Ecuación diferencial matricial

Tipo de ecuación matemática

Una ecuación diferencial es una ecuación matemática para una función desconocida de una o varias variables que relaciona los valores de la función misma y sus derivadas de varios órdenes. Una ecuación diferencial matricial contiene más de una función apilada en forma vectorial con una matriz que relaciona las funciones con sus derivadas.

Por ejemplo, una ecuación diferencial ordinaria matricial de primer orden es

${\displaystyle \mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {x} (t)}$

donde es un vector de funciones de una variable subyacente , es el vector de las primeras derivadas de estas funciones y es una matriz de coeficientes. ${\displaystyle \mathbf {x} (t)}$ ${\displaystyle n\times 1}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbf {\dot {x}} (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {A} (t)}$ ${\displaystyle n\times n}$

En el caso donde es constante y tiene n vectores propios linealmente independientes , esta ecuación diferencial tiene la siguiente solución general, ${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=c_{1}e^{\lambda _{1}t}\mathbf {u} _{1}+c_{2}e^{\lambda _{2}t}\mathbf {u} _{2}+\cdots +c_{n}e^{\lambda _{n}t}\mathbf {u} _{n}~,}$

donde λ ₁ , λ ₂ , …, λ _n son los valores propios de A ; u ₁ , u ₂ , …, u _n son los respectivos vectores propios de A ; y c ₁ , c ₂ , …, c _n son constantes.

De manera más general, si conmuta con su integral , entonces la expansión de Magnus se reduce al orden principal y la solución general de la ecuación diferencial es ${\displaystyle \mathbf {A} (t)}$ ${\displaystyle \int _{a}^{t}\mathbf {A} (s)ds}$

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=e^{\int _{a}^{t}\mathbf {A} (s)ds}\mathbf {c} ~,}$

donde es un vector constante. ${\displaystyle \mathbf {c} }$ ${\displaystyle n\times 1}$

Mediante el uso del teorema de Cayley-Hamilton y matrices de tipo Vandermonde , esta solución exponencial matricial formal se puede reducir a una forma simple. ^[1] A continuación, esta solución se muestra en términos del algoritmo de Putzer. ^[2]

Estabilidad y estado estacionario del sistema matricial

La ecuación matricial

${\displaystyle \mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {Ax} (t)+\mathbf {b} }$

con parámetro n × 1, el vector constante b es estable si y sólo si todos los valores propios de la matriz constante A tienen una parte real negativa.

El estado estacionario x* al que converge si es estable se encuentra estableciendo

${\displaystyle \mathbf {\dot {x}} ^{*}(t)=\mathbf {0} ~,}$

dando así como resultado

${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}=-\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {b} ~,}$

suponiendo que A es invertible.

Por tanto, la ecuación original puede escribirse en forma homogénea en términos de desviaciones del estado estacionario,

${\displaystyle \mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {A} [\mathbf {x} (t)-\mathbf {x} ^{*}]~.}$

Una forma equivalente de expresar esto es que x* es una solución particular de la ecuación no homogénea, mientras que todas las soluciones están en la forma

${\displaystyle \mathbf {x} _{h}+\mathbf {x} ^{*}~,}$

con una solución a la ecuación homogénea ( b = 0 ). ${\displaystyle \mathbf {x} _{h}}$

Estabilidad del caso de dos variables de estado

En el caso n = 2 (con dos variables de estado), las condiciones de estabilidad de que los dos valores propios de la matriz de transición A tengan cada uno una parte real negativa son equivalentes a las condiciones de que la traza de A sea negativa y su determinante sea positivo.

Solución en forma matricial

La solución formal de tiene la forma matricial exponencial ${\displaystyle \mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {A} [\mathbf {x} (t)-\mathbf {x} ^{*}]}$

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {x} ^{*}+e^{\mathbf {A} t}[\mathbf {x} (0)-\mathbf {x} ^{*}]~,}$

evaluado utilizando cualquiera de una multitud de técnicas.

