura de Taniyama-Shimura, posteriormente conocida como teorema de modularidad , y abrió enfoques completamente nuevos a muchos otros problemas y técnicas de elevación de modularidad matemáticamente poderosas.
El problema no resuelto estimuló el desarrollo de la teoría algebraica de números en los siglos XIX y XX. Se encuentra entre los teoremas más notables de la historia de las matemáticas y antes de su demostración figuraba en el Libro Guinness de los Récords como el "problema matemático más difícil", en parte porque el teorema tiene el mayor número de demostraciones fallidas. [3]
La ecuación pitagórica , x 2 + y 2 = z 2 , tiene un número infinito de soluciones enteras positivas para x , y y z ; estas soluciones se conocen como ternas pitagóricas (siendo el ejemplo más simple 3, 4, 5). Hacia 1637, Fermat escribió en el margen de un libro que la ecuación más general an + b n = c n no tenía soluciones en números enteros positivos si n es un número entero mayor que 2. Aunque afirmó tener una prueba general de su conjetura Fermat no dejó detalles sobre su prueba y nunca se ha encontrado ninguna prueba suya. Su afirmación fue descubierta unos 30 años después, tras su muerte. Esta afirmación, que llegó a conocerse como el último teorema de Fermat , permaneció sin resolver durante los siguientes tres siglos y medio. [4]
La afirmación finalmente se convirtió en uno de los problemas matemáticos no resueltos más notables. Los intentos de demostrarlo impulsaron un desarrollo sustancial en la teoría de números y, con el tiempo, el último teorema de Fermat ganó prominencia como un problema no resuelto en matemáticas .
El caso especial n = 4 , demostrado por el propio Fermat, es suficiente para establecer que si el teorema es falso para algún exponente n que no es un número primo , también debe ser falso para algún n más pequeño, por lo que sólo se necesitan valores primos de n . investigación exahustiva. [nota 1] Durante los dos siglos siguientes (1637-1839), la conjetura se demostró sólo para los números primos 3, 5 y 7, aunque Sophie Germain innovó y demostró un enfoque que era relevante para toda una clase de números primos. A mediados del siglo XIX, Ernst Kummer amplió esto y demostró el teorema para todos los números primos regulares , dejando que los números primos irregulares se analizaran individualmente. Basándose en el trabajo de Kummer y utilizando sofisticados estudios informáticos, otros matemáticos pudieron ampliar la demostración para cubrir todos los exponentes primos hasta cuatro millones, [5] pero una demostración para todos los exponentes era inaccesible (lo que significa que los matemáticos generalmente consideraban una demostración imposible, extremadamente difícil o inalcanzable con los conocimientos actuales). [6]
Por otra parte, alrededor de 1955, los matemáticos japoneses Goro Shimura y Yutaka Taniyama sospecharon que podría existir un vínculo entre las curvas elípticas y las formas modulares , dos áreas de las matemáticas completamente diferentes. Conocida en ese momento como la conjetura de Taniyama-Shimura (eventualmente como teorema de modularidad), se mantuvo por sí sola, sin conexión aparente con el último teorema de Fermat. En general se lo consideraba significativo e importante por derecho propio, pero (al igual que el teorema de Fermat) se lo consideraba completamente inaccesible a la prueba. [7]
En 1984, Gerhard Frey observó una aparente relación entre estos dos problemas que hasta entonces no estaban relacionados ni resueltos. Frey dio un esquema que sugiere que esto podría probarse. La prueba completa de que los dos problemas estaban estrechamente relacionados fue lograda en 1986 por Ken Ribet , basándose en una prueba parcial de Jean-Pierre Serre , quien demostró todas menos una parte conocida como la "conjetura épsilon" (ver: Teorema de Ribet y curva de Frey) . ). [2] Estos artículos de Frey, Serre y Ribet demostraron que si la conjetura de Taniyama-Shimura pudiera demostrarse para al menos la clase semiestable de curvas elípticas, también se obtendría automáticamente una demostración del último teorema de Fermat. La conexión se describe a continuación: cualquier solución que pueda contradecir el último teorema de Fermat también podría usarse para contradecir la conjetura de Taniyama-Shimura. Entonces, si se descubriera que el teorema de modularidad es verdadero, entonces, por definición, no podría existir ninguna solución que contradiga el último teorema de Fermat, lo que, por lo tanto, también tendría que ser verdadero.
Aunque ambos problemas eran desalentadores y ampliamente considerados como "completamente inaccesibles" a la prueba en ese momento, [2] esta fue la primera sugerencia de una ruta por la cual el último teorema de Fermat podría extenderse y demostrarse para todos los números, no solo para algunos. A diferencia del último teorema de Fermat, la conjetura de Taniyama-Shimura era un área de investigación activa importante y se consideraba más al alcance de las matemáticas contemporáneas. [8] Sin embargo, la opinión general fue que esto simplemente mostraba la impracticabilidad de probar la conjetura de Taniyama-Shimura. [9] La reacción citada del matemático John Coates fue común: [9]
Yo mismo era muy escéptico de que el hermoso vínculo entre el último teorema de Fermat y la conjetura de Taniyama-Shimura condujera realmente a algo, porque debo confesar que no pensé que la conjetura de Taniyama-Shimura fuera accesible a prueba. Por hermoso que fuera este problema, parecía imposible demostrarlo. Debo confesar que pensé que probablemente no lo vería probado en mi vida.
