Ecuación cuadrática

Ecuación polinómica de grado dos

En álgebra , una ecuación cuadrática (del latín quadratus  ' cuadrado ') es cualquier ecuación que se puede reorganizar en forma estándar como ^[1]

$${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,,}$$

xdesconocidoabca ≠ 0a = 0b ≠ 0linealabccoeficientescoeficiente cuadráticocoeficiente linealcoeficiente constantetérmino libre^[2]

Los valores de x que satisfacen la ecuación se llaman soluciones de la ecuación y raíces o ceros de la expresión en su lado izquierdo. Una ecuación cuadrática tiene como máximo dos soluciones. Si sólo hay una solución se dice que es raíz doble . Si todos los coeficientes son números reales , hay dos soluciones reales, o una única raíz doble real, o dos soluciones complejas que son conjugadas complejas entre sí. Una ecuación cuadrática siempre tiene dos raíces, si se incluyen raíces complejas; y una raíz doble se cuenta por dos. Una ecuación cuadrática se puede factorizar en una ecuación equivalente ^[3]

$${\displaystyle ax^{2}+bx+c=a(x-r)(x-s)=0}$$

rsx

La fórmula cuadrática

$${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$$

abcCompletar el cuadrado

Las soluciones a problemas que pueden expresarse en términos de ecuaciones cuadráticas se conocían ya en el año 2000 a.C. ^{[4] [5]}

Debido a que la ecuación cuadrática involucra solo una incógnita, se llama " univariada ". La ecuación cuadrática contiene solo potencias de x que son números enteros no negativos y, por lo tanto, es una ecuación polinómica . En particular, es una ecuación polinómica de segundo grado , ya que la potencia mayor es dos.

Resolviendo la ecuación cuadrática

Figura 1. Gráficas de la función cuadrática y = ax ² + bx + c , variando cada coeficiente por separado mientras los demás coeficientes son fijos (en valores a  = 1, b  = 0, c  = 0)

Una ecuación cuadrática con coeficientes reales o complejos tiene dos soluciones, llamadas raíces . Estas dos soluciones pueden ser distintas o no, y pueden ser reales o no.

Factoring por inspección

Quizás sea posible expresar una ecuación cuadrática ax ² + bx + c = 0 como producto ( px + q )( rx + s ) = 0 . En algunos casos, es posible, mediante una simple inspección, determinar valores de p , q , r y s que hagan que las dos formas sean equivalentes entre sí. Si la ecuación cuadrática se escribe en la segunda forma, entonces la "Propiedad del factor cero" establece que la ecuación cuadrática se satisface si px + q = 0 o rx + s = 0 . Resolver estas dos ecuaciones lineales proporciona las raíces de la cuadrática.

Para la mayoría de los estudiantes, la factorización por inspección es el primer método para resolver ecuaciones cuadráticas al que están expuestos. ^{[6] : 202–207} Si se le da una ecuación cuadrática en la forma x ² + bx + c = 0 , la factorización buscada tiene la forma ( x + q )( x + s ) y hay que encontrar dos números q y s que suman b y cuyo producto es c (esto a veces se llama "regla de Vieta" ^[7] y está relacionado con las fórmulas de Vieta ). Por ejemplo, x ² + 5 x + 6 se factoriza como ( x + 3)( x + 2) . El caso más general en el que a no es igual a 1 puede requerir un esfuerzo considerable de prueba y error, adivinación y verificación, suponiendo que pueda factorizarse mediante inspección.

Excepto en casos especiales como b = 0 o c = 0 , la factorización por inspección solo funciona para ecuaciones cuadráticas que tienen raíces racionales. Esto significa que la gran mayoría de ecuaciones cuadráticas que surgen en aplicaciones prácticas no pueden resolverse factorizando por inspección. ^{[6] : 207}

Completando el cuadrado

Figura 2. Para la función cuadrática y = x ² − x − 2 , los puntos donde la gráfica cruza el eje x , x = −1 y x = 2 , son las soluciones de la ecuación cuadrática x ² − x − 2 = 0 .

El proceso de completar el cuadrado hace uso de la identidad algebraica

${\displaystyle x^{2}+2hx+h^{2}=(x+h)^{2},}$

que representa un algoritmo bien definido que se puede utilizar para resolver cualquier ecuación cuadrática. ^{[6] : 207} Comenzando con una ecuación cuadrática en forma estándar, ax ² + bx + c = 0

1. Divide cada lado por a , el coeficiente del término al cuadrado.
2. Resta el término constante c / a de ambos lados.
3. Suma el cuadrado de la mitad de b / a , el coeficiente de x , a ambos lados. Esto "completa el cuadrado", convirtiendo el lado izquierdo en un cuadrado perfecto.
4. Escribe el lado izquierdo como un cuadrado y simplifica el lado derecho si es necesario.
5. Produce dos ecuaciones lineales igualando la raíz cuadrada del lado izquierdo con las raíces cuadradas positivas y negativas del lado derecho.
6. Resuelve cada una de las dos ecuaciones lineales.

