La identidad de Sophie Germain

Factorización polinómica matemática

En matemáticas, la identidad de Sophie Germain es una factorización polinomial que lleva el nombre de Sophie Germain , quien afirmó que Además de su uso en álgebra elemental , también se puede utilizar en teoría de números para factorizar números enteros de la forma especial , y con frecuencia constituye la base de problemas en competiciones de matemáticas . ^{[1] [2] [3]} $${\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}+4y^{4}&={\bigl (}(x+y)^{2}+y^{2}{\bigr )}\cdot {\bigl (}(x-y)^{2}+y^{2}{\bigr )}\\&=(x^{2}+2xy+2y^{2})\cdot (x^{2}-2xy+2y^{2}).\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle x^{4}+4y^{4}}$

Historia

Aunque la identidad ha sido atribuida a Sophie Germain, no aparece en sus obras. En cambio, en sus obras se puede encontrar la identidad relacionada ^{[4] [5]} Modificando esta ecuación multiplicando por da una diferencia de dos cuadrados , de la que se sigue la identidad de Germain. ^[5] La atribución inexacta de esta identidad a Germain fue hecha por Leonard Eugene Dickson en su Historia de la teoría de los números , que también afirmó (igualmente inexactamente) que se podía encontrar en una carta de Leonhard Euler a Christian Goldbach . ^{[5] [6]} $${\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}+y^{4}&=(x^{2}-y^{2})^{2}+2(xy)^{2}\\&=(x^{2}+y^{2})^{2}-2(xy)^{2}.\\\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ $${\displaystyle x^{4}+4y^{4}=(x^{2}+2y^{2})^{2}-4(xy)^{2},}$$

La identidad se puede demostrar simplemente multiplicando los dos términos de la factorización y verificando que su producto es igual al lado derecho de la igualdad. ^[7] También es posible una prueba sin palabras basada en múltiples aplicaciones del teorema de Pitágoras . ^[1]

Aplicaciones de la factorización de números enteros

Una consecuencia de la identidad de Germain es que los números de la forma no pueden ser primos para . (Para , el resultado es el número primo 5). Obviamente no son primos si es par, y si es impar tienen una factorización dada por la identidad con y . ^{[3] [7]} Estos números (que comienzan con ) forman la secuencia entera $${\displaystyle n^{4}+4^{n}}$$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x=n}$ ${\displaystyle y=2^{(n-1)/2}}$ ${\displaystyle n=0}$

1, 5, 32, 145, 512, 1649, 5392, 18785, 69632, ... (secuencia A001589 en la OEIS ).

Muchas de las apariciones de la identidad de Sophie Germain en competiciones de matemáticas provienen de este corolario. ^{[2] [3]}

Otro caso especial de la identidad con y se puede utilizar para producir la factorización donde es el cuarto polinomio ciclotómico . Como ocurre con los polinomios ciclotómicos de manera más general, es un polinomio irreducible , por lo que esta factorización de una cantidad infinita de sus valores no se puede extender a una factorización de como un polinomio, lo que lo convierte en un ejemplo de una factorización aurifeuilleana . ^[8] ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle y=2^{k}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{4}(2^{2k+1})&=2^{4k+2}+1\\&=(2^{2k+1}-2^{k+1}+1)\cdot (2^{2k+1}+2^{k+1}+1),\\\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \Phi _{4}(x)=x^{2}+1}$ ${\displaystyle \Phi _{4}}$ ${\displaystyle \Phi _{4}}$

Generalización

La identidad de Germain se ha generalizado a la ecuación funcional que, según la identidad de Sophie Germain, se satisface mediante la función cuadrada . ^[4] $${\displaystyle f(x)^{2}+4f(y)^{2}={\bigl (}f(x+y)+f(y){\bigr )}{\bigl (}f(x-y)+f(y){\bigr )},}$$

Referencias

1. Moreno, Samuel G.; García-Caballero, Esther M. (2019), "Prueba sin palabras: la identidad de Sophie Germain", The College Mathematics Journal , 50 (3): 197, doi :10.1080/07468342.2019.1603533, MR  3955328, S2CID  191131755
2. "CC79: Demuestre que si n {\displaystyle n} es un entero mayor que 1, entonces n 4 + 4 {\displaystyle n^{4}+4} no es primo" (PDF) , El rincón de los concursos, Crux Mathematicorum , 40 (6): 239, junio de 2014; originalmente de la Competencia de Matemáticas APICS de 1979
3. Engel, Arthur (1998), Estrategias de resolución de problemas, Libros de problemas de matemáticas, Nueva York: Springer-Verlag, pág. 121, doi :10.1007/b97682, ISBN 0-387-98219-1, Sr.  1485512
4. Łukasik, Radosław; Sikorska, Justyna; Szostok, Tomasz (2018), "Sobre una ecuación de Sophie Germain", Results in Mathematics , 73 (2), artículo n.º 60, doi : 10.1007/s00025-018-0820-y , MR  3783549, S2CID  253591505
5. Whitty, Robin, "La identidad de Sophie Germain" (PDF) , Teorema del día
6. Dickson, Leonard Eugene (1919), Historia de la teoría de los números, volumen I: divisibilidad y primalidad , Carnegie Institute of Washington, pág. 382
7. Bogomolny, Alexander , "La identidad de Sophie Germain", Cut-the-Knot , consultado el 19 de junio de 2023
8. Granville, Andrew; Pleasants, Peter (2006), "Factorización aurifeuilliana", Matemáticas de la computación , 75 (253): 497–508, doi : 10.1090/S0025-5718-05-01766-7 , MR  2176412