Ecuación diofántica

Ecuación polinómica cuyas soluciones enteras se buscan

Encontrar todos los triángulos rectángulos con longitudes de lado enteras es equivalente a resolver la ecuación diofántica ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.}$

En matemáticas , una ecuación diofántica es una ecuación , típicamente una ecuación polinómica con dos o más incógnitas con coeficientes enteros , para la cual solo son de interés las soluciones enteras . Una ecuación diofántica lineal equivale a una constante la suma de dos o más monomios , cada uno de grado uno. Una ecuación diofántica exponencial es aquella en la que las incógnitas pueden aparecer en exponentes .

Los problemas diofánticos tienen menos ecuaciones que incógnitas e implican encontrar números enteros que resuelvan simultáneamente todas las ecuaciones. Como tales sistemas de ecuaciones definen curvas algebraicas , superficies algebraicas o, más generalmente, conjuntos algebraicos , su estudio forma parte de la geometría algebraica que se denomina geometría diofántica .

La palabra Diofantino se refiere al matemático helenístico del siglo III, Diofanto de Alejandría , quien realizó un estudio de este tipo de ecuaciones y fue uno de los primeros matemáticos en introducir el simbolismo en el álgebra . El estudio matemático de los problemas diofánticos que inició Diofanto se llama ahora análisis diofántico .

Si bien las ecuaciones individuales presentan una especie de enigma y han sido consideradas a lo largo de la historia, la formulación de teorías generales de las ecuaciones diofánticas (más allá del caso de las ecuaciones lineales y cuadráticas ) fue un logro del siglo XX.

Ejemplos

En las siguientes ecuaciones diofánticas, w, x, y y z son las incógnitas y las otras letras reciben constantes:

Ecuaciones lineales diofánticas

una ecuación

La ecuación diofántica lineal más simple toma la forma

$${\displaystyle ax+by=c,}$$

abc

Esta ecuación diofántica tiene solución (donde x e y son números enteros) si y sólo si c es múltiplo del máximo común divisor de a y b . Además, si ( x, y ) es una solución, entonces las otras soluciones tienen la forma ( x + kv, y − ku ) , donde k es un número entero arbitrario y u y v son los cocientes de a y b (respectivamente) por el máximo común divisor de a y b .

Prueba: Si d es este máximo común divisor, la identidad de Bézout afirma la existencia de números enteros e y f tales que ae + bf = d . Si c es un múltiplo de d , entonces c = dh para algún número entero h , y ( eh, fh ) es una solución. Por otro lado, para cada par de números enteros x e y , el máximo común divisor d de a y b divide ax + por . Por lo tanto, si la ecuación tiene solución, entonces c debe ser múltiplo de d . Si a = ud y b = vd , entonces para cada solución ( x, y ) , tenemos

$${\displaystyle {\begin{aligned}a(x+kv)+b(y-ku)&=ax+by+k(av-bu)\\&=ax+by+k(udv-vdu)\\&=ax+by,\end{aligned}}}$$

( x + kv, y − ku )

$${\displaystyle ax_{1}+by_{1}=ax_{2}+by_{2}=c,}$$

$${\displaystyle u(x_{2}-x_{1})+v(y_{2}-y_{1})=0.}$$

uvcoprimosel lema de Euclidesvx ₂ − x ₁k

$${\displaystyle x_{2}-x_{1}=kv,\quad y_{2}-y_{1}=-ku.}$$

$${\displaystyle x_{2}=x_{1}+kv,\quad y_{2}=y_{1}-ku,}$$

Teorema del resto chino

El teorema del resto chino describe una clase importante de sistemas de ecuaciones diofánticos lineales: sean k enteros coprimos por pares mayores que uno, sean k enteros arbitrarios y N sea el producto. El teorema del resto chino afirma que el siguiente sistema diofántico lineal tiene exactamente una solución tal que 0 ≤ x < N , y que las demás soluciones se obtienen sumando a x un múltiplo de N : ${\displaystyle n_{1},\dots ,n_{k}}$ ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{k}}$ ${\displaystyle n_{1}\cdots n_{k}.}$ ${\displaystyle (x,x_{1},\dots ,x_{k})}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a_{1}+n_{1}\,x_{1}\\&\;\;\vdots \\x&=a_{k}+n_{k}\,x_{k}\end{aligned}}}$$

Sistema de ecuaciones lineales diofánticas.