Ilustramos el uso de este algoritmo resolviendo 2 x ² + 4 x − 4 = 0

${\displaystyle 2x^{2}+4x-4=0}$

${\displaystyle \ x^{2}+2x-2=0}$

${\displaystyle \ x^{2}+2x=2}$

${\displaystyle \ x^{2}+2x+1=2+1}$

${\displaystyle \left(x+1\right)^{2}=3}$

${\displaystyle \ x+1=\pm {\sqrt {3}}}$

${\displaystyle \ x=-1\pm {\sqrt {3}}}$

El símbolo más-menos "±" indica que tanto x = −1 + √ 3 como x = −1 − √ 3 son soluciones de la ecuación cuadrática. ^[8]

Fórmula cuadrática y su derivación.

Completar el cuadrado se puede utilizar para derivar una fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas, llamada fórmula cuadrática. ^[9] La prueba matemática se resumirá ahora brevemente. ^[10] Se puede ver fácilmente, mediante expansión polinómica , que la siguiente ecuación es equivalente a la ecuación cuadrática:

${\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}.}$

Tomando la raíz cuadrada de ambos lados y aislando x , se obtiene:

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$

Algunas fuentes, particularmente las más antiguas, utilizan parametrizaciones alternativas de la ecuación cuadrática como ax ² + 2 bx + c = 0 o ax ² − 2 bx + c = 0  , ^[11] donde b tiene una magnitud la mitad de la más común uno, posiblemente con signo opuesto. Estos dan como resultado formas ligeramente diferentes para la solución, pero por lo demás son equivalentes.

En la literatura se pueden encontrar varias derivaciones alternativas . Estas demostraciones son más simples que el método estándar para completar el cuadrado, representan aplicaciones interesantes de otras técnicas utilizadas con frecuencia en álgebra u ofrecen información sobre otras áreas de las matemáticas.

Una fórmula cuadrática menos conocida, como la que se usa en el método de Muller , proporciona las mismas raíces mediante la ecuación

${\displaystyle x={\frac {2c}{-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}}.}$

Esto se puede deducir de la fórmula cuadrática estándar mediante las fórmulas de Vieta , que afirman que el producto de las raíces es c / a . También se deduce de dividir la ecuación cuadrática resolviendo esto y luego invirtiendo. ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle cx^{-2}+bx^{-1}+a=0,}$ ${\displaystyle x^{-1},}$

Una propiedad de esta forma es que produce una raíz válida cuando a = 0 , mientras que la otra raíz contiene división por cero, porque cuando a = 0 , la ecuación cuadrática se convierte en una ecuación lineal, que tiene una raíz. Por el contrario, en este caso, la fórmula más común tiene una división por cero para una raíz y una forma indeterminada 0/0 para la otra raíz. Por otro lado, cuando c = 0 , la fórmula más común produce dos raíces correctas, mientras que esta forma produce la raíz cero y una forma indeterminada 0/0 .

Cuando ni a ni c son cero, la igualdad entre la fórmula cuadrática estándar y el método de Muller,

${\displaystyle {\frac {2c}{-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,,}$

se puede verificar mediante multiplicación cruzada y de manera similar para la otra elección de signos.

Ecuación cuadrática reducida

A veces es conveniente reducir una ecuación cuadrática para que su coeficiente principal sea uno. Esto se hace dividiendo ambos lados por a , lo cual siempre es posible ya que a no es cero. Esto produce la ecuación cuadrática reducida : ^[12]

${\displaystyle x^{2}+px+q=0,}$

donde p = b / a y q = c / a . Esta ecuación polinómica mónica tiene las mismas soluciones que la original.

La fórmula cuadrática para las soluciones de la ecuación cuadrática reducida, escrita en términos de sus coeficientes, es

${\displaystyle x={\frac {1}{2}}\left(-p\pm {\sqrt {p^{2}-4q}}\right)}$

o equivalente,

${\displaystyle x=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}\,.}$

discriminante

Figura 3. Signos discriminantes

En la fórmula cuadrática, la expresión debajo del signo de la raíz cuadrada se llama discriminante de la ecuación cuadrática y, a menudo, se representa usando una D mayúscula o una delta griega mayúscula : ^[13]

${\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac.}$

Una ecuación cuadrática con coeficientes reales puede tener una o dos raíces reales distintas, o dos raíces complejas distintas. En este caso el discriminante determina el número y la naturaleza de las raíces. Hay tres casos:

• Si el discriminante es positivo, entonces hay dos raíces distintas.