Al enterarse de que Ribet había demostrado que el vínculo de Frey era correcto, el matemático inglés Andrew Wiles , que tenía una fascinación infantil con el último teorema de Fermat y tenía experiencia trabajando con curvas elípticas y campos relacionados, decidió intentar probar la conjetura de Taniyama-Shimura como una forma de demostrar el último teorema de Fermat. En 1993, después de seis años de trabajar en secreto en el problema, Wiles logró demostrar la conjetura lo suficiente como para demostrar el último teorema de Fermat. El artículo de Wiles era enorme en tamaño y alcance. Se descubrió una falla en una parte de su artículo original durante la revisión por pares y requirió un año más y la colaboración de un ex alumno, Richard Taylor , para resolverla. Como resultado, la prueba final en 1995 fue acompañada de un documento conjunto más pequeño que demostraba que los pasos fijados eran válidos. El logro de Wiles recibió amplia difusión en la prensa popular y se popularizó en libros y programas de televisión. Las partes restantes de la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil, ahora probada y conocida como teorema de modularidad, fueron demostradas posteriormente por otros matemáticos, que se basaron en el trabajo de Wiles entre 1996 y 2001. [ 10] [11] [12] Para su demostración Wiles fue honrado y recibió numerosos premios, incluido el Premio Abel 2016 . [13] [14] [15]
Hay varias formas alternativas de enunciar el último teorema de Fermat que son matemáticamente equivalentes al enunciado original del problema.
Para enunciarlos utilizamos las siguientes notaciones: sea N el conjunto de los números naturales 1, 2, 3, ..., sea Z el conjunto de los números enteros 0, ±1, ±2, ..., y sea Q el conjunto de números racionales a / b , donde a y b están en Z con b ≠ 0 . En lo que sigue llamaremos solución trivial a una solución de x n + y n = z n donde uno o más de x , y o z es cero . Una solución donde los tres son distintos de cero se llamará solución no trivial .
A efectos de comparación, comenzamos con la formulación original.
Los tratamientos más populares sobre el tema lo expresan así. También se indica comúnmente sobre Z : [16]
La equivalencia es clara si n es par. Si n es impar y los tres x , y , z son negativos, entonces podemos reemplazar x , y , z con − x , − y , − z para obtener una solución en N . Si dos de ellos son negativos, debe ser x y z o y y z . Si x , z son negativos e y es positivo, entonces podemos reorganizarlos para obtener (− z ) n + y n = (− x ) n , lo que da como resultado una solución en N ; el otro caso se trata de manera análoga. Ahora bien, si solo uno es negativo, debe ser x o y . Si x es negativo, y y y z son positivos, entonces se puede reorganizar para obtener (− x ) n + z n = y n nuevamente, lo que da como resultado una solución en N ; si y es negativo, el resultado se sigue simétricamente. Así, en todos los casos, una solución no trivial en Z también significaría que existe una solución en N , la formulación original del problema.
Esto se debe a que los exponentes de x , y y z son iguales (a n ) , por lo que si hay una solución en Q , entonces se puede multiplicar por un denominador común apropiado para obtener una solución en Z y, por lo tanto, en N. .
Una solución no trivial a , b , c ∈ Z para x n + y n = z n produce la solución no trivial a / c , b / c ∈ Q para v n + w n = 1 . Por el contrario, una solución a / b , c / d ∈ Q a v n + w n = 1 produce la solución no trivial ad , cb , bd para x n + y n = z n .
Esta última formulación es particularmente fructífera porque reduce el problema de superficies en tres dimensiones a un problema de curvas en dos dimensiones. Además, permite trabajar sobre el campo Q , en lugar de sobre el anillo Z ; Los campos exhiben más estructura que los anillos , lo que permite un análisis más profundo de sus elementos.
Examinar esta curva elíptica con el teorema de Ribet muestra que no tiene forma modular . Sin embargo, la prueba de Andrew Wiles demuestra que cualquier ecuación de la forma y 2 = x ( x − a n )( x + b n ) tiene una forma modular. Por lo tanto, cualquier solución no trivial a x p + y p = z p (siendo p un primo impar) crearía una contradicción , lo que a su vez demuestra que no existen soluciones no triviales. [18]
En otras palabras, cualquier solución que pueda contradecir el último teorema de Fermat también podría usarse para contradecir el teorema de modularidad. Entonces, si se descubriera que el teorema de modularidad es verdadero, se deduciría que tampoco podría existir ninguna contradicción con el último teorema de Fermat. Como se describió anteriormente, el descubrimiento de este enunciado equivalente fue crucial para la eventual solución del último teorema de Fermat, ya que proporcionó un medio por el cual se podía "atacar" para todos los números a la vez.