De manera más general, todo sistema de ecuaciones diofánticas lineales se puede resolver calculando la forma normal de Smith de su matriz, de una manera similar al uso de la forma escalonada reducida para resolver un sistema de ecuaciones lineales sobre un campo. Usando notación matricial, todos los sistemas de ecuaciones lineales diofánticas se pueden escribir.

$${\displaystyle AX=C,}$$

Am × n , Xmatrizn × 1 columnas y Cm × 1

El cálculo de la forma normal de Smith de A proporciona dos matrices unimodulares (es decir, matrices que son invertibles sobre los números enteros y tienen ±1 como determinante) U y V de dimensiones respectivas m × m y n × n , tales que la matriz

$${\displaystyle B=[b_{i,j}]=UAV}$$

b _i,iik

$${\displaystyle B(V^{-1}X)=UC.}$$

y _{i a}V ⁻¹ Xd _iD = UC

$${\displaystyle {\begin{aligned}&b_{i,i}y_{i}=d_{i},\quad 1\leq i\leq k\\&0y_{i}=d_{i},\quad k<i\leq n.\end{aligned}}}$$

Este sistema es equivalente al dado en el siguiente sentido: Una matriz columna de números enteros x es una solución del sistema dado si y sólo si x = Vy para alguna matriz columna de números enteros y tal que By = D .

Se deduce que el sistema tiene solución si y sólo si b _i,i divide d _i para i ≤ k y d _i = 0 para i > k . Si se cumple esta condición, las soluciones del sistema dado son

$${\displaystyle V\,{\begin{bmatrix}{\frac {d_{1}}{b_{1,1}}}\\\vdots \\{\frac {d_{k}}{b_{k,k}}}\\h_{k+1}\\\vdots \\h_{n}\end{bmatrix}}\,,}$$

h _{k +1} ,…, h _n

La forma normal de Hermite también se puede utilizar para resolver sistemas de ecuaciones diofánticas lineales. Sin embargo, la forma normal de Hermite no proporciona directamente las soluciones; Para obtener las soluciones de la forma normal de Hermite, hay que resolver sucesivamente varias ecuaciones lineales. Sin embargo, Richard Zippel escribió que la forma normal de Smith "es algo más de lo que realmente se necesita para resolver ecuaciones diofánticas lineales. En lugar de reducir la ecuación a la forma diagonal, sólo necesitamos hacerla triangular, lo que se llama forma normal de Hermite. La forma normal de Hermite es sustancialmente más fácil de calcular que la forma normal de Smith." ^[6]

La programación lineal entera equivale a encontrar algunas soluciones enteras (óptimas en cierto sentido) de sistemas lineales que también incluyen inecuaciones . Por tanto, los sistemas de ecuaciones diofánticas lineales son básicos en este contexto, y los libros de texto sobre programación entera suelen tratar los sistemas de ecuaciones diofánticas lineales. ^[7]

Ecuaciones homogéneas

Una ecuación diofántica homogénea es una ecuación diofántica que está definida por un polinomio homogéneo . Una ecuación típica de este tipo es la ecuación del último teorema de Fermat.

${\displaystyle x^{d}+y^{d}-z^{d}=0.}$

Como un polinomio homogéneo en n indeterminados define una hipersuperficie en el espacio proyectivo de dimensión n − 1 , resolver una ecuación diofántica homogénea es lo mismo que encontrar los puntos racionales de una hipersuperficie proyectiva.

Resolver una ecuación diofántica homogénea es generalmente un problema muy difícil, incluso en el caso más simple y no trivial de tres indeterminados (en el caso de dos indeterminados el problema es equivalente a probar si un número racional es la d- ésima potencia de otro número racional) . Un testimonio de la dificultad del problema es el último teorema de Fermat (para d > 2 , no hay solución entera de la ecuación anterior), que necesitó más de tres siglos de esfuerzos de los matemáticos antes de ser resuelto.

Para grados superiores a tres, la mayoría de los resultados conocidos son teoremas que afirman que no hay soluciones (por ejemplo, el último teorema de Fermat) o que el número de soluciones es finito (por ejemplo, el teorema de Falting ).