${\displaystyle {\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\quad {\text{and}}\quad {\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}},}$

ambos son números reales. Para ecuaciones cuadráticas con coeficientes racionales , si el discriminante es un número cuadrado , entonces las raíces son racionales; en otros casos pueden ser irracionales cuadráticos .

• Si el discriminante es cero, entonces hay exactamente una raíz real a veces llamada raíz doble o repetida o dos raíces iguales. ${\displaystyle -{\frac {b}{2a}},}$

• Si el discriminante es negativo, entonces no hay raíces reales. Más bien, hay dos raíces complejas distintas (no reales) ^[14] ${\displaystyle -{\frac {b}{2a}}+i{\frac {\sqrt {-\Delta }}{2a}}\quad {\text{and}}\quad -{\frac {b}{2a}}-i{\frac {\sqrt {-\Delta }}{2a}},}$

que son conjugados complejos entre sí. En estas expresiones i es la unidad imaginaria .

Por tanto, las raíces son distintas si y sólo si el discriminante es distinto de cero, y las raíces son reales si y sólo si el discriminante no es negativo.

Interpretación geométrica

Gráfica de y = ax ² + bx + c , donde a y el discriminante b ² − 4 ac son positivos, con

• Raíces e intercepción y en rojo
• Vértice y eje de simetría en azul.
• Foco y directriz en rosa.

Visualización de las raíces complejas de y = ax ² + bx + c : la parábola gira 180° alrededor de su vértice ( naranja ). Sus intersecciones en x se giran 90° alrededor de su punto medio y el plano cartesiano se interpreta como el plano complejo ( verde ). ^[15]

La función f ( x ) = ax ² + bx + c es una función cuadrática . ^[16] La gráfica de cualquier función cuadrática tiene la misma forma general, que se llama parábola . La ubicación y el tamaño de la parábola, y cómo se abre, dependen de los valores de a , b y c . Como se muestra en la Figura 1, si a > 0 , la parábola tiene un punto mínimo y se abre hacia arriba. Si a < 0 , la parábola tiene un punto máximo y se abre hacia abajo. El punto extremo de la parábola, ya sea mínimo o máximo, corresponde a su vértice . La coordenada x del vértice se ubicará en , y la coordenada y del vértice se puede encontrar sustituyendo este valor de x en la función. La intersección con el eje y se encuentra en el punto (0, c ) . ${\displaystyle \scriptstyle x={\tfrac {-b}{2a}}}$

Las soluciones de la ecuación cuadrática ax ² + bx + c = 0 corresponden a las raíces de la función f ( x ) = ax ² + bx + c , ya que son los valores de x para los cuales f ( x ) = 0 . Como se muestra en la Figura 2, si a , b y c son números reales y el dominio de f es el conjunto de números reales, entonces las raíces de f son exactamente las coordenadas x de los puntos donde la gráfica toca el eje x . . Como se muestra en la Figura 3, si el discriminante es positivo, la gráfica toca el eje x en dos puntos; si es cero, la gráfica toca en un punto; y si es negativo, la gráfica no toca el eje x .

factorización cuadrática

El término

${\displaystyle x-r}$

es un factor del polinomio

${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$

si y sólo si r es raíz de la ecuación cuadrática

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0.}$

De la fórmula cuadrática se deduce que

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=a\left(x-{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)\left(x-{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right).}$

En el caso especial b ² = 4 ac donde el polinomio cuadrático tiene sólo una raíz distinta ( es decir, el discriminante es cero), el polinomio cuadrático se puede factorizar como

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}.}$

Solución gráfica

Figura 4. Cálculo con calculadora gráfica de una de las dos raíces de la ecuación cuadrática 2 x ² + 4 x − 4 = 0 . Aunque la pantalla muestra sólo cinco cifras significativas de precisión, el valor recuperado de xc es 0,732050807569, con una precisión de doce cifras significativas.

Una función cuadrática sin raíz real: y = ( x − 5) ² + 9 . El "3" es la parte imaginaria de la intersección con el eje x . La parte real es la coordenada x del vértice. Por tanto, las raíces son 5 ± 3 i .

Las soluciones de la ecuación cuadrática.

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$

se puede deducir de la gráfica de la función cuadrática

${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c,}$

que es una parábola .

Si la parábola interseca al eje x en dos puntos, hay dos raíces reales , que son las coordenadas x de estos dos puntos (también llamada intersección x ).

