Producto (matemáticas)

Mathematical form

En matemáticas , un producto es el resultado de una multiplicación , o una expresión que identifica objetos (números o variables ) a multiplicar, llamados factores . Por ejemplo, 21 es el producto de 3 y 7 (el resultado de la multiplicación), y es el producto de y (lo que indica que los dos factores deben multiplicarse entre sí). Cuando un factor es un número entero , el producto se llama múltiplo . ${\displaystyle x\cdot (2+x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (2+x)}$

El orden en que se multiplican los números reales o complejos no influye en el producto; esto se conoce como ley conmutativa de la multiplicación. Cuando se multiplican matrices o miembros de otras álgebras asociativas , el producto suele depender del orden de los factores. La multiplicación de matrices , por ejemplo, no es conmutativa, al igual que la multiplicación en otras álgebras en general.

Hay muchos tipos diferentes de productos en matemáticas: además de poder multiplicar solo números, polinomios o matrices, también se pueden definir productos en muchas estructuras algebraicas diferentes .

Producto de dos números

El producto de dos números o la multiplicación entre dos números se puede definir para casos especiales comunes: números naturales, enteros, números racionales, números reales, números complejos y cuaterniones.

Producto de una secuencia

El operador de producto para el producto de una secuencia se denota con la letra griega mayúscula pi Π (en analogía con el uso de la sigma Σ mayúscula como símbolo de suma ). ^[1] Por ejemplo, la expresión es otra forma de escribir . ^[2] ${\displaystyle \textstyle \prod _{i=1}^{6}i^{2}}$ ${\displaystyle 1\cdot 4\cdot 9\cdot 16\cdot 25\cdot 36}$

El producto de una secuencia que consta de un solo número es ese número en sí; el producto de ningún factor se conoce como producto vacío y es igual a 1.

Anillos conmutativos

Los anillos conmutativos tienen una operación de producto.

Clases de residuos de números enteros.

Se pueden agregar clases de residuos en los anillos : ${\displaystyle \mathbb {Z} /N\mathbb {Z} }$

${\displaystyle (a+N\mathbb {Z} )+(b+N\mathbb {Z} )=a+b+N\mathbb {Z} }$

y multiplicado:

${\displaystyle (a+N\mathbb {Z} )\cdot (b+N\mathbb {Z} )=a\cdot b+N\mathbb {Z} }$

Circunvolución

La convolución de la onda cuadrada consigo misma da la función triangular.

Dos funciones desde los reales hasta sí misma se pueden multiplicar de otra forma, llamada convolución .

Si

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }|f(t)|\,\mathrm {d} t<\infty \qquad {\mbox{and}}\qquad \int \limits _{-\infty }^{\infty }|g(t)|\,\mathrm {d} t<\infty ,}$

entonces la integral

${\displaystyle (f*g)(t)\;:=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\cdot g(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau }$

está bien definida y se llama convolución.

Bajo la transformada de Fourier , la convolución se convierte en una multiplicación de funciones puntuales.

Anillos polinomiales

El producto de dos polinomios viene dado por lo siguiente:

${\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\right)\cdot \left(\sum _{j=0}^{m}b_{j}X^{j}\right)=\sum _{k=0}^{n+m}c_{k}X^{k}}$

con

${\displaystyle c_{k}=\sum _{i+j=k}a_{i}\cdot b_{j}}$

Productos en álgebra lineal

Hay muchos tipos diferentes de productos en álgebra lineal. Algunos de ellos tienen nombres confusamente similares ( producto exterior , producto exterior ) con significados muy diferentes, mientras que otros tienen nombres muy diferentes (producto exterior, producto tensorial, producto de Kronecker) y, sin embargo, transmiten esencialmente la misma idea. En las siguientes secciones se ofrece una breve descripción de estos.

Multiplicación escalar

Por la propia definición de espacio vectorial, se puede formar el producto de cualquier escalar con cualquier vector, dando un mapa . ${\displaystyle \mathbb {R} \times V\rightarrow V}$

Producto escalar

Un producto escalar es un mapa bilineal:

${\displaystyle \cdot :V\times V\rightarrow \mathbb {R} }$

con las siguientes condiciones, eso para todos . ${\displaystyle v\cdot v>0}$ ${\displaystyle 0\not =v\in V}$

A partir del producto escalar, se puede definir una norma dejando . ${\displaystyle \|v\|:={\sqrt {v\cdot v}}}$

El producto escalar también permite definir un ángulo entre dos vectores:

${\displaystyle \cos \angle (v,w)={\frac {v\cdot w}{\|v\|\cdot \|w\|}}}$

En el espacio euclidiano de dimensiones, el producto escalar estándar (llamado producto escalar ) viene dado por: ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}e_{i}\right)\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}e_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\,\beta _{i}}$

Producto cruzado en un espacio tridimensional

El producto cruzado de dos vectores en 3 dimensiones es un vector perpendicular a los dos factores, con una longitud igual al área del paralelogramo abarcada por los dos factores.