Para el grado tres, existen métodos generales de resolución, que funcionan con casi todas las ecuaciones que se encuentran en la práctica, pero no se conoce ningún algoritmo que funcione para todas las ecuaciones cúbicas. ^[8]

Grado dos

Las ecuaciones diofánticas homogéneas de grado dos son más fáciles de resolver. El método de resolución estándar se desarrolla en dos pasos. Primero hay que encontrar una solución o demostrar que no la hay. Cuando se ha encontrado una solución, se deducen todas las soluciones.

Para demostrar que no hay solución, se puede reducir la ecuación módulo p . Por ejemplo, la ecuación diofántica

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=3z^{2},}$

no tiene otra solución que la solución trivial (0, 0, 0) . De hecho, al dividir x, y y z por su máximo común divisor , se puede suponer que son coprimos . Los cuadrados módulo 4 son congruentes con 0 y 1. Por lo tanto, el lado izquierdo de la ecuación es congruente con 0, 1 o 2, y el lado derecho es congruente con 0 o 3. Por lo tanto, la igualdad sólo se puede obtener si x, y y z son todos pares y, por tanto, no son coprimos. Por tanto, la única solución es la solución trivial (0, 0, 0) . Esto muestra que no existe un punto racional en un círculo de radio centrado en el origen. ${\displaystyle {\sqrt {3}},}$

De manera más general, el principio de Hasse permite decidir si una ecuación diofántica homogénea de grado dos tiene una solución entera y calcular una solución si existe.

Si se conoce una solución entera no trivial, se pueden producir todas las demás soluciones de la siguiente manera.

Interpretación geométrica

Dejar

${\displaystyle Q(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}$

ser una ecuación diofántica homogénea, donde es una forma cuadrática (es decir, un polinomio homogéneo de grado 2), con coeficientes enteros. La solución trivial es aquella donde todos son cero. Si es una solución entera no trivial de esta ecuación, entonces son las coordenadas homogéneas de un punto racional de la hipersuperficie definida por Q. Por el contrario, si son coordenadas homogéneas de un punto racional de esta hipersuperficie, donde son números enteros, entonces es una solución entera de la ecuación diofántica. Además, las soluciones enteras que definen un punto racional dado son todas secuencias de la forma ${\displaystyle Q(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})}$ ${\displaystyle \left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)}$ ${\textstyle \left({\frac {p_{1}}{q}},\ldots ,{\frac {p_{n}}{q}}\right)}$ ${\displaystyle q,p_{1},\ldots ,p_{n}}$ ${\displaystyle \left(p_{1},\ldots ,p_{n}\right)}$

${\displaystyle \left(k{\frac {p_{1}}{d}},\ldots ,k{\frac {p_{n}}{d}}\right),}$

donde k es cualquier número entero y d es el máximo común divisor de ${\displaystyle p_{i}.}$

De ello se deduce que resolver la ecuación diofántica se reduce completamente a encontrar los puntos racionales de la hipersuperficie proyectiva correspondiente. ${\displaystyle Q(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}$

Parametrización

Sea ahora una solución entera de la ecuación. Como Q es un polinomio de grado dos, una línea que pasa por A cruza la hipersuperficie en un solo otro punto, que es racional si y sólo si la línea es racional (es decir, si la línea está definido por parámetros racionales). Esto permite parametrizar la hipersuperficie por las rectas que pasan por A , y los puntos racionales son los que se obtienen a partir de rectas racionales, es decir, los que corresponden a valores racionales de los parámetros. ${\displaystyle A=\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)}$ ${\displaystyle Q(x_{1},\ldots ,x_{n})=0.}$

Más precisamente, se puede proceder de la siguiente manera.