Si la parábola es tangente al eje x , hay una raíz doble, que es la coordenada x del punto de contacto entre la gráfica y la parábola.

Si la parábola no corta al eje x , hay dos raíces conjugadas complejas . Aunque estas raíces no se pueden visualizar en el gráfico, sus partes reales e imaginarias sí pueden serlo. ^[17]

Sean h y k respectivamente la coordenada x y la coordenada y del vértice de la parábola (es decir, el punto con la coordenada y máxima o mínima . La función cuadrática se puede reescribir

${\displaystyle y=a(x-h)^{2}+k.}$

Sea d la distancia entre el punto de la coordenada y 2 k en el eje de la parábola y un punto de la parábola con la misma coordenada y (ver la figura; hay dos puntos que dan la misma distancia, debido a la simetría de la parábola). Entonces la parte real de las raíces es h , y su parte imaginaria es ± d . Es decir, las raíces son

${\displaystyle h+id\quad {\text{and}}\quad h-id,}$

o en el caso del ejemplo de la figura

${\displaystyle 5+3i\quad {\text{and}}\quad 5-3i.}$

Evitar la pérdida de importancia

Aunque la fórmula cuadrática proporciona una solución exacta, el resultado no es exacto si los números reales se aproximan durante el cálculo, como es habitual en el análisis numérico , donde los números reales se aproximan mediante números de punto flotante (llamados "reales" en muchos lenguajes de programación ). En este contexto, la fórmula cuadrática no es completamente estable .

Esto ocurre cuando las raíces tienen diferente orden de magnitud o, de manera equivalente, cuando b ² y b ² − 4 ac tienen magnitudes cercanas. En este caso, la resta de dos números casi iguales provocará una pérdida de importancia o una cancelación catastrófica en la raíz más pequeña. Para evitar esto, la raíz de menor magnitud, r , se puede calcular como donde R es la raíz de mayor magnitud. Esto equivale a utilizar la fórmula ${\displaystyle (c/a)/R}$

${\displaystyle x={\frac {-2c}{b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}}}$

usando el signo más si y el signo menos si ${\displaystyle b>0}$ ${\displaystyle b<0.}$

Una segunda forma de cancelación puede ocurrir entre los términos b ² y 4 ac del discriminante, es decir cuando las dos raíces están muy cerca. Esto puede provocar la pérdida de hasta la mitad de las cifras significativas correctas en las raíces. ^{[11] [18]}

Ejemplos y aplicaciones

La trayectoria del saltador del acantilado es parabólica porque el desplazamiento horizontal es una función lineal del tiempo , mientras que el desplazamiento vertical es una función cuadrática del tiempo . Como resultado, el camino sigue una ecuación cuadrática , donde y son componentes horizontales y verticales de la velocidad original, a es la aceleración gravitacional y h es la altura original. El valor a aquí debe considerarse negativo, ya que su dirección (hacia abajo) es opuesta a la medida de altura (hacia arriba). ${\displaystyle x=v_{x}t}$ ${\displaystyle y={\tfrac {1}{2}}at^{2}+v_{y}t+h}$ ${\displaystyle y={\tfrac {a}{2v_{x}^{2}}}x^{2}+{\tfrac {v_{y}}{v_{x}}}x+h}$ ${\displaystyle v_{x}}$ ${\displaystyle v_{y}}$

La proporción áurea se encuentra como la solución positiva de la ecuación cuadrática. ${\displaystyle x^{2}-x-1=0.}$

Las ecuaciones del círculo y de las otras secciones cónicas ( elipses , parábolas e hipérbolas ) son ecuaciones cuadráticas en dos variables.

Dado el coseno o el seno de un ángulo, encontrar el coseno o el seno del ángulo que es la mitad de grande implica resolver una ecuación cuadrática.

El proceso de simplificar expresiones que involucran la raíz cuadrada de una expresión que involucra la raíz cuadrada de otra expresión implica encontrar las dos soluciones de una ecuación cuadrática.

El teorema de Descartes establece que por cada cuatro círculos que se besan (mutuamente tangentes), sus radios satisfacen una ecuación cuadrática particular.

La ecuación dada por el teorema de Fuss , que da la relación entre el radio del círculo inscrito de un cuadrilátero bicéntrico , el radio de su círculo circunscrito y la distancia entre los centros de esos círculos, se puede expresar como una ecuación cuadrática para la cual La distancia entre los centros de los dos círculos en términos de sus radios es una de las soluciones. La otra solución de la misma ecuación en términos de los radios relevantes da la distancia entre el centro del círculo circunscrito y el centro de la circunferencia extangencial de un cuadrilátero extangencial .