En la antigüedad se sabía que un triángulo cuyos lados tuvieran la proporción 3:4:5 tendría como uno de sus ángulos un ángulo recto. Esto se utilizó en la construcción y más tarde en la geometría temprana. También se sabía que era un ejemplo de una regla general que cualquier triángulo donde la longitud de dos lados, cada uno al cuadrado y luego sumados (3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25) , es igual al cuadrado de la longitud del tercer lado (5 2 = 25) , también sería un triángulo rectángulo. Esto se conoce ahora como teorema de Pitágoras , y un triple de números que cumple esta condición se llama triplete de Pitágoras; ambos llevan el nombre del antiguo Pitágoras griego . Los ejemplos incluyen (3, 4, 5) y (5, 12, 13). Hay infinitas ternas de este tipo [19] y los métodos para generarlas se han estudiado en muchas culturas, comenzando con los babilonios [20] y más tarde con los antiguos matemáticos griegos , chinos e indios . [1] Matemáticamente, la definición de un triple pitagórico es un conjunto de tres números enteros ( a , b , c ) que satisfacen la ecuación [21]
La ecuación de Fermat, x n + y n = z n con soluciones enteras positivas , es un ejemplo de ecuación diofántica , [22] llamada así por el matemático alejandrino del siglo III , Diofanto , quien las estudió y desarrolló métodos para la solución de algunos tipos. de ecuaciones diofánticas. Un problema diofántico típico es encontrar dos números enteros x e y tales que su suma y la suma de sus cuadrados sean iguales a dos números dados A y B , respectivamente:
La obra principal de Diofanto es la Arithmetica , de la que sólo se conserva una parte. [23] La conjetura de Fermat sobre su último teorema se inspiró mientras leía una nueva edición de la Arithmetica , [24] que fue traducida al latín y publicada en 1621 por Claude Bachet . [25] [26]
Las ecuaciones diofánticas se han estudiado durante miles de años. Por ejemplo, las soluciones a la ecuación cuadrática diofántica x 2 + y 2 = z 2 están dadas por las ternas pitagóricas , resueltas originalmente por los babilonios ( c. 1800 a. C. ). [27] Las soluciones a ecuaciones diofánticas lineales, como 26 x + 65 y = 13 , se pueden encontrar utilizando el algoritmo euclidiano (c. siglo V a. C.). [28] Muchas ecuaciones diofánticas tienen una forma similar a la ecuación del último teorema de Fermat desde el punto de vista del álgebra, en el sentido de que no tienen términos cruzados que mezclen dos letras, sin compartir sus propiedades particulares. Por ejemplo, se sabe que hay infinitos números enteros positivos x , y y z tales que x n + y n = z m , donde n y m son números naturales relativamente primos . [nota 2]
El problema II.8 de Arithmetica pregunta cómo se divide un número cuadrado dado en otros dos cuadrados; en otras palabras, para un número racional k dado , encuentre números racionales u y v tales que k 2 = u 2 + v 2 . Diofanto muestra cómo resolver este problema de suma de cuadrados para k = 4 (las soluciones son u = 16/5 y v = 12/5 ). [29]
Alrededor de 1637, Fermat escribió su último teorema en el margen de su copia de Arithmetica junto al problema de suma de cuadrados de Diofanto : [30] [31] [32]
Después de la muerte de Fermat en 1665, su hijo Clément-Samuel Fermat produjo una nueva edición del libro (1670) ampliada con los comentarios de su padre. [35] Aunque en realidad no era un teorema en ese momento (es decir, una afirmación matemática para la cual existe prueba ), la nota marginal se conoció con el tiempo como el último teorema de Fermat , [30] ya que fue el último de los teoremas afirmados de Fermat que permaneció sin demostrar. [36] [37]
No se sabe si Fermat realmente encontró una prueba válida para todos los exponentes n , pero parece poco probable. Sólo ha sobrevivido una prueba relacionada de él, concretamente para el caso n = 4 , como se describe en la sección § Pruebas para exponentes específicos.
Si bien Fermat planteó los casos de n = 4 y de n = 3 como desafíos a sus corresponsales matemáticos, como Marin Mersenne , Blaise Pascal y John Wallis , [38] nunca planteó el caso general. [39] Además, en los últimos treinta años de su vida, Fermat nunca volvió a escribir sobre su "prueba verdaderamente maravillosa" del caso general, y nunca la publicó. Van der Poorten [40] sugiere que si bien la ausencia de una prueba es insignificante, la falta de impugnaciones significa que Fermat se dio cuenta de que no tenía una prueba; cita a Weil [41] diciendo que Fermat debe haberse engañado brevemente con una idea irrecuperable. Se desconocen las técnicas que Fermat podría haber utilizado en tan "maravillosa prueba".
La prueba de Wiles y Taylor se basa en técnicas del siglo XX. [42] La demostración de Fermat habría tenido que ser elemental en comparación, dado el conocimiento matemático de su época.
Si bien la gran conjetura de Harvey Friedman implica que cualquier teorema demostrable (incluido el último teorema de Fermat) puede demostrarse utilizando sólo " aritmética de funciones elementales ", dicha demostración sólo necesita ser "elemental" en un sentido técnico y podría implicar millones de pasos, y Por tanto, sería demasiado largo para haber sido la prueba de Fermat.
Sólo ha sobrevivido una prueba relevante de Fermat , en la que utiliza la técnica del descenso infinito para demostrar que el área de un triángulo rectángulo con lados enteros nunca puede ser igual al cuadrado de un número entero. [43] [44] [45] Su prueba equivale a demostrar que la ecuación
no tiene soluciones primitivas en números enteros (no hay soluciones coprimes por pares). A su vez, esto prueba el último teorema de Fermat para el caso n = 4 , ya que la ecuación a 4 + b 4 = c 4 se puede escribir como c 4 − b 4 = ( a 2 ) 2 .
Posteriormente se desarrollaron pruebas alternativas del caso n = 4 [46] por Frénicle de Bessy (1676), [47] Leonhard Euler (1738), [48] Kausler (1802), [49] Peter Barlow (1811), [50 ] Adrien-Marie Legendre (1830), [51] Schopis (1825), [52] Olry Terquem (1846), [53] Joseph Bertrand (1851), [54] Victor Lebesgue (1853, 1859, 1862), [55 ] Théophile Pépin (1883), [56] Tafelmacher (1893), [57] David Hilbert (1897), [58] Bendz (1901), [59] Gambioli (1901), [60] Leopold Kronecker (1901), [ 61] Bang (1905), [62] Sommer (1907), [63] Bottari (1908), [64] Karel Rychlík (1910), [65] Nutzhorn (1912), [66] Robert Carmichael (1913), [ 67] Hancock (1931), [68] Gheorghe Vrănceanu (1966), [69] Grant y Perella (1999), [70] Barbara (2007), [71] y Dolan (2011). [72]
Después de que Fermat demostró el caso especial n = 4 , la demostración general para todo n requirió sólo que el teorema se estableciera para todos los exponentes primos impares. [73] En otras palabras, fue necesario demostrar sólo que la ecuación a n + b n = c n no tiene soluciones enteras positivas ( a , b , c ) cuando n es un número primo impar . Esto se debe a que una solución ( a , b , c ) para un n dado es equivalente a una solución para todos los factores de n . A modo de ilustración, dejemos que n se factorice en d y e , n = de . La ecuación general
implica que ( a d , b d , c d ) es una solución para el exponente e
Así, para demostrar que la ecuación de Fermat no tiene soluciones para n > 2 , bastaría demostrar que no tiene soluciones para al menos un factor primo de cada n . Cada número entero n > 2 es divisible por 4 o por un número primo impar (o ambos). Por lo tanto, el último teorema de Fermat podría demostrarse para todo n si pudiera demostrarse para n = 4 y para todos los primos impares p .