Al permutar los índices, se puede suponer, sin pérdida de generalidad, que entonces se puede pasar al caso afín considerando la hipersuperficie afín definida por ${\displaystyle a_{n}\neq 0.}$

${\displaystyle q(x_{1},\ldots ,x_{n-1})=Q(x_{1},\ldots ,x_{n-1},1),}$

que tiene el punto racional

${\displaystyle R=(r_{1},\ldots ,r_{n-1})=\left({\frac {a_{1}}{a_{n}}},\ldots ,{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}\right).}$

Si este punto racional es un punto singular , es decir, si todas las derivadas parciales son cero en R , todas las líneas que pasan por R están contenidas en la hipersuperficie y una tiene un cono . El cambio de variables

${\displaystyle y_{i}=x_{i}-r_{i}}$

no cambia los puntos racionales y transforma q en un polinomio homogéneo en n − 1 variables. En este caso, el problema puede resolverse aplicando el método a una ecuación con menos variables.

Si el polinomio q es producto de polinomios lineales (posiblemente con coeficientes no racionales), entonces define dos hiperplanos . La intersección de estos hiperplanos es un plano racional y contiene puntos singulares racionales. Este caso es, por tanto, un caso especial del caso anterior.

En el caso general, considere la ecuación paramétrica de una recta que pasa por R :

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{2}&=r_{2}+t_{2}(x_{1}-r_{1})\\&\;\;\vdots \\x_{n-1}&=r_{n-1}+t_{n-1}(x_{1}-r_{1}).\end{aligned}}}$

Sustituyendo esto en q , se obtiene un polinomio de grado dos en x ₁ , es decir, cero para x ₁ = r ₁ . Por tanto, es divisible por x ₁ – r ₁ . El cociente es lineal en x ₁ y se puede resolver expresando x ₁ como un cociente de dos polinomios de grado como máximo dos en con coeficientes enteros: ${\displaystyle t_{2},\ldots ,t_{n-1},}$

${\displaystyle x_{1}={\frac {f_{1}(t_{2},\ldots ,t_{n-1})}{f_{n}(t_{2},\ldots ,t_{n-1})}}.}$

Sustituyendo esto en las expresiones por uno se obtiene, para i = 1,…, n − 1 , ${\displaystyle x_{2},\ldots ,x_{n-1},}$

${\displaystyle x_{i}={\frac {f_{i}(t_{2},\ldots ,t_{n-1})}{f_{n}(t_{2},\ldots ,t_{n-1})}},}$

donde son polinomios de grado como máximo dos con coeficientes enteros. ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}$

Entonces se puede volver al caso homogéneo. Sea, para i = 1,…, n ,

${\displaystyle F_{i}(t_{1},\ldots ,t_{n-1})=t_{1}^{2}f_{i}\left({\frac {t_{2}}{t_{1}}},\ldots ,{\frac {t_{n-1}}{t_{1}}}\right),}$

sea ​​la homogeneización de Estos polinomios cuadráticos con coeficientes enteros forman una parametrización de la hipersuperficie proyectiva definida por Q : ${\displaystyle f_{i}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=F_{1}(t_{1},\ldots ,t_{n-1})\\&\;\;\vdots \\x_{n}&=F_{n}(t_{1},\ldots ,t_{n-1}).\end{aligned}}}$

Un punto de la hipersuperficie proyectiva definida por Q es racional si y sólo si puede obtenerse a partir de valores racionales de Como son polinomios homogéneos, el punto no cambia si todos los _ti se multiplican por el mismo número racional. Así, se puede suponer que son números enteros coprimos . De ello se deduce que las soluciones enteras de la ecuación diofántica son exactamente las secuencias donde, para i = 1, ..., n , ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n-1}.}$ ${\displaystyle F_{1},\ldots ,F_{n}}$ ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n-1}}$ ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$

${\displaystyle x_{i}=k\,{\frac {F_{i}(t_{1},\ldots ,t_{n-1})}{d}},}$

donde k es un número entero, son números enteros coprimos y d es el máximo común divisor de los n números enteros ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n-1}}$ ${\displaystyle F_{i}(t_{1},\ldots ,t_{n-1}).}$

Se podría esperar que la coprimalidad del ti , pueda implicar que _d = 1 . Lamentablemente este no es el caso, como se muestra en la siguiente sección.

Ejemplo de ternas pitagóricas

La ecuacion

${\displaystyle x^{2}+y^{2}-z^{2}=0}$

Es probablemente la primera ecuación diofántica homogénea de grado dos que se ha estudiado. Sus soluciones son las ternas pitagóricas . Esta es también la ecuación homogénea del círculo unitario . En esta sección, mostramos cómo el método anterior permite recuperar la fórmula de Euclides para generar ternas pitagóricas.