Los puntos críticos de una función cúbica y los puntos de inflexión de una función cuártica se encuentran resolviendo una ecuación cuadrática.

Historia

Los matemáticos babilónicos , ya en el año 2000 a. C. (que aparecen en las tablillas de arcilla de la antigua Babilonia ) podían resolver problemas que relacionaban las áreas y los lados de los rectángulos. Hay evidencia que data este algoritmo ya en la Tercera Dinastía de Ur . ^[19] En notación moderna, los problemas típicamente implicaban resolver un par de ecuaciones simultáneas de la forma:

${\displaystyle x+y=p,\ \ xy=q,}$

lo que equivale a la afirmación de que x e y son las raíces de la ecuación: ^{[20] : 86}

${\displaystyle z^{2}+q=pz.}$

Los pasos dados por los escribas babilónicos para resolver el problema del rectángulo anterior, en términos de x e y , fueron los siguientes:

1. Calcula la mitad de p .
2. Cuadra el resultado.
3. Resta q .
4. Encuentra la raíz cuadrada (positiva) usando una tabla de cuadrados.
5. Sume los resultados de los pasos (1) y (4) para obtener x .

En notación moderna, esto significa calcular , que es equivalente a la fórmula cuadrática moderna para la raíz real más grande (si la hay) con a = 1 , b = − p y c = q . ${\displaystyle x=\left({\frac {p}{2}}\right)+{\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}}$ ${\displaystyle x={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$

Se utilizaron métodos geométricos para resolver ecuaciones cuadráticas en Babilonia, Egipto, Grecia, China y la India. El Papiro Egipcio de Berlín , que data del Reino Medio (2050 a. C. a 1650 a. C.), contiene la solución de una ecuación cuadrática de dos términos. ^[21] Los matemáticos babilónicos de alrededor del 400 a. C. y los matemáticos chinos de alrededor del 200 a. C. utilizaron métodos geométricos de disección para resolver ecuaciones cuadráticas con raíces positivas. ^{[22] [23]} Las reglas para ecuaciones cuadráticas se dieron en Los nueve capítulos sobre el arte matemático , un tratado chino sobre matemáticas. ^{[23] [24]} Estos primeros métodos geométricos no parecen haber tenido una fórmula general. Euclides , el matemático griego , desarrolló un método geométrico más abstracto alrededor del año 300 a.C. Con un enfoque puramente geométrico, Pitágoras y Euclides crearon un procedimiento general para encontrar soluciones de la ecuación cuadrática. En su obra Arithmetica , el matemático griego Diofanto resolvió la ecuación cuadrática, pero dando solo una raíz, incluso cuando ambas raíces eran positivas. ^[25]

En 628 d.C., Brahmagupta , un matemático indio , dio en su libro Brāhmasphuṭasiddhānta la primera solución explícita (aunque todavía no completamente general) de la ecuación cuadrática ax ² + bx = c de la siguiente manera: "Al número absoluto multiplicado por cuatro veces el [ coeficiente del] cuadrado, se suma el cuadrado del [coeficiente del] término medio; la raíz cuadrada del mismo, menos el [coeficiente del] término medio, quedando dividido por el doble del [coeficiente del] cuadrado es el valor ". ^[26] Esto es equivalente a

${\displaystyle x={\frac {{\sqrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}.}$

El Manuscrito Bakhshali escrito en la India en el siglo VII d.C. contenía una fórmula algebraica para resolver ecuaciones cuadráticas, así como ecuaciones cuadráticas indeterminadas (originalmente de tipo ax / c = y ^{[ aclaración necesaria : esto es lineal, no cuadrático ]} ). Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (siglo IX), posiblemente inspirado en Brahmagupta, ^{[¿ investigación original? ]} desarrolló un conjunto de fórmulas que funcionaron para lograr soluciones positivas. Al-Khwarizmi va más allá al proporcionar una solución completa a la ecuación cuadrática general, aceptando una o dos respuestas numéricas para cada ecuación cuadrática, al tiempo que proporciona pruebas geométricas en el proceso. ^[27] También describió el método para completar el cuadrado y reconoció que el discriminante debe ser positivo, ^{[27] [28] : 230} lo cual fue probado por su contemporáneo 'Abd al-Hamīd ibn Turk (Asia Central, siglo IX) quien dio figuras geométricas para demostrar que si el discriminante es negativo, una ecuación cuadrática no tiene solución. ^{[28] : 234} Si bien el propio al-Khwarizmi no aceptó soluciones negativas, los matemáticos islámicos posteriores que lo sucedieron aceptaron soluciones negativas, ^{[27] : 191} así como números irracionales como soluciones. ^[29] Abū Kāmil Shujā ibn Aslam (Egipto, siglo X) en particular fue el primero en aceptar números irracionales (a menudo en forma de raíz cuadrada , raíz cúbica o raíz cuarta ) como soluciones a ecuaciones cuadráticas o como coeficientes en una ecuación. . ^[30] El matemático indio del siglo IX Sridhara escribió reglas para resolver ecuaciones cuadráticas. ^[31]