El producto cruzado también se puede expresar como el determinante formal ^[a] :

${\displaystyle \mathbf {u\times v} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\u_{1}&u_{2}&u_{3}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\\\end{vmatrix}}}$

Composición de mapeos lineales.

Un mapeo lineal se puede definir como una función f entre dos espacios vectoriales V y W con un campo subyacente F , que satisface ^[3]

${\displaystyle f(t_{1}x_{1}+t_{2}x_{2})=t_{1}f(x_{1})+t_{2}f(x_{2}),\forall x_{1},x_{2}\in V,\forall t_{1},t_{2}\in \mathbb {F} .}$

Si solo se consideran espacios vectoriales de dimensiones finitas, entonces

${\displaystyle f(\mathbf {v} )=f\left(v_{i}\mathbf {b_{V}} ^{i}\right)=v_{i}f\left(\mathbf {b_{V}} ^{i}\right)={f^{i}}_{j}v_{i}\mathbf {b_{W}} ^{j},}$

en el que b _V y b _W denotan las bases de V y W , y _vi denota el componente de v en b _Vi , y se aplica la convención de suma de Einstein ^.

Ahora consideramos la composición de dos aplicaciones lineales entre espacios vectoriales de dimensión finita. Deje que el mapeo lineal f mapee V a W , y deje que el mapeo lineal g mapee W a U. Entonces uno puede conseguir

${\displaystyle g\circ f(\mathbf {v} )=g\left({f^{i}}_{j}v_{i}\mathbf {b_{W}} ^{j}\right)={g^{j}}_{k}{f^{i}}_{j}v_{i}\mathbf {b_{U}} ^{k}.}$

O en forma matricial:

${\displaystyle g\circ f(\mathbf {v} )=\mathbf {G} \mathbf {F} \mathbf {v} ,}$

en el que el elemento de fila i , columna j de F , denotado por Fi _j , es f ^j _i , y G _ij = g ^j _i .

La composición de más de dos asignaciones lineales se puede representar de manera similar mediante una cadena de multiplicación de matrices.

Producto de dos matrices

Dadas dos matrices

${\displaystyle A=(a_{i,j})_{i=1\ldots s;j=1\ldots r}\in \mathbb {R} ^{s\times r}}$y ${\displaystyle B=(b_{j,k})_{j=1\ldots r;k=1\ldots t}\in \mathbb {R} ^{r\times t}}$

su producto está dado por

${\displaystyle B\cdot A=\left(\sum _{j=1}^{r}a_{i,j}\cdot b_{j,k}\right)_{i=1\ldots s;k=1\ldots t}\;\in \mathbb {R} ^{s\times t}}$

Composición de funciones lineales como producto matricial.

Existe una relación entre la composición de funciones lineales y el producto de dos matrices. Para ver esto, sean r = dim(U), s = dim(V) y t = dim(W) las dimensiones (finitas) de los espacios vectoriales U, V y W. Sea una base de U, sea una base de V y ser una base de W. En términos de esta base, sea la matriz que representa f : U → V y sea la matriz que representa g : V → W. Entonces ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{u_{1},\ldots ,u_{r}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}=\{v_{1},\ldots ,v_{s}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}=\{w_{1},\ldots ,w_{t}\}}$ ${\displaystyle A=M_{\mathcal {V}}^{\mathcal {U}}(f)\in \mathbb {R} ^{s\times r}}$ ${\displaystyle B=M_{\mathcal {W}}^{\mathcal {V}}(g)\in \mathbb {R} ^{r\times t}}$

${\displaystyle B\cdot A=M_{\mathcal {W}}^{\mathcal {U}}(g\circ f)\in \mathbb {R} ^{s\times t}}$

es la matriz que representa . ${\displaystyle g\circ f:U\rightarrow W}$

En otras palabras: el producto matricial es la descripción en coordenadas de la composición de funciones lineales.

Producto tensorial de espacios vectoriales

Dados dos espacios vectoriales de dimensión finita V y W , el producto tensorial de ellos se puede definir como un tensor (2,0) que satisface:

${\displaystyle V\otimes W(v,m)=V(v)W(w),\forall v\in V^{*},\forall w\in W^{*},}$

donde V ^* y W ^* denotan los espacios duales de V y W. ^[4]

Para espacios vectoriales de dimensión infinita, también se tiene:

• Producto tensorial de espacios de Hilbert
• Producto tensor topológico .

El producto tensorial, el producto exterior y el producto de Kronecker transmiten la misma idea general. Las diferencias entre estos son que el producto de Kronecker es solo un producto tensorial de matrices, con respecto a una base previamente fijada, mientras que el producto tensorial generalmente se da en su definición intrínseca . El producto exterior es simplemente el producto de Kronecker, limitado a vectores (en lugar de matrices).