Algoritmo Putzer para computacióncomer​​

Dada una matriz A con valores propios , ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n}}$

${\displaystyle e^{\mathbf {A} t}=\sum _{j=0}^{n-1}r_{j+1}{\left(t\right)}\mathbf {P} _{j}}$

dónde

${\displaystyle \mathbf {P} _{0}=\mathbf {I} }$

${\displaystyle \mathbf {P} _{j}=\prod _{k=1}^{j}\left(\mathbf {A} -\lambda _{k}\mathbf {I} \right)=\mathbf {P} _{j-1}\left(\mathbf {A} -\lambda _{j}\mathbf {I} \right),\qquad j=1,2,\dots ,n-1}$

${\displaystyle {\dot {r}}_{1}=\lambda _{1}r_{1}}$

${\displaystyle r_{1}{\left(0\right)}=1}$

${\displaystyle {\dot {r}}_{j}=\lambda _{j}r_{j}+r_{j-1},\qquad j=2,3,\dots ,n}$

${\displaystyle r_{j}{\left(0\right)}=0,\qquad j=2,3,\dots ,n}$

Las ecuaciones para son EDO simples no homogéneas de primer orden. ${\displaystyle r_{i}(t)}$

Tenga en cuenta que el algoritmo no requiere que la matriz A sea diagonalizable y evita las complejidades de las formas canónicas de Jordan normalmente utilizadas.

Ejemplo deconstruido de una ecuación diferencial ordinaria matricial

Una ecuación diferencial ordinaria matricial homogénea de primer orden en dos funciones x ( t ) e y ( t ), cuando se saca de la forma matricial, tiene la siguiente forma:

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=a_{1}x+b_{1}y,\quad {\frac {dy}{dt}}=a_{2}x+b_{2}y}$

donde , , , y pueden ser cualquier escalar arbitrario. ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{2}}$ ${\displaystyle b_{1}}$ ${\displaystyle b_{2}}$

Las EDO matriciales de orden superior pueden tener una forma mucho más complicada.

Solución de ecuaciones diferenciales ordinarias matriciales deconstruidas

El proceso de resolución de las ecuaciones anteriores y de búsqueda de las funciones requeridas de este orden y forma particular consta de tres pasos principales. A continuación se enumeran breves descripciones de cada uno de estos pasos:

• Encontrar los valores propios
• Encontrar los vectores propios
• Encontrar las funciones necesarias

El tercer paso final para resolver este tipo de ecuaciones diferenciales ordinarias se realiza generalmente introduciendo los valores calculados en los dos pasos anteriores en una ecuación de forma general especializada, que se menciona más adelante en este artículo.

Ejemplo resuelto de una EDO matricial

Para resolver una EDO matricial de acuerdo con los tres pasos detallados anteriormente, utilizando matrices simples en el proceso, encontremos, digamos, una función x y una función y, ambas en términos de la única variable independiente t , en la siguiente ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden,

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=3x-4y,\quad {\frac {dy}{dt}}=4x-7y~.}$

Para resolver este sistema particular de ecuaciones diferenciales ordinarias , en algún punto del proceso de solución, necesitaremos un conjunto de dos valores iniciales (que corresponden a las dos variables de estado en el punto de partida). En este caso, elijamos x (0) = y (0) = 1 .

Primer paso

El primer paso, ya mencionado anteriormente, es encontrar los valores propios de A en

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&-4\\4&-7\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}~.}$

La notación derivada x ′ etc. vista en uno de los vectores anteriores se conoce como notación de Lagrange (introducida por primera vez por Joseph Louis Lagrange . Es equivalente a la notación derivada dx/dt utilizada en la ecuación anterior, conocida como notación de Leibniz , en honor al nombre de Gottfried Leibniz ).

Una vez que los coeficientes de las dos variables se han escrito en la forma matricial A mostrada arriba, se pueden evaluar los valores propios . Para ello, se encuentra el determinante de la matriz que se forma cuando una matriz identidad , , multiplicada por alguna constante λ , se resta de la matriz de coeficientes anterior para obtener el polinomio característico de la misma, ${\displaystyle I_{n}}$

${\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}3&-4\\4&-7\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\right)~,}$

y resuelve sus ceros.

