Función cuadrática

Función polinómica de grado dos

En matemáticas , un polinomio cuadrático es un polinomio de grado dos en una o más variables. Una función cuadrática es la función polinómica definida por un polinomio cuadrático. Antes del siglo XX, la distinción entre un polinomio y su función polinómica asociada no era clara; por lo que "polinomio cuadrático" y "función cuadrática" eran casi sinónimos. Este sigue siendo el caso en muchos cursos de primaria, donde ambos términos suelen abreviarse como "cuadráticos".

Un polinomio cuadrático con dos raíces reales (cruces del eje x ) y, por tanto, sin raíces complejas . Algunos otros polinomios cuadráticos tienen su mínimo por encima del eje x , en cuyo caso no hay raíces reales y hay dos raíces complejas.

Por ejemplo, una función cuadrática univariada (de una sola variable) tiene la forma ^[1]

${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c,\quad a\neq 0,}$

donde x es su variable. La gráfica de una función cuadrática univariada es una parábola , una curva que tiene un eje de simetría paralelo al eje y .

Si una función cuadrática se equipara a cero, entonces el resultado es una ecuación cuadrática . Las soluciones de una ecuación cuadrática son los ceros de la función cuadrática correspondiente.

El caso bivariado en términos de las variables x e y tiene la forma

${\displaystyle f(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f,}$

con al menos uno de a, b, c distinto de cero. Los ceros de esta función cuadrática son, en general (es decir, si una determinada expresión de los coeficientes no es igual a cero), una sección cónica (una circunferencia u otra elipse , una parábola o una hipérbola ).

Una función cuadrática en tres variables x , y y z contiene exclusivamente términos x ² , y ² , z ² , xy , xz , yz , x , y , z y una constante:

${\displaystyle f(x,y,z)=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j,}$

donde al menos uno de los coeficientes a, b, c, d, e, f de los términos de segundo grado no es cero.

Una función cuadrática puede tener una cantidad arbitrariamente grande de variables. El conjunto de su cero forma una cuádrica , que es una superficie en el caso de tres variables y una hipersuperficie en el caso general.

Etimología

El adjetivo cuadrático proviene del vocablo latino quadrātum (" cuadrado "). Un término elevado a la segunda potencia como x ² se llama cuadrado en álgebra porque es el área de un cuadrado de lado x .

Terminología

Coeficientes

Los coeficientes de una función cuadrática a menudo se consideran números reales o complejos , pero pueden tomarse en cualquier anillo , en cuyo caso el dominio y el codominio son este anillo (ver evaluación polinomial ).

Grado

Cuando se utiliza el término "polinomio cuadrático", los autores a veces quieren decir "que tiene grado exactamente 2" y, a veces, "que tiene grado como máximo 2". Si el grado es inferior a 2, se puede denominar " caso degenerado ". Por lo general, el contexto establecerá a cuál de los dos se refiere.

A veces la palabra "orden" se utiliza con el significado de "grado", por ejemplo, un polinomio de segundo orden. Sin embargo, donde el "grado de un polinomio" se refiere al grado más grande de un término distinto de cero del polinomio, más típicamente "orden" se refiere al grado más bajo de un término distinto de cero de una serie de potencias .

variables

Un polinomio cuadrático puede involucrar una sola variable x (el caso univariado) o múltiples variables como x , y y z (el caso multivariado).

El caso de una variable

Cualquier polinomio cuadrático de una sola variable se puede escribir como

${\displaystyle ax^{2}+bx+c,}$

donde x es la variable y a , b y c representan los coeficientes . Estos polinomios a menudo surgen en una ecuación cuadrática. Las soluciones de esta ecuación se llaman raíces y se pueden expresar en términos de coeficientes como la fórmula cuadrática . Cada polinomio cuadrático tiene asociada una función cuadrática, cuya gráfica es una parábola . ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0.}$

Casos bivariados y multivariados

Cualquier polinomio cuadrático con dos variables se puede escribir como

${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cxy+dx+ey+f,}$

donde x e y son las variables y a , b , c , d , e , f son los coeficientes, y uno de a , b y c es distinto de cero. Dichos polinomios son fundamentales para el estudio de las secciones cónicas , ya que la ecuación implícita de una sección cónica se obtiene igualando a cero un polinomio cuadrático, y los ceros de una función cuadrática forman una sección cónica (posiblemente degenerada).

