Al-Jabr ( árabe : الجبر ), también conocido como El libro compendioso sobre el cálculo por terminación y equilibrio ( árabe : الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة , al-Kitāb al-Mukhtaṣar fī Ḥisāb al-Jabr wal-Muqābalah ; [b] o Latín : Liber Algebræ et Almucabola ), es untratado matemático árabe sobre álgebra escrito en Bagdad alrededor del año 820 por el erudito persa Al-Khwarizmi . Fue una obra histórica en la historia de las matemáticas , siendo su título la etimología última de la propia palabra "álgebra", más tarde tomada prestada al latín medieval como algebrāica .
Al-Jabr proporcionó una descripción exhaustiva de la resolución de raíces positivas de ecuaciones polinómicas hasta el segundo grado. [1] : 228 [c] Fue el primer texto que enseñó álgebra elemental , y el primero en enseñar álgebra por sí misma. [d] También introdujo el concepto fundamental de "reducción" y "equilibrio" (al que originalmente se refería el término al-jabr ), la transposición de términos restados al otro lado de una ecuación, es decir, la cancelación de términos similares en lados opuestos. lados de la ecuación. [e] El historiador de las matemáticas Victor J. Katz considera a Al-Jabr como el primer texto verdadero de álgebra que aún existe. [f] Traducido al latín por Roberto de Chester en 1145, se utilizó hasta el siglo XVI como principal libro de texto de matemáticas de las universidades europeas. [4] [g] [6] [7]
Varios autores también han publicado textos con este nombre, entre ellos Abu Hanifa Dinawari , Abu Kamil , Abū Muḥammad al-ʿAdlī, Abū Yūsuf al-Miṣṣīṣī, 'Abd al-Hamīd ibn Turk , Sind ibn ʿAlī, Sahl ibn Bišr y Šarafaddīn al- Ṭūsī .
R. Rashed y Angela Armstrong escriben:
Se puede ver que el texto de Al-Khwarizmi es distinto no sólo de las tablillas babilónicas , sino también de la Arithmetica de Diofanto . Ya no se trata de una serie de problemas por resolver, sino de una exposición que comienza con términos primitivos en los que las combinaciones deben dar todos los prototipos posibles de ecuaciones, que en adelante constituyen explícitamente el verdadero objeto de estudio. Por otra parte, la idea de ecuación por sí misma aparece desde el principio y, se podría decir, de manera genérica, en la medida en que no surge simplemente en el curso de la resolución de un problema, sino que está específicamente llamada a resolverse. definir una clase infinita de problemas. [8]
JJ O'Connor y EF Robertson escribieron en el archivo MacTutor History of Mathematics :
Quizás uno de los avances más significativos de las matemáticas árabes comenzó en esta época con el trabajo de al-Khwarizmi, concretamente los inicios del álgebra. Es importante comprender cuán significativa fue esta nueva idea. Fue un alejamiento revolucionario del concepto griego de matemáticas, que era esencialmente geometría. El álgebra era una teoría unificadora que permitía que los números racionales , los números irracionales , las magnitudes geométricas, etc., fueran tratados como "objetos algebraicos". Dio a las matemáticas un camino de desarrollo completamente nuevo, mucho más amplio en concepto que el que existía antes, y proporcionó un vehículo para el desarrollo futuro de la materia. Otro aspecto importante de la introducción de ideas algebraicas fue que permitió que las matemáticas se aplicaran a sí mismas de una manera que no había sucedido antes. [9]
El libro era una recopilación y ampliación de reglas conocidas para resolver ecuaciones cuadráticas y algunos otros problemas, y se consideraba la base del álgebra, estableciéndola como una disciplina independiente. La palabra álgebra se deriva del nombre de una de las operaciones básicas con ecuaciones descritas en este libro, siguiendo su traducción latina realizada por Robert de Chester . [10]
El libro clasifica las ecuaciones cuadráticas en uno de los seis tipos básicos y proporciona métodos algebraicos y geométricos para resolver las básicas. El historiador Carl Boyer señala lo siguiente con respecto a la falta de notaciones abstractas modernas en el libro: [11]
... el álgebra de al-Khwarizmi es completamente retórica, sin ninguna síncopa (ver Historia del álgebra ) que se encuentra en la Arithmetica griega o en la obra de Brahmagupta . ¡Incluso los números estaban escritos con palabras en lugar de símbolos!
— Carl B. Boyer, Una historia de las matemáticas
Así, las ecuaciones se describen verbalmente en términos de "cuadrados" (lo que hoy sería " x 2 "), "raíces" (lo que hoy sería " x ") y "números" ("constantes": números ordinarios escritos, como 'cuarenta y dos'). Los seis tipos, con notaciones modernas, son:
Los matemáticos islámicos, a diferencia de los hindúes, no se ocupaban en absoluto de números negativos; por lo tanto, una ecuación como bx + c = 0 no aparece en la clasificación, porque no tiene soluciones positivas si todos los coeficientes son positivos. De manera similar, los tipos de ecuaciones 4, 5 y 6, que parecen equivalentes al ojo moderno, se distinguieron porque todos los coeficientes deben ser positivos. [3] [ página necesaria ]
La operación Al-Jabr ("forzar", "restaurar") consiste en mover una cantidad deficiente de un lado de la ecuación al otro. En un ejemplo de al-Khwarizmi (en notación moderna), al-Jabr transforma " x 2 = 40 x − 4 x 2 " en "5 x 2 = 40 x ". La aplicación repetida de esta regla elimina las cantidades negativas de los cálculos.
Al-Muqābala ( المقابله , "equilibrar" o "correspondiente") significa resta de la misma cantidad positiva de ambos lados: " x 2 + 5 = 40 x + 4 x 2 " se convierte en "5 = 40 x + 3 x 2 ". La aplicación repetida de esta regla hace que cantidades de cada tipo ("cuadrado"/"raíz"/"número") aparezcan en la ecuación como máximo una vez, lo que ayuda a ver que solo hay 6 tipos básicos del problema que se pueden resolver, cuando se restringe a coeficientes positivos y soluciones.
Las partes siguientes del libro no se basan en la resolución de ecuaciones cuadráticas.
El segundo capítulo del libro cataloga métodos para encontrar área y volumen . Estos incluyen aproximaciones de pi (π), dadas de tres maneras, como 3 1/7, √10 y 62832/20000. Esta última aproximación, que equivale a 3,1416, apareció anteriormente en el indio Āryabhaṭīya (499 d.C.). [12]
Al-Khwārizmī explica el calendario judío y el ciclo de 19 años descrito por la convergencia de los meses lunares y los años solares. [12]
Aproximadamente la mitad del libro trata de las reglas islámicas de herencia , que son complejas y requieren habilidad en ecuaciones algebraicas de primer orden. [13]