Aplicando una mayor simplificación y las reglas básicas de la suma de matrices se obtiene

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}3-\lambda &-4\\4&-7-\lambda \end{bmatrix}}~.}$

Aplicando las reglas para hallar el determinante de una única matriz 2×2, se obtiene la siguiente ecuación cuadrática elemental ,

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}3-\lambda &-4\\4&-7-\lambda \end{bmatrix}}=0}$

${\displaystyle -21-3\lambda +7\lambda +\lambda ^{2}+16=0\,\!}$

que puede reducirse aún más para obtener una versión más simple de lo anterior,

${\displaystyle \lambda ^{2}+4\lambda -5=0~.}$

Ahora, al encontrar las dos raíces y de la ecuación cuadrática dada aplicando el método de factorización, se obtiene ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$

${\displaystyle \lambda ^{2}+5\lambda -\lambda -5=0}$

${\displaystyle \lambda (\lambda +5)-1(\lambda +5)=0}$

${\displaystyle (\lambda -1)(\lambda +5)=0}$

${\displaystyle \lambda =1,-5~.}$

Los valores y , calculados anteriormente, son los valores propios requeridos de A . En algunos casos, por ejemplo, en otras EDO matriciales, los valores propios pueden ser complejos , en cuyo caso el siguiente paso del proceso de resolución, así como la forma final y la solución, pueden cambiar drásticamente. ${\displaystyle \lambda _{1}=1}$ ${\displaystyle \lambda _{2}=-5}$

Segundo paso

Como se mencionó anteriormente, este paso implica encontrar los vectores propios de A a partir de la información proporcionada originalmente.

Para cada uno de los valores propios calculados, tenemos un vector propio individual . Para el primer valor propio , que es , tenemos ${\displaystyle \lambda _{1}=1}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&-4\\4&-7\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\alpha \\\beta \end{bmatrix}}=1{\begin{bmatrix}\alpha \\\beta \end{bmatrix}}.}$

Simplificando la expresión anterior mediante la aplicación de reglas básicas de multiplicación de matrices se obtiene

${\displaystyle 3\alpha -4\beta =\alpha }$

${\displaystyle \alpha =2\beta ~.}$

Todos estos cálculos se han realizado únicamente para obtener la última expresión, que en nuestro caso es α = 2 β . Ahora, tomando un valor arbitrario, presumiblemente un valor pequeño e insignificante, con el que es mucho más fácil trabajar, tanto para α como para β (en la mayoría de los casos, en realidad no importa), lo sustituimos en α = 2 β . Al hacerlo, se obtiene un vector simple, que es el vector propio requerido para este valor propio en particular. En nuestro caso, elegimos α = 2 , que, a su vez, determina que β = 1 y, utilizando la notación vectorial estándar , nuestro vector se ve como

${\displaystyle \mathbf {\hat {v}} _{1}={\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}}.}$

Realizando la misma operación con el segundo valor propio que calculamos, que es , obtenemos nuestro segundo vector propio. No se muestra el proceso de cálculo de este vector , pero el resultado final es ${\displaystyle \lambda =-5}$

${\displaystyle \mathbf {\hat {v}} _{2}={\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}.}$

Tercer paso

Este último paso busca las funciones requeridas que están "ocultas" detrás de las derivadas que nos dieron originalmente. Hay dos funciones, porque nuestras ecuaciones diferenciales tratan con dos variables.