El matemático judío Abraham bar Hiyya Ha-Nasi (siglo XII, España) fue autor del primer libro europeo que incluye la solución completa de la ecuación cuadrática general. ^[32] Su solución se basó en gran medida en el trabajo de Al-Khwarizmi. ^[27] El escrito del matemático chino Yang Hui (1238-1298 d. C.) es el primero conocido en el que aparecen ecuaciones cuadráticas con coeficientes negativos de 'x', aunque lo atribuye al anterior Liu Yi. ^[33] Hacia 1545 Gerolamo Cardano compiló los trabajos relacionados con las ecuaciones cuadráticas. La fórmula cuadrática que cubre todos los casos fue obtenida por primera vez por Simon Stevin en 1594. ^[34] En 1637, René Descartes publicó La Géométrie que contiene la fórmula cuadrática en la forma que conocemos hoy.

Temas avanzados

Métodos alternativos de cálculo de raíces.

Las fórmulas de Vieta

Gráfica de la diferencia entre la aproximación de Vieta para la raíz más pequeña de la ecuación cuadrática x ² + bx + c = 0 en comparación con el valor calculado mediante la fórmula cuadrática

Las fórmulas de Vieta (que llevan el nombre de François Viète ) son las relaciones

${\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}}$

entre las raíces de un polinomio cuadrático y sus coeficientes. Resultan de comparar término por término la relación

${\displaystyle \left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)=x^{2}-\left(x_{1}+x_{2}\right)x+x_{1}x_{2}=0}$

con la ecuación

${\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0.}$

La primera fórmula de Vieta es útil para graficar una función cuadrática. Dado que la gráfica es simétrica con respecto a una línea vertical que pasa por el vértice , la coordenada x del vértice se ubica en el promedio de las raíces (o intersecciones). Por tanto, la coordenada x del vértice es

${\displaystyle x_{V}={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}=-{\frac {b}{2a}}.}$

La coordenada y se puede obtener sustituyendo el resultado anterior en la ecuación cuadrática dada, dando

${\displaystyle y_{V}=-{\frac {b^{2}}{4a}}+c=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}.}$

Además, estas fórmulas para el vértice se pueden deducir directamente de la fórmula (ver Completar el cuadrado )

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}.}$

Para el cálculo numérico, las fórmulas de Vieta proporcionan un método útil para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática en el caso en que una raíz sea mucho más pequeña que la otra. Si | x2 | _{_} << | x1 | _{_} , entonces x ₁ + x ₂ ≈ x ₁ , y tenemos la estimación:

${\displaystyle x_{1}\approx -{\frac {b}{a}}.}$

La segunda fórmula de Vieta establece entonces:

${\displaystyle x_{2}={\frac {c}{ax_{1}}}\approx -{\frac {c}{b}}.}$

Estas fórmulas son mucho más fáciles de evaluar que la fórmula cuadrática bajo la condición de una raíz grande y una raíz pequeña, porque la fórmula cuadrática evalúa la raíz pequeña como la diferencia de dos números muy casi iguales (el caso de b grande ) , lo que causa que la raíz sea redonda. -off error en una evaluación numérica. La figura muestra la diferencia entre ^{[ se necesita aclaración ]} (i) una evaluación directa usando la fórmula cuadrática (precisa cuando las raíces están cerca una de otra en valor) y (ii) una evaluación basada en la aproximación anterior de las fórmulas de Vieta (precisa cuando las raíces las raíces están muy espaciadas). A medida que aumenta el coeficiente lineal b , inicialmente la fórmula cuadrática es precisa y la fórmula aproximada mejora en precisión, lo que lleva a una diferencia menor entre los métodos a medida que b aumenta. Sin embargo, en algún momento la fórmula cuadrática comienza a perder precisión debido al error de redondeo, mientras que el método aproximado continúa mejorando. En consecuencia, la diferencia entre los métodos comienza a aumentar a medida que la fórmula cuadrática empeora cada vez más.

