Método Chakravala

Algoritmo cíclico para resolver ecuaciones cuadráticas indeterminadas

El método chakravala ( sánscrito : चक्रवाल विधि ) es un algoritmo cíclico para resolver ecuaciones cuadráticas indeterminadas , incluida la ecuación de Pell . Se atribuye comúnmente a Bhāskara II , (c. 1114 - 1185 d. C.) ^{[1] [2]} aunque algunos lo atribuyen a Jayadeva (c. 950 ~ 1000 d. C.). ^[3] Jayadeva señaló que el enfoque de Brahmagupta para resolver ecuaciones de este tipo podía generalizarse, y luego describió este método general, que luego fue refinado por Bhāskara II en su tratado Bijaganita . Lo llamó el método Chakravala: chakra significa "rueda" en sánscrito , una referencia a la naturaleza cíclica del algoritmo. ^[4] C.-O. Selenius sostuvo que ninguna obra europea en la época de Bhāskara, ni mucho después, superó su maravillosa altura de complejidad matemática. ^{[1] [4]}

Este método también se conoce como método cíclico y contiene rastros de inducción matemática . ^[5]

Historia

Chakra en sánscrito significa ciclo. Según la leyenda popular, Chakravala indica una cadena de montañas míticas que orbitan alrededor de la Tierra como un muro y no están limitadas por la luz y la oscuridad. ^[6]

Brahmagupta en el año 628 d. C. estudió ecuaciones cuadráticas indeterminadas, incluida la ecuación de Pell .

${\displaystyle \,x^{2}=Ny^{2}+1,}$

para los enteros mínimos x e y . Brahmagupta pudo resolverlo para varios N , pero no para todos.

Jayadeva y Bhaskara ofrecieron la primera solución completa a la ecuación, utilizando el método chakravala para encontrar la solución. ${\displaystyle \,x^{2}=61y^{2}+1,}$

${\displaystyle \,x=1766319049,y=226153980.}$

Este caso era conocido por su dificultad y fue resuelto por primera vez en Europa por Brouncker en 1657-58 en respuesta a un desafío de Fermat , utilizando fracciones continuas. Un método para el problema general fue descrito por primera vez de manera rigurosa por Lagrange en 1766. ^[7] Sin embargo, el método de Lagrange requiere el cálculo de 21 convergentes sucesivos de la fracción continua para la raíz cuadrada de 61, mientras que el método de chakravala es mucho más simple. Selenius, en su evaluación del método de chakravala , afirma

"El método representa un algoritmo de aproximación óptima de longitud mínima que, gracias a varias propiedades de minimización, con un mínimo esfuerzo y evitando grandes números, produce automáticamente las mejores soluciones para la ecuación. El método de Chakravala se anticipó a los métodos europeos en más de mil años. Pero ningún desarrollo europeo en todo el campo del álgebra en una época mucho posterior a la de Bhaskara, ni siquiera casi igual hasta nuestros días, igualó la maravillosa complejidad e ingenio de Chakravala ." ^{[1] [4]}

Hermann Hankel llama al método chakravala

"lo mejor logrado en la teoría de números antes de Lagrange". ^[8]

El método

A partir de la identidad de Brahmagupta , observamos que para N dado ,

${\displaystyle (x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2})^{2}-N(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2}=(x_{1}^{2}-Ny_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ny_{2}^{2})}$

Para la ecuación , esto permite la "composición" ( samāsa ) de dos triples solución y en un nuevo triple. ${\displaystyle x^{2}-Ny^{2}=k}$ ${\displaystyle (x_{1},y_{1},k_{1})}$ ${\displaystyle (x_{2},y_{2},k_{2})}$

${\displaystyle (x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2}\,,\,x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\,,\,k_{1}k_{2}).}$

En el método general, la idea principal es que cualquier triple (es decir, uno que satisface ) se puede componer con el triple trivial para obtener el nuevo triple para cualquier m . Suponiendo que comenzamos con un triple para el cual , esto se puede reducir en k (este es el lema de Bhaskara ): ${\displaystyle (a,b,k)}$ ${\displaystyle a^{2}-Nb^{2}=k}$ ${\displaystyle (m,1,m^{2}-N)}$ ${\displaystyle (am+Nb,a+bm,k(m^{2}-N))}$ ${\displaystyle \gcd(a,b)=1}$