Para recuperar exactamente la fórmula de Euclides, partimos de la solución (−1, 0, 1) , correspondiente al punto (−1, 0) del círculo unitario. Una recta que pasa por este punto puede parametrizarse por su pendiente:

${\displaystyle y=t(x+1).}$

Poniendo esto en la ecuación circular.

${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0,}$

uno consigue

${\displaystyle x^{2}-1+t^{2}(x+1)^{2}=0.}$

Al dividir por x + 1 , se obtiene

${\displaystyle x-1+t^{2}(x+1)=0,}$

que es fácil de resolver en x :

${\displaystyle x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}.}$

Sigue

${\displaystyle y=t(x+1)={\frac {2t}{1+t^{2}}}.}$

Homogeneizando como se describe arriba se obtienen todas las soluciones como

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=k\,{\frac {s^{2}-t^{2}}{d}}\\y&=k\,{\frac {2st}{d}}\\z&=k\,{\frac {s^{2}+t^{2}}{d}},\end{aligned}}}$

donde k es cualquier número entero, s y t son números enteros coprimos y d es el máximo común divisor de los tres numeradores. De hecho, d = 2 si s y t son ambos impares, y d = 1 si uno es impar y el otro es par.

Las ternas primitivas son las soluciones donde k = 1 y s > t > 0 .

Esta descripción de las soluciones difiere ligeramente de la fórmula de Euclides porque la fórmula de Euclides considera solo las soluciones tales que x, y y z son todas positivas, y no distingue entre dos tripletas que difieren por el intercambio de x e y ,

Análisis diofántico

Preguntas típicas

Las preguntas formuladas en el análisis diofántico incluyen:

1. ¿Hay alguna solución?
2. ¿Hay alguna solución más allá de algunas que se pueden encontrar fácilmente mediante inspección ?
3. ¿Hay un número finito o infinito de soluciones?
4. ¿Se pueden encontrar todas las soluciones en teoría?
5. ¿Se puede en la práctica calcular una lista completa de soluciones?

Estos problemas tradicionales a menudo permanecieron sin resolver durante siglos, y los matemáticos gradualmente llegaron a comprender su profundidad (en algunos casos), en lugar de tratarlos como acertijos.

Problema típico

La información dada es que la edad de un padre es 1 menos que el doble que la de su hijo, y que los dígitos AB que componen la edad del padre están invertidos en la edad del hijo (es decir, BA ). Esto lleva a la ecuación 10 A + B = 2(10 B + A ) − 1 , por lo tanto 19 B − 8 A = 1 . La inspección da el resultado A = 7 , B = 3 , por lo que AB equivale a 73 años y BA equivale a 37 años. Se puede demostrar fácilmente que no existe ninguna otra solución con A y B enteros positivos menores que 10.

Muchos acertijos bien conocidos en el campo de las matemáticas recreativas conducen a ecuaciones diofánticas. Los ejemplos incluyen el problema de las balas de cañón , el problema del ganado de Arquímedes y el mono y los cocos .

Siglos XVII y XVIII

En 1637, Pierre de Fermat garabateó en el margen de su ejemplar de Arithmetica : "Es imposible separar un cubo en dos cubos, o una cuarta potencia en dos cuartas potencias, o en general, cualquier potencia superior a la segunda en dos iguales". potestades." Dicho en un lenguaje más moderno, "La ecuación a ⁿ + b ⁿ = c ⁿ no tiene soluciones para ningún n superior a 2". A continuación escribió: "He descubierto una prueba verdaderamente maravillosa de esta proposición, que este margen es demasiado estrecho para contener". Sin embargo, esta demostración eludió a los matemáticos durante siglos y, como tal, su afirmación se hizo famosa como el último teorema de Fermat . No fue hasta 1995 que fue demostrado por el matemático británico Andrew Wiles .

En 1657, Fermat intentó resolver la ecuación diofántica 61 x ² + 1 = y ² (resuelta por Brahmagupta más de 1000 años antes). La ecuación fue finalmente resuelta por Euler a principios del siglo XVIII, quien también resolvió otras ecuaciones diofánticas. La solución más pequeña de esta ecuación en números enteros positivos es x = 226153980 , y = 1766319049 (ver método Chakravala ).