De manera similar, los polinomios cuadráticos con tres o más variables corresponden a superficies o hipersuperficies cuádricas .

Los polinomios cuadráticos que tienen sólo términos de grado dos se llaman formas cuadráticas .

Formas de una función cuadrática univariada

Una función cuadrática univariante se puede expresar en tres formatos: ^[2]

• ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$ se llama forma estándar ,
• ${\displaystyle f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})}$se llama forma factorizada , donde r ₁ y r ₂ son las raíces de la función cuadrática y las soluciones de la ecuación cuadrática correspondiente.
• ${\displaystyle f(x)=a(x-h)^{2}+k}$se llama forma de vértice , donde h y k son las coordenadas xey del vértice, respectivamente.

El coeficiente a tiene el mismo valor en las tres formas. Para convertir la forma estándar a la forma factorizada , sólo se necesita la fórmula cuadrática para determinar las dos raíces r ₁ y r ₂ . Para convertir la forma estándar a la forma de vértice , se necesita un proceso llamado completar el cuadrado . Para convertir la forma factorizada (o forma de vértice) a la forma estándar, es necesario multiplicar, expandir y/o distribuir los factores.

Gráfica de la función univariada

${\displaystyle f(x)=ax^{2}|_{a=\{0.1,0.3,1,3\}}}$

${\displaystyle f(x)=x^{2}+bx|_{b=\{1,2,3,4\}}}$

${\displaystyle f(x)=x^{2}+bx|_{b=\{-1,-2,-3,-4\}}}$

Independientemente del formato, la gráfica de una función cuadrática univariada es una parábola (como se muestra a la derecha). De manera equivalente, esta es la gráfica de la ecuación cuadrática bivariada . ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$ ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$

• Si a > 0 , la parábola se abre hacia arriba.
• Si a < 0 , la parábola se abre hacia abajo.

El coeficiente a controla el grado de curvatura del gráfico; una magnitud mayor de a le da a la gráfica una apariencia más cerrada (muy curvada).

Los coeficientes b y a juntos controlan la ubicación del eje de simetría de la parábola (también la coordenada x del vértice y el parámetro h en la forma de vértice) que está en

${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}.}$

El coeficiente c controla la altura de la parábola; más específicamente, es la altura de la parábola donde intercepta el eje y .

Vértice

El vértice de una parábola es el lugar donde gira; de ahí que también se le llame punto de inflexión . Si la función cuadrática está en forma de vértice, el vértice es ( h , k ) . Utilizando el método de completar el cuadrado, se puede convertir la forma estándar.

${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$

en

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\\&=a(x-h)^{2}+k\\&=a\left(x-{\frac {-b}{2a}}\right)^{2}+\left(c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right),\\\end{aligned}}}$

entonces el vértice, ( h , k ) , de la parábola en forma estándar es

${\displaystyle \left(-{\frac {b}{2a}},c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right).}$^{[ cita necesaria ]}

Si la función cuadrática está en forma factorizada

${\displaystyle f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})}$

el promedio de las dos raíces, es decir,

${\displaystyle {\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}}$

es la coordenada x del vértice y, por tanto, el vértice ( h , k ) es

${\displaystyle \left({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}},f\left({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}\right)\right).}$

El vértice también es el punto máximo si a < 0 , o el punto mínimo si a > 0 .

la linea vertical

${\displaystyle x=h=-{\frac {b}{2a}}}$

que pasa por el vértice es también el eje de simetría de la parábola.