En los dos siglos posteriores a su conjetura (1637-1839), el último teorema de Fermat fue demostrado para tres exponentes primos impares p = 3, 5 y 7. El caso p = 3 fue planteado por primera vez por Abu-Mahmud Khojandi (siglo X), pero su intento de demostrar el teorema fue incorrecto. [74] [75] En 1770, Leonhard Euler dio una prueba de p = 3, [76] pero su prueba por descenso infinito [77] contenía una brecha importante. [78] [79] [80] Sin embargo, dado que el propio Euler había demostrado el lema necesario para completar la prueba en otros trabajos, generalmente se le atribuye la primera prueba. [45] [81] [82] Se publicaron pruebas independientes [83] por Kausler (1802), [49] Legendre (1823, 1830), [51] [84] Calzolari (1855), [85] Gabriel Lamé (1865 ), [86] Peter Guthrie Tait (1872), [87] Siegmund Günther (1878), [88] Gambioli (1901), [60] Krey (1909), [89] Rychlík (1910), [65] Stockhaus ( 1910), [90] Carmichael (1915), [91] Johannes van der Corput (1915), [92] Axel Thue (1917), [93] y Duarte (1944). [94]
El caso p = 5 fue demostrado [95] de forma independiente por Legendre y Peter Gustav Lejeune Dirichlet alrededor de 1825. [96] [97] [45] [98] Carl Friedrich Gauss (1875, póstumo) desarrolló pruebas alternativas [99] [100] Lebesgue (1843), [101] Lamé (1847), [102] Gambioli (1901), [60] [103] Werebrusow (1905), [104] [ cita completa necesaria ] Rychlík (1910), [105 ] [ dudoso ] [ cita completa necesaria ] van der Corput (1915), [92] y Guy Terjanian (1987). [106]
El caso p = 7 fue demostrado [107] [108] [45] [98] por Lamé en 1839. [109] Su demostración bastante complicada fue simplificada en 1840 por Lebesgue, [110] y se publicaron pruebas aún más simples [111]. por Angelo Genocchi en 1864, 1874 y 1876. [112] Théophile Pépin (1876) [113] y Edmond Maillet (1897) desarrollaron pruebas alternativas . [114]
El último teorema de Fermat también se demostró para los exponentes n = 6, 10 y 14. Las pruebas para n = 6 fueron publicadas por Kausler, [49] Thue, [115] Tafelmacher, [116] Lind, [117] Kapferer, [118 ] Swift, [119] y Breusch. [120] De manera similar, Dirichlet [121] y Terjanian [122] probaron cada uno el caso n = 14, mientras que Kapferer [118] y Breusch [120] probaron cada uno el caso n = 10. Estrictamente hablando, estas pruebas son innecesarias, ya que estas Los casos se derivan de las pruebas para n = 3, 5 y 7, respectivamente. Sin embargo, el razonamiento de estas demostraciones con exponentes pares difiere del de sus contrapartes con exponentes impares. La prueba de Dirichlet para n = 14 se publicó en 1832, antes de la prueba de Lamé de 1839 para n = 7 . [123]
Todas las pruebas de exponentes específicos utilizaron la técnica de descenso infinito de Fermat , [ cita necesaria ] ya sea en su forma original o en forma de descenso sobre curvas elípticas o variedades abelianas. Sin embargo, los detalles y argumentos auxiliares a menudo eran ad hoc y estaban ligados al exponente individual bajo consideración. [124] Dado que se volvieron cada vez más complicados a medida que p aumentaba, parecía poco probable que el caso general del último teorema de Fermat pudiera demostrarse basándose en las demostraciones de exponentes individuales. [124] Aunque Niels Henrik Abel y Peter Barlow publicaron algunos resultados generales sobre el último teorema de Fermat a principios del siglo XIX , [125] [126] el primer trabajo significativo sobre el teorema general fue realizado por Sophie Germain . [127]
A principios del siglo XIX, Sophie Germain desarrolló varios enfoques novedosos para demostrar el último teorema de Fermat para todos los exponentes. [128] Primero, definió un conjunto de números primos auxiliares construidos a partir del exponente primo mediante la ecuación , donde es cualquier número entero no divisible por tres. Demostró que, si ningún número entero elevado a la potencia ésima era módulo adyacente (la condición de no consecutividad ), entonces se debe dividir el producto . Su objetivo era utilizar la inducción matemática para demostrar que, para cualquier objeto dado , un número infinito de primos auxiliares cumplían la condición de no consecutividad y, por tanto, se dividían ; Dado que el producto puede tener como máximo un número finito de factores primos, tal demostración habría establecido el último teorema de Fermat. Aunque desarrolló muchas técnicas para establecer la condición de no consecutivaidad, no logró su objetivo estratégico. También trabajó para establecer límites inferiores en el tamaño de las soluciones de la ecuación de Fermat para un exponente determinado , cuya versión modificada fue publicada por Adrien-Marie Legendre . Como subproducto de este último trabajo, demostró el teorema de Sophie Germain , que verificó el primer caso del último teorema de Fermat (es decir, el caso en el que no se divide ) para cada exponente primo impar menor que , [128] [129] y para todos los primos tales que al menos uno de ,,,, y es primo (especialmente, los primos que son primos se llaman primos de Sophie Germain ) . Germain intentó sin éxito demostrar el primer caso del último teorema de Fermat para todos los exponentes pares, específicamente para , que fue demostrado por Guy Terjanian en 1977. [130] En 1985, Leonard Adleman , Roger Heath-Brown y Étienne Fouvry demostraron que el primer caso del último teorema de Fermat es válido para una infinidad de números primos impares . [131]
En 1847, Gabriel Lamé esbozó una demostración del último teorema de Fermat basada en factorizar la ecuación x p + y p = z p en números complejos , específicamente el campo ciclotómico basado en las raíces del número 1 . Sin embargo, su prueba fracasó porque asumió incorrectamente que tales números complejos pueden descomponerse únicamente en números primos, similares a los números enteros. Esta brecha fue señalada inmediatamente por Joseph Liouville , quien más tarde leyó un artículo que demostraba este fracaso de la factorización única, escrito por Ernst Kummer .
