Coeficiente

Factor multiplicativo en una expresión matemática.

En matemáticas , un coeficiente es un factor multiplicativo involucrado en algún término de un polinomio , una serie o una expresión . Puede ser un número ( adimensional ), en cuyo caso se le conoce como factor numérico . ^[1] También puede ser una constante con unidades de medida , en las que se le conoce como constante multiplicadora . ^[1] En general, los coeficientes pueden ser cualquier expresión (incluidas variables como a , b y c ). ^{[2] [1]} Cuando la combinación de variables y constantes no está necesariamente involucrada en un producto , se le puede llamar parámetro . ^[1]

Por ejemplo, el polinomio tiene coeficientes 2, −1 y 3, y las potencias de la variable en el polinomio tienen parámetros de coeficiente , y . ${\displaystyle 2x^{2}-x+3}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

ElCoeficiente constante , también conocido comotérmino constanteo simplementeconstante,es la cantidad que no está adjunta a las variables en una expresión. Por ejemplo, los coeficientes constantes de las expresiones anteriores son el número 3 y el parámetroc, respectivamente. El coeficiente adjunto al grado más alto de la variable en un polinomio se conoce comocoeficiente principal. Por ejemplo, en las expresiones anteriores, los coeficientes principales son 2 ya, respectivamente.

En el contexto de las ecuaciones diferenciales , una ecuación a menudo se puede escribir igualando a cero un polinomio en las funciones desconocidas y sus derivadas. En este caso, los coeficientes de la ecuación diferencial son los coeficientes de este polinomio y generalmente son funciones no constantes. Un coeficiente es un coeficiente constante cuando es una función constante . Para evitar confusiones, el coeficiente que no está asociado a funciones desconocidas y su derivada generalmente se denomina término constante en lugar de coeficiente constante. En particular, en una ecuación diferencial lineal con coeficiente constante , generalmente no se supone que el término constante sea una función constante.

Terminología y definición

En matemáticas, un coeficiente es un factor multiplicativo en algún término de un polinomio , una serie o cualquier expresión . Por ejemplo, en el polinomio

$${\displaystyle 7x^{2}-3xy+1.5+y,}$$

${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

En muchos escenarios, los coeficientes son números (como es el caso de cada término del ejemplo anterior), aunque podrían ser parámetros del problema, o cualquier expresión de estos parámetros. En tal caso, se debe distinguir claramente entre símbolos que representan variables y símbolos que representan parámetros. Siguiendo a René Descartes , las variables suelen denotarse por x , y ,..., y los parámetros por a , b , c ,..., pero no siempre es así. Por ejemplo, si y se considera un parámetro en la expresión anterior, entonces el coeficiente de x sería −3 y y el coeficiente constante (con respecto a x ) sería 1,5 + y .

cuando uno escribe

$${\displaystyle ax^{2}+bx+c,}$$

xabycparámetrosc

Cualquier polinomio en una sola variable x se puede escribir como

$${\displaystyle a_{k}x^{k}+\dotsb +a_{1}x^{1}+a_{0}}$$

número entero no negativocoeficiente principal ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle a_{k},\dotsc ,a_{1},a_{0}}$ ${\displaystyle x^{3}-2x+1}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle 0x^{2}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle a_{i}\neq 0}$ ${\displaystyle a_{i}}$

$${\displaystyle 4x^{5}+x^{3}+2x^{2}}$$

orden monomioBase de Gröbner § Término principal, coeficiente y monomio

Álgebra lineal

En álgebra lineal , un sistema de ecuaciones lineales frecuentemente se representa mediante su matriz de coeficientes . Por ejemplo, el sistema de ecuaciones

$${\displaystyle {\begin{cases}2x+3y=0\\5x-4y=0\end{cases}},}$$

la eliminación gaussianala regla de Cramer ${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&3\\5&-4\end{pmatrix}}.}$

La entrada principal (a veces el coeficiente principal ^{[ cita necesaria ]} ) de una fila en una matriz es la primera entrada distinta de cero en esa fila. Así, por ejemplo, en la matriz

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&0&6\\0&2&9&4\\0&0&0&4\\0&0&0&0\end{pmatrix}},}$$

Aunque los coeficientes se consideran frecuentemente constantes en álgebra elemental, también pueden considerarse variables a medida que se amplía el contexto. Por ejemplo, las coordenadas de un vector en un espacio vectorial con base son los coeficientes de los vectores de base en la expresión ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \lbrace e_{1},e_{2},\dotsc ,e_{n}\rbrace }$

$${\displaystyle v=x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+\dotsb +x_{n}e_{n}.}$$

Ver también

• Coeficiente de correlación
• Grado de un polinomio
• Polinomio mónico
• Coeficiente binomial

Referencias

1. "ISO 80000-1: 2009". Organización Internacional de Normalización . Consultado el 15 de septiembre de 2019 .
2. Weisstein, Eric W. "Coeficiente". mathworld.wolfram.com . Consultado el 15 de agosto de 2020 .

Otras lecturas

• Sabah Al-hadad y CH Scott (1979) Álgebra universitaria con aplicaciones , página 42, Winthrop Publishers, Cambridge Massachusetts ISBN 0-87626-140-3 . 
• Gordon Fuller, Walter L Wilson, Henry C Miller, (1982) College Algebra , quinta edición, página 24, Brooks/Cole Publishing, Monterey California ISBN 0-534-01138-1 .