Esta situación surge comúnmente en el diseño de amplificadores, donde se desean raíces muy separadas para garantizar un funcionamiento estable (consulte Respuesta al escalón ).

solución trigonométrica

En la época anterior a las calculadoras, la gente usaba tablas matemáticas (listas de números que mostraban los resultados del cálculo con diferentes argumentos) para simplificar y acelerar el cálculo. Las tablas de logaritmos y funciones trigonométricas eran comunes en los libros de texto de matemáticas y ciencias. Se publicaron tablas especializadas para aplicaciones como astronomía, navegación celeste y estadística. Existían métodos de aproximación numérica, llamados prosthaféresis , que ofrecían atajos para operaciones que requerían mucho tiempo, como la multiplicación y la obtención de potencias y raíces. ^[35] Los astrónomos, especialmente, estaban preocupados por los métodos que pudieran acelerar las largas series de cálculos involucrados en los cálculos de la mecánica celeste .

Es dentro de este contexto que podemos entender el desarrollo de medios para resolver ecuaciones cuadráticas con la ayuda de la sustitución trigonométrica . Considere la siguiente forma alternativa de la ecuación cuadrática,

[1]   ${\displaystyle ax^{2}+bx\pm c=0,}$

donde el signo del símbolo ± se elige de modo que a y c puedan ser ambos positivos. Al sustituir

[2]   ${\displaystyle x={\sqrt {c/a}}\tan \theta }$

y luego multiplicando por cos ² ( θ ) / c , obtenemos

[3]   ${\displaystyle \sin ^{2}\theta +{\frac {b}{\sqrt {ac}}}\sin \theta \cos \theta \pm \cos ^{2}\theta =0.}$

Introduciendo funciones de 2 θ y reordenando, obtenemos

[4]   ${\displaystyle \tan 2\theta _{n}=+2{\frac {\sqrt {ac}}{b}},}$

[5]   ${\displaystyle \sin 2\theta _{p}=-2{\frac {\sqrt {ac}}{b}},}$

donde los subíndices n y p corresponden, respectivamente, al uso de un signo negativo o positivo en la ecuación [1] . Sustituyendo los dos valores de θ _n o θ _p encontrados en las ecuaciones [4] o [5] en [2] se obtienen las raíces requeridas de [1] . Las raíces complejas ocurren en la solución basada en la ecuación [5] si el valor absoluto de sen 2 θ _p excede la unidad. La cantidad de esfuerzo involucrado en resolver ecuaciones cuadráticas usando esta estrategia mixta de búsqueda de tablas trigonométricas y logarítmicas fue dos tercios del esfuerzo usando tablas logarítmicas únicamente. ^[36] Calcular raíces complejas requeriría usar una forma trigonométrica diferente. ^[37]

Para ilustrar, supongamos que tenemos tablas trigonométricas y de logaritmos de siete posiciones disponibles y deseamos resolver lo siguiente con una precisión de seis cifras significativas:

${\displaystyle 4.16130x^{2}+9.15933x-11.4207=0}$

1. Una tabla de búsqueda de siete lugares podría tener sólo 100.000 entradas, y calcular resultados intermedios para siete lugares generalmente requeriría una interpolación entre entradas adyacentes.
2. ${\displaystyle \log a=0.6192290,\log b=0.9618637,\log c=1.0576927}$
3. ${\displaystyle 2{\sqrt {ac}}/b=2\times 10^{(0.6192290+1.0576927)/2-0.9618637}=1.505314}$
4. ${\displaystyle \theta =(\tan ^{-1}1.505314)/2=28.20169^{\circ }{\text{ or }}-61.79831^{\circ }}$
5. ${\displaystyle \log |\tan \theta |=-0.2706462{\text{ or }}0.2706462}$
6. ${\displaystyle \log {\sqrt {c/a}}=(1.0576927-0.6192290)/2=0.2192318}$
7. ${\displaystyle x_{1}=10^{0.2192318-0.2706462}=0.888353}$(redondeado a seis cifras significativas)

${\displaystyle x_{2}=-10^{0.2192318+0.2706462}=-3.08943}$

Solución para raíces complejas en coordenadas polares.

Si la ecuación cuadrática con coeficientes reales tiene dos raíces complejas (el caso en el que se requiere que a y c tengan el mismo signo entre sí), entonces las soluciones para las raíces se pueden expresar en forma polar como ^[38] ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ ${\displaystyle b^{2}-4ac<0,}$

${\displaystyle x_{1},\,x_{2}=r(\cos \theta \pm i\sin \theta ),}$

dónde y ${\displaystyle r={\sqrt {\tfrac {c}{a}}}}$ ${\displaystyle \theta =\cos ^{-1}\left({\tfrac {-b}{2{\sqrt {ac}}}}\right).}$

Solución geométrica

Figura 6. Solución geométrica de ax ² + bx + c = 0 usando el método de Lill. Las soluciones son −AX1/SA, −AX2/SA