Kummer se propuso la tarea de determinar si el campo ciclotómico podría generalizarse para incluir nuevos números primos de modo que se restableciera la factorización única. Tuvo éxito en esa tarea al desarrollar los números ideales .
(Nota: a menudo se afirma que Kummer fue llevado a sus "números complejos ideales" por su interés en el último teorema de Fermat; incluso hay una historia que a menudo se cuenta de que Kummer, como Lamé , creía que había demostrado el último teorema de Fermat hasta que Lejeune Dirichlet dijo Para él, su argumento se basaba en la factorización única; pero la historia fue contada por primera vez por Kurt Hensel en 1910 y la evidencia indica que probablemente se deriva de una confusión por parte de una de las fuentes de Hensel. Harold Edwards dice que la creencia de que Kummer estaba interesado principalmente en el último teorema de Fermat " seguramente está equivocado". [132] Véase la historia de los números ideales .)
Utilizando el enfoque general descrito por Lamé, Kummer demostró ambos casos del último teorema de Fermat para todos los números primos regulares . Sin embargo, no pudo probar el teorema de los primos excepcionales (primos irregulares) que conjeturalmente ocurren aproximadamente el 39% de las veces ; los únicos números primos irregulares por debajo de 270 son 37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, 233, 257 y 263.
En la década de 1920, Louis Mordell planteó una conjetura que implicaba que la ecuación de Fermat tiene como máximo un número finito de soluciones enteras primitivas no triviales, si el exponente n es mayor que dos. [133] [134] Esta conjetura fue demostrada en 1983 por Gerd Faltings , [135] y ahora se conoce como teorema de Faltings .
En la segunda mitad del siglo XX, se utilizaron métodos computacionales para extender el enfoque de Kummer a los números primos irregulares. En 1954, Harry Vandiver utilizó una computadora SWAC para demostrar el último teorema de Fermat para todos los primos hasta 2521. [136] En 1978, Samuel Wagstaff había extendido esto a todos los primos menores de 125.000. [137] En 1993, el último teorema de Fermat se había demostrado para todos los primos menores de cuatro millones. [5]
Sin embargo, a pesar de estos esfuerzos y sus resultados, no existía ninguna prueba del último teorema de Fermat. Las pruebas de exponentes individuales por su naturaleza nunca podrían probar el caso general : incluso si todos los exponentes fueran verificados hasta un número extremadamente grande X, aún podría existir un exponente más alto más allá de X para el cual la afirmación no fuera cierta. (Este había sido el caso con algunas otras conjeturas pasadas, y no se podía descartar en esta conjetura.) [138]
La estrategia que finalmente condujo a una prueba exitosa del último teorema de Fermat surgió de la "asombrosa" conjetura [139] : 211 de Taniyama-Shimura-Weil , propuesta alrededor de 1955, que muchos matemáticos creían que sería casi imposible de probar, [139] : 223 y fue vinculado en la década de 1980 por Gerhard Frey , Jean-Pierre Serre y Ken Ribet a la ecuación de Fermat. Al lograr una prueba parcial de esta conjetura en 1994, Andrew Wiles finalmente logró demostrar el último teorema de Fermat, además de abrir el camino hacia una prueba completa por parte de otros de lo que ahora se conoce como el teorema de modularidad .
Alrededor de 1955, los matemáticos japoneses Goro Shimura y Yutaka Taniyama observaron un posible vínculo entre dos ramas de las matemáticas aparentemente completamente distintas: las curvas elípticas y las formas modulares . El teorema de modularidad resultante (en ese momento conocido como conjetura de Taniyama-Shimura) establece que toda curva elíptica es modular , lo que significa que puede asociarse con una forma modular única .
Inicialmente, el vínculo fue descartado como improbable o altamente especulativo, pero se tomó más en serio cuando el teórico de números André Weil encontró evidencia que lo respaldaba, aunque no lo demostraba; como resultado, la conjetura se conocía a menudo como la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil. [139] : 211-215
Incluso después de recibir mucha atención, los matemáticos contemporáneos consideraron que la conjetura era extraordinariamente difícil o tal vez inaccesible de demostrar. [139] : 203–205, 223, 226 Por ejemplo, el supervisor doctoral de Wiles, John Coates, afirma que parecía "imposible probarlo realmente", [139] : 226 y Ken Ribet se consideraba a sí mismo "una de la gran mayoría de personas que creían [era] completamente inaccesible", y agregó que "Andrew Wiles fue probablemente una de las pocas personas en la tierra que tuvo la audacia de soñar que realmente se podía ir y demostrarlo". [139] : 223
En 1984, Gerhard Frey observó una relación entre la ecuación de Fermat y el teorema de modularidad, que entonces todavía era una conjetura. Si la ecuación de Fermat tuviera alguna solución ( a , b , c ) para el exponente p > 2 , entonces se podría demostrar que la curva elíptica semiestable (ahora conocida como Frey-Hellegouarch [nota 3] )
tendría propiedades tan inusuales que era poco probable que fuera modular. [140] Esto entraría en conflicto con el teorema de modularidad, que afirmaba que todas las curvas elípticas son modulares. Como tal, Frey observó que una prueba de la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil también podría probar simultáneamente el último teorema de Fermat. [141] [142] Por contraposición , una refutación o refutación del último teorema de Fermat refutaría la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil.