${\displaystyle a^{2}-Nb^{2}=k\Rightarrow \left({\frac {am+Nb}{k}}\right)^{2}-N\left({\frac {a+bm}{k}}\right)^{2}={\frac {m^{2}-N}{k}}}$

Como los signos dentro de los cuadrados no importan, son posibles las siguientes sustituciones:

${\displaystyle a\leftarrow {\frac {am+Nb}{|k|}},b\leftarrow {\frac {a+bm}{|k|}},k\leftarrow {\frac {m^{2}-N}{k}}}$

Cuando se elige un entero positivo m de modo que ( a  +  bm )/ k es un entero, también lo son los otros dos números en el triple. Entre tales m , el método elige uno que minimice el valor absoluto de m ²  −  N y, por lo tanto, el de ( m ²  −  N )/ k . Luego, se aplican las relaciones de sustitución para m igual al valor elegido. Esto da como resultado un nuevo triple ( a , b , k ). El proceso se repite hasta que se encuentra un triple con . Este método siempre termina con una solución (probado por Lagrange en 1768). ^[9] Opcionalmente, podemos detenernos cuando k es ±1, ±2 o ±4, ya que el enfoque de Brahmagupta proporciona una solución para esos casos. ${\displaystyle k=1}$

El método de composición de Brahmagupta

En el año 628 d. C., Brahmagupta descubrió una forma general de encontrar y de cuando se da , cuando k es ±1, ±2 o ±4. ^[10] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x^{2}=Ny^{2}+1,}$ ${\displaystyle a^{2}=Nb^{2}+k}$

k = ±1

Usando la identidad de Brahmagupta para componer el triple consigo mismo: ${\displaystyle (a,b,k)}$

${\displaystyle (a^{2}+Nb^{2})^{2}-N(2ab)^{2}=k^{2}}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle (2a^{2}-k)^{2}-N(2ab)^{2}=k^{2}}$

El nuevo triple se puede expresar como . ${\displaystyle (2a^{2}-k,2ab,k^{2})}$

Sustituyendo obtenemos la solución: ${\displaystyle k=-1}$

${\displaystyle x=2a^{2}+1,y=2ab}$

Para , el original ya era una solución. Sustituyendo obtenemos una segunda: ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle k=1}$

${\displaystyle x=2a^{2}-1,y=2ab}$

k = ±2

Usando nuevamente la ecuación, ${\displaystyle (2a^{2}-k)^{2}-N(2ab)^{2}=k^{2}}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \left({\frac {2a^{2}-k}{k}}\right)^{2}-N\left({\frac {2ab}{k}}\right)^{2}=1}$

Sustituyendo , ${\displaystyle k=2}$

${\displaystyle x=a^{2}-1,y=ab}$

Sustituyendo , ${\displaystyle k=-2}$

${\displaystyle x=a^{2}+1,y=ab}$

k = 4

Sustituyendo en la ecuación se crea el triple . ${\displaystyle k=4}$ ${\displaystyle ({\frac {2a^{2}-4}{4}})^{2}-N({\frac {2ab}{4}})^{2}=1}$ ${\displaystyle ({\frac {a^{2}-2}{2}},{\frac {ab}{2}},1)}$

¿Cuál es una solución si es par?: ${\displaystyle a}$

${\displaystyle x={\frac {a^{2}-2}{2}},y={\frac {ab}{2}}}$

Si a es impar, comience con las ecuaciones y . ${\displaystyle ({\frac {a}{2}})^{2}-N({\frac {b}{2}})^{2}=1}$ ${\displaystyle ({\frac {2a^{2}-4}{4}})^{2}-N({\frac {2ab}{4}})^{2}=1}$