Puntos máximos y mínimos

Usando cálculo , el punto vértice, siendo máximo o mínimo de la función, se puede obtener encontrando las raíces de la derivada :

${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\quad \Rightarrow \quad f'(x)=2ax+b}$

x es una raíz de f '( x ) si f '( x ) = 0 , lo que da como resultado

${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$

con el valor de función correspondiente

${\displaystyle f(x)=a\left(-{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+b\left(-{\frac {b}{2a}}\right)+c=c-{\frac {b^{2}}{4a}},}$

entonces nuevamente las coordenadas del punto de vértice, ( h , k ) , se pueden expresar como

${\displaystyle \left(-{\frac {b}{2a}},c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right).}$

Raíces de la función univariada

Gráfica de y = ax ² + bx + c , donde a y el discriminante b ² − 4 ac son positivos, con

• Raíces e intercepción y en rojo
• Vértice y eje de simetría en azul.
• Foco y directriz en rosa.

Visualización de las raíces complejas de y = ax ² + bx + c : la parábola gira 180° alrededor de su vértice ( naranja ). Sus intersecciones en x se giran 90° alrededor de su punto medio y el plano cartesiano se interpreta como el plano complejo ( verde ). ^[3]

Raíces exactas

Las raíces (o ceros ), r ₁ y r ₂ , de la función cuadrática univariante

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\\&=a(x-r_{1})(x-r_{2}),\\\end{aligned}}}$

son los valores de x para los cuales f ( x ) = 0 .

Cuando los coeficientes a , b y c son reales o complejos , las raíces son

${\displaystyle r_{1}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},}$

${\displaystyle r_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$

Límite superior de la magnitud de las raíces.

El módulo de las raíces de una cuadrática no puede ser mayor que dónde está la proporción áurea ^{[4] [ ¿ importancia? ]} ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$ ${\displaystyle {\frac {\max(|a|,|b|,|c|)}{|a|}}\times \phi ,}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.}$

La raíz cuadrada de una función cuadrática univariante

La raíz cuadrada de una función cuadrática univariante da lugar a una de las cuatro secciones cónicas, casi siempre ya sea a una elipse o a una hipérbola .

Si entonces la ecuación describe una hipérbola, como se puede ver elevando al cuadrado ambos lados. Las direcciones de los ejes de la hipérbola están determinadas por la ordenada del punto mínimo de la parábola correspondiente. Si la ordenada es negativa, entonces el eje mayor de la hipérbola (que pasa por sus vértices) es horizontal, mientras que si la ordenada es positiva entonces el eje mayor de la hipérbola El eje es vertical. ${\displaystyle a>0,}$ ${\displaystyle y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}$ ${\displaystyle y_{p}=ax^{2}+bx+c.}$

Si entonces la ecuación describe un círculo u otra elipse o nada en absoluto. Si la ordenada del punto máximo de la parábola correspondiente es positiva, entonces su raíz cuadrada describe una elipse, pero si la ordenada es negativa entonces describe un lugar geométrico vacío de puntos. ${\displaystyle a<0,}$ ${\displaystyle y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}$ ${\displaystyle y_{p}=ax^{2}+bx+c}$

Iteración

Para iterar una función , se aplica la función repetidamente, utilizando la salida de una iteración como entrada para la siguiente. ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$

No siempre se puede deducir la forma analítica de , lo que significa la enésima ^iteración de . (El superíndice se puede extender a números negativos, refiriéndose a la iteración del inverso de si el inverso existe). Pero hay algunos casos analíticamente manejables . ${\displaystyle f^{(n)}(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$

Por ejemplo, para la ecuación iterativa

${\displaystyle f(x)=a(x-c)^{2}+c}$

uno tiene

${\displaystyle f(x)=a(x-c)^{2}+c=h^{(-1)}(g(h(x))),}$

dónde

${\displaystyle g(x)=ax^{2}}$y ${\displaystyle h(x)=x-c.}$

Entonces por inducción,

${\displaystyle f^{(n)}(x)=h^{(-1)}(g^{(n)}(h(x)))}$

se puede obtener, donde se puede calcular fácilmente como ${\displaystyle g^{(n)}(x)}$

${\displaystyle g^{(n)}(x)=a^{2^{n}-1}x^{2^{n}}.}$

Finalmente, tenemos

${\displaystyle f^{(n)}(x)=a^{2^{n}-1}(x-c)^{2^{n}}+c}$

como la solución.