En términos sencillos, Frey había demostrado que, si esta intuición sobre su ecuación era correcta, entonces cualquier conjunto de cuatro números ( a , b , c , n ) capaz de refutar el último teorema de Fermat también podría usarse para refutar el de Taniyama-Shimura. –Conjetura de Weil. Por lo tanto, si esto último fuera cierto, lo primero no podría ser refutado y también tendría que serlo.
Siguiendo esta estrategia, la demostración del último teorema de Fermat requirió dos pasos. Primero, era necesario demostrar el teorema de modularidad, o al menos demostrarlo para los tipos de curvas elípticas que incluían la ecuación de Frey (conocidas como curvas elípticas semiestables ). Los matemáticos contemporáneos creían ampliamente que esto era inaccesible a la prueba. [139] : 203–205, 223, 226 En segundo lugar, era necesario demostrar que la intuición de Frey era correcta: que si se construyera una curva elíptica de esta manera, utilizando un conjunto de números que fueran una solución de la ecuación de Fermat, el resultado La curva elíptica no podía ser modular. Frey demostró que esto era plausible , pero no llegó a dar una prueba completa. La pieza faltante (la llamada " conjetura épsilon ", ahora conocida como teorema de Ribet ) fue identificada por Jean-Pierre Serre , quien también proporcionó una demostración casi completa y el vínculo sugerido por Frey fue finalmente demostrado en 1986 por Ken Ribet . [143]
Siguiendo los trabajos de Frey, Serre y Ribet, la cuestión quedó así:
La prueba de Ribet de la conjetura épsilon en 1986 logró el primero de los dos objetivos propuestos por Frey. Al enterarse del éxito de Ribet, Andrew Wiles , un matemático inglés fascinado desde niño por el último teorema de Fermat y que había trabajado en curvas elípticas, decidió comprometerse a realizar la segunda mitad: demostrar un caso especial del teorema de modularidad (entonces conocido como la conjetura de Taniyama-Shimura) para curvas elípticas semiestables. [144] [145]
Wiles trabajó en esa tarea durante seis años en un secreto casi total, encubriendo sus esfuerzos publicando trabajos anteriores en pequeños segmentos como documentos separados y confiándose sólo a su esposa. [139] : 229–230 Su estudio inicial sugirió prueba por inducción , [139] : 230–232, 249–252 y basó su trabajo inicial y su primer avance significativo en la teoría de Galois [139] : 251–253, 259 antes de cambiar a un intento de extender la teoría horizontal de Iwasawa al argumento inductivo alrededor de 1990-91, cuando parecía que no existía ningún enfoque adecuado al problema. [139] : 258–259 Sin embargo, a mediados de 1991, la teoría de Iwasawa tampoco parecía estar alcanzando las cuestiones centrales del problema. [139] : 259–260 [146] [147] En respuesta, se acercó a sus colegas para buscar indicios de investigación de vanguardia y nuevas técnicas, y descubrió un sistema de Euler desarrollado recientemente por Victor Kolyvagin y Matthias Flach que parecía "hecho a medida". hecho" para la parte inductiva de su prueba. [139] : 260–261 Wiles estudió y amplió este enfoque, que funcionó. Dado que su trabajo se basó en gran medida en este enfoque, que era nuevo para las matemáticas y para Wiles, en enero de 1993 pidió a su colega de Princeton, Nick Katz , que le ayudara a comprobar su razonamiento en busca de errores sutiles. Su conclusión en ese momento fue que las técnicas utilizadas por Wiles parecían funcionar correctamente. [139] : 261–265 [148] [149]
A mediados de mayo de 1993, Wiles estaba listo para decirle a su esposa que creía haber resuelto la demostración del último teorema de Fermat, [139] : 265 y en junio se sentía lo suficientemente seguro como para presentar sus resultados en tres conferencias pronunciadas del 21 al 23 de junio. 1993 en el Instituto Isaac Newton de Ciencias Matemáticas . [150] [151] Específicamente, Wiles presentó su prueba de la conjetura de Taniyama-Shimura para curvas elípticas semiestables; junto con la prueba de Ribet de la conjetura épsilon, esto implicaba el último teorema de Fermat. Sin embargo, durante la revisión por pares se hizo evidente que un punto crítico de la prueba era incorrecto. Contenía un error en un límite en el orden de un grupo en particular . El error fue detectado por varios matemáticos que revisaban el manuscrito de Wiles, incluido Katz (en su papel de revisor), [152] quien alertó a Wiles el 23 de agosto de 1993. [153]
El error no habría dejado su trabajo sin valor: cada parte del trabajo de Wiles era muy significativa e innovadora en sí misma, al igual que los muchos desarrollos y técnicas que había creado en el curso de su trabajo, y sólo una parte se vio afectada. [139] : 289, 296–297 Sin embargo, sin esta parte demostrada, no había una prueba real del último teorema de Fermat. Wiles pasó casi un año intentando reparar su prueba, inicialmente solo y luego en colaboración con su antiguo alumno Richard Taylor , sin éxito. [154] [155] [156] A finales de 1993, se habían difundido rumores de que, bajo escrutinio, la prueba de Wiles había fallado, pero no se sabía con qué gravedad. Los matemáticos estaban empezando a presionar a Wiles para que revelara su trabajo, estuviera completo o no, para que la comunidad en general pudiera explorar y utilizar todo lo que había logrado lograr. Pero en lugar de solucionarse, el problema, que originalmente parecía menor, ahora parecía muy importante, mucho más grave y menos fácil de resolver. [157]