Conduciendo a los triples y . Componiendo los triples se obtiene ${\displaystyle ({\frac {a}{2}},{\frac {b}{2}},1)}$ ${\displaystyle ({\frac {a^{2}-2}{2}},{\frac {ab}{2}},1)}$ ${\displaystyle ({\frac {a}{2}}(a^{2}-3))^{2}-N({\frac {b}{2}}(a^{2}-1))^{2}=1}$

Cuando es impar, ${\displaystyle a}$

${\displaystyle x={\frac {a}{2}}(a^{2}-3),y={\frac {b}{2}}(a^{2}-1)}$

k = -4

Cuando , entonces . Componer consigo mismo produce . ${\displaystyle k=-4}$ ${\displaystyle ({\frac {a}{2}})^{2}-N({\frac {b}{2}})^{2}=-1}$ ${\displaystyle ({\frac {a^{2}+Nb^{2}}{4}})^{2}-N({\frac {ab}{2}})^{2}=1}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle ({\frac {a^{2}+2}{2}})^{2}-N({\frac {ab}{2}})^{2}=1}$

De nuevo la composición da sus frutos ${\displaystyle ({\frac {(a^{2}+2)^{2}+Na^{2}b^{2})}{4}})^{2}-N({\frac {ab(a^{2}+2)}{2}})^{2}=1}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle ({\frac {a^{4}+4a^{2}+2}{2}})^{2}-N({\frac {ab(a^{2}+2)}{2}})^{2}=1}$

Finalmente, a partir de las ecuaciones anteriores, componemos las tripletas y , para obtener ${\displaystyle ({\frac {a^{2}+2}{2}},{\frac {ab}{2}},1)}$ ${\displaystyle ({\frac {a^{4}+4a^{2}+2}{2}},{\frac {ab(a^{2}+2)}{2}},1)}$

${\displaystyle ({\frac {(a^{2}+2)(a^{4}+4a^{2}+2)+Na^{2}b^{2}(a^{2}+2)}{4}})^{2}-N({\frac {ab(a^{4}+4a^{2}+3)}{2}})^{2}=1}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle ({\frac {(a^{2}+2)(a^{4}+4a^{2}+1)}{2}})^{2}-N({\frac {ab(a^{2}+3)(a^{2}+1)}{2}})^{2}=1}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle ({\frac {(a^{2}+2)[(a^{2}+1)(a^{2}+3)-2)]}{2}})^{2}-N({\frac {ab(a^{2}+3)(a^{2}+1)}{2}})^{2}=1}$.

Esto nos da las soluciones.

${\displaystyle x={\frac {(a^{2}+2)[(a^{2}+1)(a^{2}+3)-2)]}{2}}y={\frac {ab(a^{2}+3)(a^{2}+1)}{2}}}$^[11]

(Nota: es útil encontrar una solución para la ecuación de Pell , pero no siempre es el par de enteros más pequeño, por ejemplo , la ecuación le dará , que cuando se coloca en la ecuación de Pell produce , que funciona, pero también funciona para . ${\displaystyle k=-4}$ ${\displaystyle 36^{2}-52*5^{2}=-4}$ ${\displaystyle x=1093436498,y=151632270}$ ${\displaystyle 1195601955878350801-1195601955878350800=1}$ ${\displaystyle x=649,y=90}$ ${\displaystyle N=52}$

Ejemplos

norte= 61

El  caso n = 61 (que determina una solución entera que satisface ), propuesto como desafío por Fermat muchos siglos después, fue presentado por Bhaskara como ejemplo. ^[9] ${\displaystyle a^{2}-61b^{2}=1}$

Comenzamos con una solución para cualquier k hallada por cualquier medio. En este caso podemos dejar que b sea 1, por lo tanto, como , tenemos el triple . Al componerlo con obtenemos el triple , que se reduce (o se utiliza directamente el lema de Bhaskara ) para obtener: ${\displaystyle a^{2}-61b^{2}=k}$ ${\displaystyle 8^{2}-61\cdot 1^{2}=3}$ ${\displaystyle (a,b,k)=(8,1,3)}$ ${\displaystyle (m,1,m^{2}-61)}$ ${\displaystyle (8m+61,8+m,3(m^{2}-61))}$