La ecuación que involucra toda la información que hemos encontrado previamente, tiene la siguiente forma:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=Ae^{\lambda _{1}t}\mathbf {\hat {v}} _{1}+Be^{\lambda _{2}t}\mathbf {\hat {v}} _{2}.}$

Sustituyendo los valores de los valores propios y los vectores propios se obtiene

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=Ae^{t}{\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}}+Be^{-5t}{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}.}$

Aplicando una mayor simplificación,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}Ae^{t}\\Be^{-5t}\end{bmatrix}}.}$

Simplificando aún más y escribiendo las ecuaciones para las funciones x e y por separado,

${\displaystyle x=2Ae^{t}+Be^{-5t}}$

${\displaystyle y=Ae^{t}+2Be^{-5t}.}$

Las ecuaciones anteriores son, de hecho, las funciones generales buscadas, pero están en su forma general (con valores no especificados de A y B ), mientras que lo que queremos es encontrar sus formas y soluciones exactas. Así que ahora consideramos las condiciones iniciales dadas del problema (el problema que incluye las condiciones iniciales dadas es el llamado problema de valor inicial ). Supongamos que se nos da , que desempeña el papel de punto de partida para nuestra ecuación diferencial ordinaria; la aplicación de estas condiciones especifica las constantes, A y B . Como vemos a partir de las condiciones, cuando t = 0 , los lados izquierdos de las ecuaciones anteriores son iguales a 1. Por lo tanto, podemos construir el siguiente sistema de ecuaciones lineales , ${\displaystyle x(0)=y(0)=1}$ ${\displaystyle x(0)=y(0)=1}$

${\displaystyle 1=2A+B}$

${\displaystyle 1=A+2B~.}$

Resolviendo estas ecuaciones, encontramos que ambas constantes A y B son iguales a 1/3. Por lo tanto, al sustituir estos valores en la forma general de estas dos funciones, se especifican sus formas exactas, las dos funciones buscadas. $${\displaystyle x={\tfrac {2}{3}}e^{t}+{\tfrac {1}{3}}e^{-5t}}$$ $${\displaystyle y={\tfrac {1}{3}}e^{t}+{\tfrac {2}{3}}e^{-5t}~,}$$

Usando exponenciación matricial

El problema anterior se podría haber solucionado con una aplicación directa de la matriz exponencial . Es decir, podemos decir que

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x(t)\\y(t)\end{bmatrix}}=\exp \left({\begin{bmatrix}3&-4\\4&-7\end{bmatrix}}t\right){\begin{bmatrix}x_{0}(t)\\y_{0}(t)\end{bmatrix}}}$

Dado que (lo cual se puede calcular utilizando cualquier herramienta adecuada, como la herramienta de MATLABexpm , o realizando una diagonalización matricial y aprovechando la propiedad de que la exponenciación matricial de una matriz diagonal es la misma que la exponenciación elemento por elemento de sus elementos)

${\displaystyle \exp \left({\begin{bmatrix}3&-4\\4&-7\end{bmatrix}}t\right)={\begin{bmatrix}4e^{t}/3-e^{-5t}/3&2e^{-5t}/3-2e^{t}/3\\2e^{t}/3-2e^{-5t}/3&4e^{-5t}/3-e^{t}/3\end{bmatrix}}}$

El resultado final es

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x(t)\\y(t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4e^{t}/3-e^{-5t}/3&2e^{-5t}/3-2e^{t}/3\\2e^{t}/3-2e^{-5t}/3&4e^{-5t}/3-e^{t}/3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x(t)\\y(t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}e^{-5t}/3+2e^{t}/3\\e^{t}/3+2e^{-5t}/3\end{bmatrix}}}$

Esto es lo mismo que el enfoque del vector propio mostrado anteriormente.

Véase también

• Ecuaciones no homogéneas
• Ecuación diferencial de matrices
• Ley de enfriamiento de Newton
• Secuencia de Fibonacci
• Ecuación diferencial
• Ecuación de onda
• Sistema autónomo (matemáticas)

Referencias

1. Moya-Cessa, H.; Soto-Eguibar, F. (2011). Ecuaciones diferenciales: un enfoque operativo . Nueva Jersey: Rinton Press. ISBN 978-1-58949-060-4.
2. Putzer, EJ (1966). "Cómo evitar la forma canónica de Jordan en la discusión de sistemas lineales con coeficientes constantes". The American Mathematical Monthly . 73 (1): 2–7. doi :10.1080/00029890.1966.11970714. JSTOR  2313914.