Wiles afirma que en la mañana del 19 de septiembre de 1994 estaba a punto de darse por vencido y casi resignado a aceptar que había fracasado y a publicar su trabajo para que otros pudieran desarrollarlo y corregir el error. Añade que estaba echando un último vistazo para tratar de comprender las razones fundamentales por las que su enfoque no podía funcionar, cuando de repente tuvo una idea: que la razón específica por la que el enfoque de Kolyvagin-Flach no funcionaría directamente también significaba que sus intentos originales de utilizar la teoría de Iwasawa podrían funcionar si los fortaleciera utilizando la experiencia adquirida con el enfoque de Kolyvagin-Flach. Resolver un enfoque con herramientas del otro resolvería el problema en todos los casos que aún no estaban probados en su artículo arbitrado. [154] [158] Más tarde describió que la teoría de Iwasawa y el enfoque de Kolyvagin-Flach eran inadecuados por sí solos, pero juntos podrían volverse lo suficientemente poderosos como para superar este último obstáculo. [154]
Estaba sentado en mi escritorio examinando el método Kolyvagin-Flach. No es que creyera que podía hacerlo funcionar, pero pensé que al menos podía explicar por qué no funcionó. De repente tuve esta increíble revelación. Me di cuenta de que el método Kolyvagin-Flach no estaba funcionando, pero era todo lo que necesitaba para hacer funcionar mi teoría original de Iwasawa de tres años antes. Así, de las cenizas de Kolyvagin-Flach pareció surgir la verdadera respuesta al problema. Era tan indescriptiblemente hermoso; era tan simple y tan elegante. No podía entender cómo me lo había perdido y me quedé mirándolo con incredulidad durante veinte minutos. Luego, durante el día, caminaba por el departamento y volvía una y otra vez a mi escritorio para ver si todavía estaba allí. Todavía estaba allí. No pude contenerme, estaba muy emocionada. Fue el momento más importante de mi vida laboral. Nada de lo que vuelva a hacer significará tanto.
— Andrew Wiles, citado por Simon Singh [159]
El 24 de octubre de 1994, Wiles presentó dos manuscritos, "Curvas elípticas modulares y el último teorema de Fermat" [160] [161] y "Propiedades teóricas de anillos de ciertas álgebras de Hecke", [162] el segundo de los cuales fue coautor con Taylor y demostró que se cumplían ciertas condiciones necesarias para justificar el paso corregido en el artículo principal. Los dos artículos fueron examinados y publicados en su totalidad en la edición de mayo de 1995 de Annals of Mathematics . El método de prueba de identificación de un anillo de deformación con un álgebra de Hecke (ahora denominado teorema R=T ) para demostrar los teoremas de elevación de modularidad ha sido un desarrollo influyente en la teoría algebraica de números .
Estos artículos establecieron el teorema de modularidad para curvas elípticas semiestables, el último paso para demostrar el último teorema de Fermat, 358 años después de su conjetura.
La conjetura completa de Taniyama-Shimura-Weil fue finalmente demostrada por Diamond (1996), [10] Conrad et al. (1999), [11] y Breuil et al. (2001) [12] quienes, basándose en el trabajo de Wiles, fueron eliminando gradualmente los casos restantes hasta que se demostró el resultado completo. La conjetura ahora completamente probada se conoció como teorema de modularidad .
Varios otros teoremas de la teoría de números similares al último teorema de Fermat también se derivan del mismo razonamiento, utilizando el teorema de modularidad. Por ejemplo: ningún cubo puede escribirse como suma de dos coprimos n -ésimas potencias, n ≥ 3 . (El caso n = 3 ya lo conocía Euler .)
El último teorema de Fermat considera soluciones a la ecuación de Fermat: a n + b n = c n con enteros positivos a , b y c y un entero n mayor que 2. Existen varias generalizaciones de la ecuación de Fermat a ecuaciones más generales que permiten la exponente n sea un número entero negativo o racional, o considerar tres exponentes diferentes.
La ecuación generalizada de Fermat generaliza el enunciado del último teorema de Fermat al considerar soluciones enteras positivas a , b , c , m , n , k que satisfacen [163]
En particular, los exponentes m , n , k no necesitan ser iguales, mientras que el último teorema de Fermat considera el caso m = n = k .
La conjetura de Beal , también conocida como conjetura de Mauldin [164] y conjetura de Tijdeman-Zagier, [165] [166] [167] establece que no existen soluciones a la ecuación generalizada de Fermat en números enteros positivos a , b , c , m. , n , k siendo a , b y c coprimos por pares y todos m , n , k mayores que 2. [168]
La conjetura de Fermat-Catalán generaliza el último teorema de Fermat con las ideas de la conjetura catalana . [169] [170] La conjetura establece que la ecuación generalizada de Fermat tiene solo un número finito de soluciones ( a , b , c , m , n , k ) con distintos tripletes de valores ( a m , b n , c k ), donde a , b , c son enteros coprimos positivos y m , n , k son enteros positivos que satisfacen
La afirmación se refiere a la finitud del conjunto de soluciones porque hay 10 soluciones conocidas . [163]
Cuando permitimos que el exponente n sea el recíproco de un número entero, es decir, n = 1/ m para algún número entero m , tenemos la ecuación inversa de Fermat. Todas las soluciones de esta ecuación fueron calculadas por Hendrik Lenstra en 1992. [171] En el caso en el que se requiere que las raíces m -ésimas sean reales y positivas, todas las soluciones vienen dadas por [172]
para enteros positivos r , s , t con s y t coprimos.