${\displaystyle \left({\frac {8m+61}{3}},{\frac {8+m}{3}},{\frac {m^{2}-61}{3}}\right).}$

Para que 3 sea divisible y mínimo, elegimos , de modo que tengamos el triple . Ahora que k es −4, podemos usar la idea de Brahmagupta: se puede reducir a la solución racional , que compuesta consigo misma tres veces, con respectivamente, cuando k se vuelve cuadrada y se puede aplicar el escalamiento, esto da . Finalmente, dicho procedimiento se puede repetir hasta que se encuentre la solución (requiriendo 9 autocomposiciones adicionales y 4 escalamientos al cuadrado adicionales): . Esta es la solución entera mínima. ${\displaystyle 8+m}$ ${\displaystyle |m^{2}-61|}$ ${\displaystyle m=7}$ ${\displaystyle (39,5,-4)}$ ${\displaystyle (39/2,5/2,-1)\,}$ ${\displaystyle m={7,11,9}}$ ${\displaystyle (1523/2,195/2,1)\,}$ ${\displaystyle (1766319049,\,226153980,\,1)}$

norte= 67

Supongamos que queremos resolver x e y . ^[12] ${\displaystyle x^{2}-67y^{2}=1}$

Comenzamos con una solución para cualquier k hallada por cualquier medio; en este caso podemos dejar que b sea 1, obteniendo así . En cada paso, encontramos un m  > 0 tal que k divide a a  +  bm y | m ²  − 67| es mínimo. Luego actualizamos a , b y k a y respectivamente. ${\displaystyle a^{2}-67b^{2}=k}$ ${\displaystyle 8^{2}-67\cdot 1^{2}=-3}$ ${\displaystyle {\frac {am+Nb}{|k|}},{\frac {a+bm}{|k|}}}$ ${\displaystyle {\frac {m^{2}-N}{k}}}$

Primera iteración

Tenemos . Queremos un entero positivo m tal que k divida a a  +  bm , es decir, 3 divida a 8 + m, y | m ²  − 67| sea mínimo. La primera condición implica que m tiene la forma 3 t + 1 (es decir, 1, 4, 7, 10,… etc.), y entre tales m , el valor mínimo se alcanza para m = 7. Reemplazando ( a ,  b ,  k ) por , obtenemos los nuevos valores . Es decir, tenemos la nueva solución: ${\displaystyle (a,b,k)=(8,1,-3)}$ ${\displaystyle \left({\frac {am+Nb}{|k|}},{\frac {a+bm}{|k|}},{\frac {m^{2}-N}{k}}\right)}$ ${\displaystyle a=(8\cdot 7+67\cdot 1)/3=41,b=(8+1\cdot 7)/3=5,k=(7^{2}-67)/(-3)=6}$

${\displaystyle 41^{2}-67\cdot (5)^{2}=6.}$

En este punto, se completa una ronda del algoritmo cíclico.

Segunda iteración

Ahora repetimos el proceso. Tenemos . Queremos un m  > 0 tal que k divida a a  +  bm , es decir, 6 divida a 41 + 5 m , y | m ²  − 67| sea mínimo. La primera condición implica que m tiene la forma 6 t  + 5 (es decir, 5, 11, 17,… etc.), y entre tales m , | m ²  − 67| es mínimo para m  = 5. Esto conduce a la nueva solución a  = (41⋅5 + 67⋅5)/6, etc.: ${\displaystyle (a,b,k)=(41,5,6)}$

${\displaystyle 90^{2}-67\cdot 11^{2}=-7.}$

Tercera iteración

Para que 7 divida a 90 + 11 m , debemos tener m = 2 + 7 t (es decir, 2, 9, 16,… etc.) y entre estos m , elegimos m = 9.