La ecuación cuadrática se puede resolver geométricamente de varias maneras. Una forma es mediante el método de Lill . Los tres coeficientes a , b , c se dibujan formando ángulos rectos entre ellos como en SA, AB y BC en la Figura 6. Se dibuja un círculo con el punto inicial y final SC como diámetro. Si esto corta la línea media AB de los tres, entonces la ecuación tiene una solución, y las soluciones están dadas por el negativo de la distancia a lo largo de esta línea desde A dividida por el primer coeficiente a o SA. Si a es 1, los coeficientes se pueden leer directamente. Por tanto, las soluciones en el diagrama son −AX1/SA y −AX2/SA. ^[39]

Círculo de Carlyle de la ecuación cuadrática x ²  −  sx  +  p  = 0.

El círculo de Carlyle , llamado así en honor a Thomas Carlyle , tiene la propiedad de que las soluciones de la ecuación cuadrática son las coordenadas horizontales de las intersecciones del círculo con el eje horizontal . ^[40] Los círculos de Carlyle se han utilizado para desarrollar construcciones de polígonos regulares con regla y compás .

Generalización de la ecuación cuadrática.

La fórmula y su derivación siguen siendo correctas si los coeficientes a , byc son números complejos o, más generalmente, miembros de cualquier cuerpo cuya característica no sea 2 . (En un campo de característica 2, el elemento 2 a es cero y es imposible dividirlo por él).

El símbolo

${\displaystyle \pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}$

en la fórmula debe entenderse como "cualquiera de los dos elementos cuyo cuadrado es b ² − 4 ac , si dichos elementos existen". En algunos campos, algunos elementos no tienen raíces cuadradas y otros tienen dos; sólo el cero tiene una sola raíz cuadrada, excepto en campos de característica 2 . Incluso si un campo no contiene una raíz cuadrada de algún número, siempre hay un campo de extensión cuadrática que sí la contiene, por lo que la fórmula cuadrática siempre tendrá sentido como fórmula en ese campo de extensión.

Característica 2

En un campo de característica 2 , la fórmula cuadrática, que se basa en que 2 es una unidad , no se cumple. Considere el polinomio cuadrático mónico

${\displaystyle x^{2}+bx+c}$

sobre un campo de característica 2 . Si b = 0 , entonces la solución se reduce a extraer una raíz cuadrada, por lo que la solución es

${\displaystyle x={\sqrt {c}}}$

y solo hay una raíz ya que

${\displaystyle -{\sqrt {c}}=-{\sqrt {c}}+2{\sqrt {c}}={\sqrt {c}}.}$

En resumen,

${\displaystyle \displaystyle x^{2}+c=(x+{\sqrt {c}})^{2}.}$

Consulte residuo cuadrático para obtener más información sobre cómo extraer raíces cuadradas en campos finitos.

En el caso de que b ≠ 0 , hay dos raíces distintas, pero si el polinomio es irreducible , no se pueden expresar en términos de raíces cuadradas de números en el campo de coeficientes. En su lugar, defina la raíz doble R ( c ) de c como una raíz del polinomio x ² + x + c , un elemento del campo de división de ese polinomio. Se verifica que R ( c ) + 1 también es raíz. En términos de la operación de 2 raíces, las dos raíces de la ecuación cuadrática (no mónica) ax ² + bx + c son

${\displaystyle {\frac {b}{a}}R\left({\frac {ac}{b^{2}}}\right)}$

y

${\displaystyle {\frac {b}{a}}\left(R\left({\frac {ac}{b^{2}}}\right)+1\right).}$

Por ejemplo, supongamos que a denota un generador multiplicativo del grupo de unidades de F ₄ , el campo de Galois de orden cuatro (por lo tanto, a y a + 1 son raíces de x ² + x + 1 sobre F _4. Porque ( a + 1) ² = a , a + 1 es la única solución de la ecuación cuadrática x ² + a = 0. Por otro lado, el polinomio x ² + ax + 1 es irreducible sobre F ₄ , pero se divide sobre F ₁₆ , donde tiene las dos raíces ab y ab + a , donde b es una raíz de x ² + x + a en F ₁₆ .

Este es un caso especial de la teoría de Artin-Schreier .

Ver también

• Resolver ecuaciones cuadráticas con fracciones continuas
• Ecuación lineal
• función cúbica
• ecuación cuartica
• Ecuación quíntica
• Teorema fundamental del álgebra

Referencias

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enlaces externos

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• 101 usos de una ecuación cuadrática: Parte II Archivado el 22 de octubre de 2007 en Wayback Machine.