Para la ecuación diofántica con n distinto de 1, Bennett, Glass y Székely demostraron en 2004, para n > 2 , que si n y m son coprimos, entonces hay soluciones enteras si y solo si 6 divide a m , y , y son diferentes raíces sextas complejas del mismo número real. [173]
Todas las soluciones enteras primitivas (es decir, aquellas que no tienen un factor primo común a todos a , b y c ) de la ecuación óptica se pueden escribir como [174]
para enteros coprimos positivos m , k .
El caso n = −2 también tiene infinidad de soluciones, y estas tienen una interpretación geométrica en términos de triángulos rectángulos con lados enteros y altura entera a la hipotenusa . [175] [176] Todas las soluciones primitivas de están dadas por
para enteros coprimos u , v con v > u . La interpretación geométrica es que a y b son los catetos enteros de un triángulo rectángulo y d es la altura entera a la hipotenusa. Entonces la hipotenusa misma es el número entero.
entonces ( a , b , c ) es una terna pitagórica .
No hay soluciones en números enteros para números enteros n < −2 . Si lo hubiera, la ecuación podría multiplicarse por para obtener , lo cual es imposible según el último teorema de Fermat.
La conjetura de abc establece aproximadamente que si tres números enteros positivos a , b y c (de ahí el nombre) son coprimos y satisfacen a + b = c , entonces el radical d de abc no suele ser mucho menor que c . En particular, la conjetura abc en su formulación más estándar implica el último teorema de Fermat para n que son suficientemente grandes. [177] [178] [179] La conjetura de Szpiro modificada es equivalente a la conjetura abc y por lo tanto tiene la misma implicación. [180] [179] Una versión efectiva de la conjetura abc, o una versión efectiva de la conjetura de Szpiro modificada, implica directamente el último teorema de Fermat. [179]
En 1816, y nuevamente en 1850, la Academia Francesa de Ciencias ofreció un premio por una demostración general del último teorema de Fermat. [181] [182] En 1857, la academia otorgó 3.000 francos y una medalla de oro a Kummer por su investigación sobre los números ideales, aunque no había presentado una candidatura para el premio. [181] Otro premio fue ofrecido en 1883 por la Academia de Bruselas. [183]
En 1908, el industrial y matemático aficionado alemán Paul Wolfskehl legó 100.000 marcos de oro (una suma considerable en aquel momento) a la Academia de Ciencias de Gotinga para ofrecerlo como premio por una demostración completa del último teorema de Fermat. [184] [185] El 27 de junio de 1908, la academia publicó nueve reglas para la concesión del premio. Entre otras cosas, estas reglas exigían que la prueba se publicara en una revista revisada por pares; el premio no se entregaría hasta dos años después de la publicación; y que no se entregaría ningún premio después del 13 de septiembre de 2007, aproximadamente un siglo después de que comenzara el concurso. [186] Wiles recogió el premio en metálico Wolfskehl, entonces valorado en 50.000 dólares, el 27 de junio de 1997. [187] En marzo de 2016, Wiles recibió el premio Abel del gobierno noruego valorado en 600.000 euros por "su impresionante demostración del último teorema de Fermat mediante el Conjetura de modularidad para curvas elípticas semiestables, abriendo una nueva era en la teoría de números". [188]
Antes de la prueba de Wiles, se presentaron miles de pruebas incorrectas al comité Wolfskehl, lo que equivale aproximadamente a 10 pies (3,0 metros) de correspondencia. [189] Sólo en el primer año (1907-1908), se presentaron 621 intentos de pruebas, aunque en la década de 1970, la tasa de presentación había disminuido a aproximadamente 3 o 4 intentos de pruebas por mes. Según algunas afirmaciones, Edmund Landau solía utilizar un formulario preimpreso especial para tales pruebas, donde la ubicación del primer error se dejaba en blanco para que lo llenara uno de sus estudiantes de posgrado. [190] Según F. Schlichting, crítico de Wolfskehl, la mayoría de las pruebas se basaban en métodos elementales enseñados en las escuelas y, a menudo, presentados por "personas con una educación técnica pero una carrera fallida". [191] En palabras del historiador matemático Howard Eves , "El último teorema de Fermat tiene la peculiar distinción de ser el problema matemático para el cual se ha publicado el mayor número de demostraciones incorrectas". [183]
La popularidad del teorema fuera de la ciencia ha llevado a que se lo describa como "el más raro de los elogios matemáticos: un papel de nicho en la cultura pop ". [192]
El cuento de Arthur Porges de 1954, " El diablo y Simon Flagg ", presenta a un matemático que negocia con el diablo que este último no puede demostrar el último teorema de Fermat en veinticuatro horas. [193]
En el episodio de Los Simpson " El mago de Evergreen Terrace ", Homer Simpson escribe la ecuación en una pizarra, que parece ser un contraejemplo del último teorema de Fermat. La ecuación es incorrecta, pero parece correcta si se ingresa en una calculadora con 10 cifras significativas . [194]
En el episodio " The Royale " de Star Trek: The Next Generation , el Capitán Picard afirma que el teorema aún no está demostrado en el siglo 24. La prueba se publicó 5 años después de la emisión original del episodio. [195]
La sugerencia de Frey, en la notación del siguiente teorema, fue mostrar que la curva elíptica (hipotética)
y
2
=
x
(
x
+
u
p
)(
x
–
v
p
)
no podía ser modular.
Nuestra prueba generaliza la implicación conocida "ABC efectivo [flecha derecha] eventual Fermat", que fue la motivación original para la conjetura ABC.
Medios relacionados con el último teorema de Fermat en Wikimedia Commons