${\displaystyle 221^{2}-67\cdot 27^{2}=-2.}$

Solución final

En este punto, podríamos continuar con el método cíclico (y terminaría, después de siete iteraciones), pero como el lado derecho está entre ±1, ±2, ±4, también podemos usar directamente la observación de Brahmagupta. Componiendo la terna (221, 27, −2) consigo misma, obtenemos

${\displaystyle \left({\frac {221^{2}+67\cdot 27^{2}}{2}}\right)^{2}-67\cdot (221\cdot 27)^{2}=1,}$

es decir, tenemos la solución entera:

${\displaystyle 48842^{2}-67\cdot 5967^{2}=1.}$

Esta ecuación se aproxima a dentro de un margen de aproximadamente . ${\displaystyle {\sqrt {67}}}$ ${\displaystyle {\frac {48842}{5967}}}$ ${\displaystyle 2\times 10^{-9}}$

Notas

1. Hoiberg & Ramchandani - Britannica India de estudiantes: Bhaskaracharya II, página 200
2. Kumar, página 23
3. Plofker, página 474
4. Goonatilake, página 127 – 128
5. Cajori (1918), pág. 197

   "El proceso de razonamiento llamado "inducción matemática" ha tenido varios orígenes independientes. Se lo ha rastreado hasta el suizo Jakob (James) Bernoulli, los franceses B. Pascal y P. Fermat y el italiano F. Maurolycus. [...] Leyendo un poco entre líneas se pueden encontrar rastros de inducción matemática aún más antiguos, en los escritos de los hindúes y los griegos, como, por ejemplo, en el "método cíclico" de Bhaskara y en la prueba de Euclides de que el número de primos es infinito."

6. Gopal, Madan (1990). KS Gautam (ed.). India a través de los tiempos. División de Publicaciones, Ministerio de Información y Radiodifusión, Gobierno de la India. pág. 79.
7. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Ecuación de Pell", Archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor , Universidad de St Andrews
8. Kaye (1919), pág. 337.
9. John Stillwell (2002), Matemáticas y su historia (2.ª ed.), Springer, págs. 72-76, ISBN 978-0-387-95336-6
10. "Ecuación de Pell". Historia de las matemáticas . Consultado el 14 de junio de 2021 .
11. Datta y Singh (1962). Historia de las matemáticas hindúes: un libro de consulta, partes I y II . Asia Publishing House. págs. 157-160. ISBN 8180903907.
12. El ejemplo de esta sección se da (con notación para k , para m , etc.) en: Michael J. Jacobson; Hugh C. Williams (2009), Solving the Pell equation, Springer, p. 31, ISBN ${\displaystyle Q_{n}}$ ${\displaystyle P_{n}}$ 978-0-387-84922-5

Referencias

• Florian Cajori (1918), Origen del nombre "Inducción matemática", The American Mathematical Monthly 25 (5), pág. 197-201.
• George Gheverghese Joseph, La cresta del pavo real: raíces no europeas de las matemáticas (1975).
• GR Kaye, "Matemáticas indias", Isis 2 :2 (1919), pág. 326–356.
• Clas-Olaf Selenius, "Justificación del proceso chakravala de Jayadeva y Bhaskara II" Archivado el 30 de noviembre de 2021 en Wayback Machine , Historia Mathematica 2 (1975), págs. 167–184.
• Clas-Olaf Selenius, "Kettenbruchtheoretische Erklärung der zyklischen Methode zur Lösung der Bhaskara-Pell-Gleichung", Acta Acad. Arriba. Matemáticas. Física. 23 (10) (1963), págs. 1–44.
• Hoiberg, Dale y Ramchandani, Indu (2000). Britannica India de estudiantes . Bombay: Prakashan popular. ISBN 0-85229-760-2 
• Goonatilake, Susantha (1998). Hacia una ciencia global: la explotación del conocimiento de las civilizaciones . Indiana: Indiana University Press. ISBN 0-253-33388-1 . 
• Kumar, Narendra (2004). La ciencia en la antigua India . Delhi: Anmol Publications Pvt Ltd. ISBN 81-261-2056-8 
• Ploker, Kim (2007) "Matemáticas en la India". Las matemáticas de Egipto, Mesopotamia, China, India y el Islam: un libro de consulta. Nueva Jersey: Princeton University Press. ISBN 0-691-11485-4 
• Edwards, Harold (1977). El último teorema de Fermat . Nueva York: Springer . ISBN. 0-387-90230-9.

Enlaces externos

• Introducción a Chakravala