Matriz de coeficientes

Matriz cuyas entradas son los coeficientes de una ecuación lineal

En álgebra lineal , una matriz de coeficientes es una matriz que consta de los coeficientes de las variables de un conjunto de ecuaciones lineales . La matriz se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones lineales .

Matriz de coeficientes

En general, un sistema con m ecuaciones lineales y n incógnitas se puede escribir como

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=b_{2}\\&\;\;\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=b_{m}\end{aligned}}}$

donde son las incógnitas y los números son los coeficientes del sistema. La matriz de coeficientes es la matriz m × n con el coeficiente a _ij como la entrada ( i, j ) ésima: ^[1] ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle a_{11},a_{12},\ldots ,a_{mn}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}}$

Entonces el conjunto de ecuaciones anterior se puede expresar de manera más sucinta como

${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$

donde A es la matriz de coeficientes y b es el vector columna de términos constantes.

Relación de sus propiedades con las propiedades del sistema de ecuaciones

Por el teorema de Rouché-Capelli , el sistema de ecuaciones es inconsistente , es decir, no tiene soluciones, si el rango de la matriz aumentada (la matriz de coeficientes aumentada con una columna adicional que consiste en el vector b ) es mayor que el rango de la matriz de coeficientes. Si, por otro lado, los rangos de estas dos matrices son iguales, el sistema debe tener al menos una solución. La solución es única si y solo si el rango r es igual al número n de variables. De lo contrario, la solución general tiene n – r parámetros libres; por lo tanto, en tal caso hay una infinidad de soluciones, que se pueden encontrar imponiendo valores arbitrarios en n – r de las variables y resolviendo el sistema resultante para su solución única; diferentes elecciones de qué variables fijar, y diferentes valores fijos de ellas, dan diferentes soluciones del sistema.

Ecuaciones dinámicas

Una ecuación diferencial matricial de primer orden con término constante se puede escribir como

${\displaystyle \mathbf {y} _{t+1}=A\mathbf {y} _{t}+\mathbf {c} ,}$

donde A es n × n e y y c son n × 1. Este sistema converge a su nivel de estado estable de y si y solo si los valores absolutos de todos los n valores propios de A son menores que 1.

Una ecuación diferencial matricial de primer orden con término constante se puede escribir como

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {y} }{dt}}=A\mathbf {y} (t)+\mathbf {c} .}$

Este sistema es estable si y sólo si todos los n valores propios de A tienen partes reales negativas .

Referencias

1. Liebler, Robert A. (diciembre de 2002). Álgebra matricial básica con algoritmos y aplicaciones. CRC Press . pp. 7–8. ISBN 9781584883333. Recuperado el 13 de mayo de 2016 .