Consulte Conjugación topológica para obtener más detalles sobre la relación entre f y g . Y consulte Polinomio cuadrático complejo para conocer el comportamiento caótico en la iteración general.

El mapa logístico

${\displaystyle x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n}),\quad 0\leq x_{0}<1}$

con parámetro 2< r <4 se puede resolver en ciertos casos, uno de los cuales es caótico y el otro no. En el caso caótico r =4 la solución es

${\displaystyle x_{n}=\sin ^{2}(2^{n}\theta \pi )}$

donde el parámetro de condición inicial está dado por . Para racional , después de un número finito de iteraciones, se asigna a una secuencia periódica. Pero casi todos son irracionales y, en el caso de irracional , nunca se repite: no es periódico y muestra una dependencia sensible de las condiciones iniciales , por lo que se dice que es caótico. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta ={\tfrac {1}{\pi }}\sin ^{-1}(x_{0}^{1/2})}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle x_{n}}$

La solución del mapa logístico cuando r =2 es

${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}(1-2x_{0})^{2^{n}}}$

para . Dado que para cualquier valor distinto del punto fijo inestable 0, el término va a 0 cuando n va al infinito, por lo que va al punto fijo estable ${\displaystyle x_{0}\in [0,1)}$ ${\displaystyle (1-2x_{0})\in (-1,1)}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle (1-2x_{0})^{2^{n}}}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}.}$

Función cuadrática bivariada (dos variables)

Una función cuadrática bivariada es un polinomio de segundo grado de la forma

${\displaystyle f(x,y)=Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+Exy+F,}$

donde A, B, C, D y E son coeficientes fijos y F es el término constante. Tal función describe una superficie cuadrática . Igualar a cero describe la intersección de la superficie con el plano que es un lugar geométrico de puntos equivalente a una sección cónica . ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle z=0,}$

Mínimo máximo

Si la función no tiene máximo ni mínimo; su gráfica forma un paraboloide hiperbólico . ${\displaystyle 4AB-E^{2}<0,}$

Si la función tiene un mínimo si A > 0 y B > 0 , y un máximo si A < 0 y B < 0 ; su gráfica forma un paraboloide elíptico. En este caso el mínimo o máximo ocurre en donde: ${\displaystyle 4AB-E^{2}>0,}$ ${\displaystyle (x_{m},y_{m}),}$

${\displaystyle x_{m}=-{\frac {2BC-DE}{4AB-E^{2}}},}$

${\displaystyle y_{m}=-{\frac {2AD-CE}{4AB-E^{2}}}.}$

Si y la función no tiene máximo ni mínimo; su gráfica forma un cilindro parabólico . ${\displaystyle 4AB-E^{2}=0}$ ${\displaystyle DE-2CB=2AD-CE\neq 0,}$

Si y la función alcanza el máximo/mínimo en una línea: un mínimo si A >0 y un máximo si A <0; su gráfica forma un cilindro parabólico. ${\displaystyle 4AB-E^{2}=0}$ ${\displaystyle DE-2CB=2AD-CE=0,}$

Ver también

• Forma cuadrática
• Ecuación cuadrática
• Representación matricial de secciones cónicas.
• cuadrico
• Puntos periódicos de mapeos cuadráticos complejos.
• Lista de funciones matemáticas

Referencias

1. "Ecuación cuadrática de Wolfram MathWorld" . Consultado el 6 de enero de 2013 .
2. Hughes-Hallett, Deborah ; Connalmente, Eric; McCallum, William G. (2007), Álgebra universitaria , John Wiley & Sons Inc., p. 205, ISBN 9780471271758
3. "Raíces complejas hechas visibles: datos curiosos sobre matemáticas" . Consultado el 1 de octubre de 2016 .
4. Lord, Nick, "Límites dorados para las raíces de ecuaciones cuadráticas", Mathematical Gazette 91, noviembre de 2007, 549.

• Álgebra 1, Glencoe, ISBN 0-07-825083-8 
• Álgebra 2, sajona, ISBN 0-939798-62-X 

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Cuadrático". MundoMatemático .