El décimo problema de Hilbert

En 1900, David Hilbert propuso la solubilidad de todas las ecuaciones diofánticas como el décimo de sus problemas fundamentales . En 1970, Yuri Matiyasevich lo resolvió negativamente, basándose en el trabajo de Julia Robinson , Martin Davis y Hilary Putnam para demostrar que no puede existir un algoritmo general para resolver todas las ecuaciones diofánticas .

Geometría diofántica

La geometría diofántica , es la aplicación de técnicas de la geometría algebraica que considera ecuaciones que también tienen un significado geométrico. La idea central de la geometría diofántica es la de un punto racional , es decir, una solución a una ecuación polinómica o un sistema de ecuaciones polinómicas , que es un vector en un campo prescrito K , cuando K no es algebraicamente cerrado .

investigación moderna

El método general más antiguo para resolver una ecuación diofántica (o para demostrar que no hay solución) es el método del descenso infinito , que fue introducido por Pierre de Fermat . Otro método general es el principio de Hasse que utiliza la aritmética modular en módulo de todos los números primos para encontrar las soluciones. A pesar de muchas mejoras, estos métodos no pueden resolver la mayoría de las ecuaciones diofánticas.

La dificultad de resolver ecuaciones diofánticas queda ilustrada por el décimo problema de Hilbert , que fue planteado en 1900 por David Hilbert ; Se trataba de encontrar un algoritmo para determinar si una ecuación diofántica polinómica dada con coeficientes enteros tiene una solución entera. El teorema de Matiyasevich implica que tal algoritmo no puede existir.

Durante el siglo XX se ha explorado profundamente un nuevo enfoque consistente en utilizar la geometría algebraica . De hecho, una ecuación diofántica puede verse como la ecuación de una hipersuperficie , y las soluciones de la ecuación son los puntos de la hipersuperficie que tienen coordenadas enteras.

Este enfoque llevó finalmente a la demostración por parte de Andrew Wiles en 1994 del último teorema de Fermat , enunciado sin prueba alrededor de 1637. Esta es otra ilustración de la dificultad de resolver ecuaciones diofánticas.

Infinitas ecuaciones diofánticas

Un ejemplo de ecuación diofántica infinita es:

$${\displaystyle n=a^{2}+2b^{2}+3c^{2}+4d^{2}+5e^{2}+\cdots ,}$$

nnfunciones thetan^[9]

$${\displaystyle n=a^{2}+4b^{2}+9c^{2}+16d^{2}+25e^{2}+\cdots ,}$$

n

Ecuaciones diofánticas exponenciales

Si una ecuación diofántica tiene como variable adicional o variables que aparecen como exponentes , es una ecuación diofántica exponencial. Los ejemplos incluyen la ecuación de Ramanujan-Nagell , 2 ⁿ − 7 = x ² , y la ecuación de la conjetura de Fermat-Catalan y la conjetura de Beal , a ^m + b ⁿ = c ^k con restricciones de desigualdad en los exponentes. No se dispone de una teoría general para tales ecuaciones; Se han abordado casos particulares como el de la conjetura de Catalan . Sin embargo, la mayoría se resuelven mediante métodos ad hoc como el teorema de Størmer o incluso prueba y error .

Ver también

• Kuṭṭaka , el algoritmo de Aryabhata para resolver ecuaciones diofánticas lineales con dos incógnitas

