Una forma de ver esto es notar que la gráfica de la función f ( x ) = x 2 es una parábola cuyo vértice está en el origen (0, 0). Por lo tanto, la gráfica de la función f ( x − h ) = ( x − h ) 2 es una parábola desplazada hacia la derecha por h cuyo vértice está en ( h , 0), como se muestra en la figura superior. En contraste, la gráfica de la función f ( x ) + k = x 2 + k es una parábola desplazada hacia arriba por k cuyo vértice está en (0, k ) , como se muestra en la figura central. Combinando desplazamientos horizontales y verticales se obtiene f ( x − h ) + k = ( x − h ) 2 + k es una parábola desplazada hacia la derecha por h y hacia arriba por k cuyo vértice está en ( h , k ) , como se muestra en la figura inferior.
Resolver ecuaciones cuadráticas
Completar el cuadrado se puede utilizar para resolver cualquier ecuación cuadrática . Por ejemplo:
El primer paso es completar el cuadrado:
A continuación resolvemos el término al cuadrado:
Entonces tambien
Esto se puede aplicar a cualquier ecuación cuadrática. Cuando x 2 tiene un coeficiente distinto de 1, el primer paso es dividir la ecuación por este coeficiente: para ver un ejemplo, vea el caso no mónico a continuación.
Raíces irracionales y complejas
A diferencia de los métodos que implican factorizar la ecuación, que es confiable solo si las raíces son racionales , al completar el cuadrado se encontrarán las raíces de una ecuación cuadrática incluso cuando esas raíces sean irracionales o complejas . Por ejemplo, considere la ecuación
Completar el cuadrado da
En lenguaje más conciso:
Las ecuaciones con raíces complejas se pueden manejar de la misma manera. Por ejemplo:
Caso no monónico
Para una ecuación que involucra una cuadrática no mónica, el primer paso para resolverla es dividirla por el coeficiente de x 2 . Por ejemplo:
La aplicación de este procedimiento a la forma general de una ecuación cuadrática conduce a la fórmula cuadrática .
Otras aplicaciones
Integración
Completar el cuadrado se puede utilizar para evaluar cualquier integral de la forma
Por ejemplo, considere la integral
Completando el cuadrado en el denominador se obtiene:
Esto ahora se puede evaluar usando la sustitución u = x + 3, lo que produce
Una matriz M es idempotente cuando M 2 = M . Las matrices idempotentes generalizan las propiedades idempotentes de 0 y 1. La finalización del método cuadrado para abordar la ecuación
La matriz será idempotente siempre que al completar el cuadrado quede
ab
Perspectiva geométrica
Considere completar el cuadrado de la ecuación.
Dado que x 2 representa el área de un cuadrado con un lado de longitud x y bx representa el área de un rectángulo con lados b y x , el proceso de completar el cuadrado puede verse como una manipulación visual de rectángulos.
Los intentos simples de combinar los rectángulos x 2 y bx en un cuadrado más grande dan como resultado una esquina faltante. El término ( b /2) 2 añadido a cada lado de la ecuación anterior es precisamente el área de la esquina faltante, de donde se deriva la terminología "completar el cuadrado".
Una variación de la técnica.
Como se enseña convencionalmente, completar el cuadrado consiste en sumar el tercer término, v 2 a
uvuv
Ejemplo: la suma de un número positivo y su recíproco
Al escribir
xx
Ejemplo: factorizar un polinomio cuártico simple
Considere el problema de factorizar el polinomio.
Esto es
x 2x 2
El mismo argumento muestra que siempre es factorizable como
"Completar el cuadrado" consiste en remarcar que los dos primeros términos de un polinomio cuadrático son también los primeros términos del cuadrado de un polinomio lineal , y utilizar esto para expresar el polinomio cuadrático como suma de un cuadrado y una constante.
Completar el cubo es una técnica similar que permite transformar un polinomio cúbico en un polinomio cúbico sin término de grado dos.
Más precisamente, si
es un polinomio en x tal que sus dos primeros términos son los dos primeros términos de la forma expandida de
proporciona un polinomio cúbico sin término de grado dos, que se denomina forma deprimida del polinomio original.
Esta transformación es generalmente el primer paso de los métodos para resolver la ecuación cúbica general.
De manera más general, se puede utilizar una transformación similar para eliminar términos de grado en polinomios de grado
Referencias
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