La clase de todos los objetos con un producto tensorial.

En general, siempre que uno tenga dos objetos matemáticos que se puedan combinar de una manera que se comporte como un producto tensorial de álgebra lineal, esto puede entenderse generalmente como el producto interno de una categoría monoidal . Es decir, la categoría monoidal capta precisamente el significado de un producto tensorial; capta exactamente la noción de por qué los productos tensoriales se comportan como lo hacen. Más precisamente, una categoría monoidal es la clase de todas las cosas (de un tipo determinado ) que tienen un producto tensorial.

Otros productos en álgebra lineal

Otros tipos de productos en álgebra lineal incluyen:

• Producto Hadamard
• Producto Kronecker
• El producto de tensores :
  • Producto de cuña o producto exterior.
  • Producto interior
  • Producto exterior
  • Producto tensorial

producto cartesiano

En teoría de conjuntos , un producto cartesiano es una operación matemática que devuelve un conjunto (o conjunto de productos ) a partir de múltiples conjuntos. Es decir, para los conjuntos A y B , el producto cartesiano A × B es el conjunto de todos los pares ordenados (a, b) , donde a ∈ A y b ∈ B. ^[5]

La clase de todas las cosas (de un tipo determinado ) que tienen productos cartesianos se llama categoría cartesiana . Muchas de ellas son categorías cerradas cartesianas . Los conjuntos son un ejemplo de tales objetos.

Producto vacío

El producto vacío en números y la mayoría de las estructuras algebraicas tiene el valor de 1 (el elemento identidad de la multiplicación), al igual que la suma vacía tiene el valor de 0 (el elemento identidad de la suma). Sin embargo, el concepto de producto vacío es más general y requiere un tratamiento especial en lógica , teoría de conjuntos , programación informática y teoría de categorías .

Productos sobre otras estructuras algebraicas

Los productos sobre otros tipos de estructuras algebraicas incluyen:

• el producto cartesiano de conjuntos
• el producto directo de grupos , así como el producto semidirecto , el producto de punto y el producto de corona
• el producto gratuito de grupos
• el producto de los anillos
• el producto de ideales
• el producto de espacios topológicos ^[1]
• el producto Wick de variables aleatorias
• el producto cap , cup , Massey y sesgado en topología algebraica
• el producto aplastante y la suma de cuña (a veces llamado producto de cuña) en homotopía

Algunos de los productos anteriores son ejemplos de la noción general de producto interno en una categoría monoidal ; el resto se puede describir mediante la noción general de producto en la teoría de categorías .

Productos en teoría de categorías

Todos los ejemplos anteriores son casos especiales o ejemplos de la noción general de producto. Para conocer el tratamiento general del concepto de producto, consulte producto (teoría de categorías) , que describe cómo combinar dos objetos de algún tipo para crear un objeto, posiblemente de un tipo diferente. Pero también, en la teoría de categorías, se tiene:

• el producto de fibra o el retroceso,
• la categoría de producto , una categoría que es el producto de categorías.
• el ultraproducto , en teoría de modelos .
• el producto interno de una categoría monoidal , que captura la esencia de un producto tensorial.

Otros productos

• Integral de producto de una función (como equivalente continuo al producto de una secuencia o como versión multiplicativa de la integral normal/estándar/aditiva. La integral de producto también se conoce como "producto continuo" o "multiplicada".
• Multiplicación compleja , una teoría de curvas elípticas.

Ver también

• Producto tensor de Deligne de categorías abelianas  - matemático belgaPages displaying short descriptions of redirect targets
• producto indefinido
• producto infinito
• Operación binaria iterada  : aplicación repetida de una operación a una secuencia
• Multiplicación  – Operación aritmética

Notas

1. Aquí, "formal" significa que esta notación tiene la forma de un determinante, pero no se adhiere estrictamente a la definición; es un mnemónico utilizado para recordar la expansión del producto cruzado.

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Producto". mathworld.wolfram.com . Consultado el 16 de agosto de 2020 .
2. "Suma y notación de producto". math.illinoisstate.edu . Consultado el 16 de agosto de 2020 .
3. Clarke, Francisco (2013). Análisis funcional, cálculo de variaciones y control óptimo . Dordrecht: Springer. págs. 9-10. ISBN 978-1447148203.
4. Boothby, William M. (1986). Una introducción a las variedades diferenciables y la geometría de Riemann (2ª ed.). Orlando: Prensa académica. pag. 200.ISBN _ 0080874398.
5. Moschovakis, Yiannis (2006). Notas sobre teoría de conjuntos (2ª ed.). Nueva York: Springer. pag. 13.ISBN _ 0387316094.

Bibliografía

• Jarchow, Hans (1981). Espacios localmente convexos . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342.