Notas

1. "Citas de Hardy". Gap.dcs.st-and.ac.uk. Archivado desde el original el 16 de julio de 2012 . Consultado el 20 de noviembre de 2012 .
2. Everest, G.; Ward, Thomas (2006), Introducción a la teoría de números, Textos de posgrado en matemáticas, vol. 232, Springer, pág. 117, ISBN 9781846280443.
3. Wiles, Andrés (1995). "Curvas elípticas modulares y último teorema de Fermat" (PDF) . Anales de Matemáticas . 141 (3): 443–551. doi :10.2307/2118559. JSTOR  2118559. OCLC  37032255.
4. Elkies, Noam (1988). "En A4 + B4 + C4 = D4" (PDF) . Matemáticas de la Computación . 51 (184): 825–835. doi :10.2307/2008781. JSTOR  2008781. SEÑOR  0930224.
5. Frye, Roger E. (1988). "Encontrar 95800 ⁴ + 217519 ⁴ + 414560 ⁴ = 422481 ⁴ en la máquina de conexión". Actas de supercomputación 88, Vol.II: Ciencia y aplicaciones . págs. 106-116. doi :10.1109/SUPERC.1988.74138.
6. Richard Zippel (1993). Cálculo polinómico efectivo . Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 50.ISBN _ 978-0-7923-9375-7.
7. Alexander Bockmayr, Volker Weispfenning (2001). "Resolver restricciones numéricas". En John Alan Robinson y Andrei Voronkov (ed.). Manual de razonamiento automatizado Volumen I. Elsevier y MIT Press. pag. 779.ISBN _ 0-444-82949-0. (Elsevier) (Prensa MIT).
8. Kovacic, Jerald (8 de mayo de 1985). "Un algoritmo para resolver ecuaciones diferenciales homogéneas lineales de segundo orden" (PDF) . Centro . Archivado (PDF) desde el original el 16 de abril de 2019.
9. "A320067 - Oeis".

Referencias

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• Schmidt, Wolfgang M. (1991). Aproximaciones diofánticas y ecuaciones diofánticas . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 1467. Berlín: Springer-Verlag . ISBN 3-540-54058-X. Zbl  0754.11020.
• Shorey, Tennessee; Tijdeman, R. (1986). Ecuaciones diofánticas exponenciales . Tratados de Cambridge en Matemáticas. vol. 87. Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-26826-5. Zbl  0606.10011.
• Inteligente, Nigel P. (1998). La resolución algorítmica de ecuaciones diofánticas . Textos estudiantiles de la Sociedad Matemática de Londres. vol. 41. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-64156-X. Zbl  0907.11001.
• Stillwell, John (2004). Las matemáticas y su historia (Segunda ed.). Springer Science + Business Media Inc. ISBN 0-387-95336-1.

Otras lecturas

• Bachmakova, Isabelle (1966). "Diofante y Fermat". Revue d'Histoire des Sciences et de Leurs Applications . 19 (4): 289–306. doi :10.3406/rhs.1966.2507. JSTOR  23905707.
• Bashmakova, Izabella G. Diofanto y las ecuaciones diofánticas . Moscú: Nauka 1972 [en ruso]. Traducción al alemán: Diophant und diophantische Gleichungen . Birkhauser, Basilea/Stuttgart, 1974. Traducción al inglés: Diofanto y ecuaciones diofantinas . Traducido por Abe Shenitzer con la asistencia editorial de Hardy Grant y actualizado por Joseph Silverman. Las exposiciones matemáticas de Dolciani, 20. Asociación Matemática de América, Washington, DC. 1997.
• Bashmakova, Izabella G. "Aritmética de curvas algebraicas de Diofanto a Poincaré" Historia Mathematica 8 (1981), 393–416.
• Bashmakova, Izabella G., Slavutin, EI Historia del análisis diofántico desde Diofanto hasta Fermat . Moscú: Nauka 1984 [en ruso].
• Bashmakova, Izabella G. "Ecuaciones diofánticas y la evolución del álgebra", Traducciones de la American Mathematical Society 147 (2), 1990, págs. Traducido por A. Shenitzer y H. Grant.
• Dickson, Leonard Eugene (2005) [1920]. Historia de la Teoría de los Números . Tomo II: Análisis diofántico . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-44233-4. Señor  0245500. Zbl  1214.11002.
• Rashed, Roshdi; Houzel, cristiano (2013). Les "Arithmétiques" de Diophante . doi :10.1515/9783110336481. ISBN 978-3-11-033593-4.
• Rashed, Roshdi, Histoire de l'analyse diophantienne classique: D'Abū Kāmil à Fermat , Berlín, Nueva York: Walter de Gruyter.

enlaces externos

• Ecuación diofántica. De MathWorld en Wolfram Research .
• "Ecuaciones diofánticas", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Calculadora en línea de Dario Alpern. Consultado el 18 de marzo de 2009.