Puntos periódicos de aplicaciones cuadráticas complejas

Este artículo describe los puntos periódicos de algunas aplicaciones cuadráticas complejas . Una aplicación es una fórmula para calcular el valor de una variable en función de su valor o valores anteriores; una aplicación cuadrática es aquella que implica el valor anterior elevado a las potencias uno y dos; y una aplicación compleja es aquella en la que la variable y los parámetros son números complejos . Un punto periódico de una aplicación es un valor de la variable que aparece repetidamente después de intervalos de una longitud fija.

Estos puntos periódicos juegan un papel en las teorías de los conjuntos de Fatou y Julia .

Definiciones

Dejar

${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c\,}$

sea ​​la aplicación cuadrática compleja , donde y son números complejos . ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle c}$

Notacionalmente, es la composición de pliegues de consigo misma (que no debe confundirse con la derivada ésima de ), es decir, el valor después de la iteración k - ésima de la función . ${\displaystyle f_{c}^{(k)}(z)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f_{c}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f_{c}}$ ${\displaystyle f_{c}.}$

${\displaystyle f_{c}^{(k)}(z)=f_{c}(f_{c}^{(k-1)}(z)).}$

Los puntos periódicos de una aplicación cuadrática compleja de período son puntos del plano dinámico tales que ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle f_{c}^{(p)}(z)=z,}$

donde es el entero positivo más pequeño para el cual la ecuación es válida en ese z . ${\displaystyle p}$

Podemos introducir una nueva función:

${\displaystyle F_{p}(z,f)=f_{c}^{(p)}(z)-z,}$

Por lo tanto, los puntos periódicos son ceros de la función : puntos z que satisfacen ${\displaystyle F_{p}(z,f)}$

${\displaystyle F_{p}(z,f)=0,}$

que es un polinomio de grado ${\displaystyle 2^{p}.}$

Número de puntos periódicos

El grado del polinomio que describe puntos periódicos es tal que tiene raíces exactamente complejas (= puntos periódicos), contadas con multiplicidad . ${\displaystyle F_{p}(z,f)}$ ${\displaystyle d=2^{p}}$ ${\displaystyle d=2^{p}}$

Estabilidad de puntos periódicos (órbita) - multiplicador

Índice de estabilidad de puntos periódicos a lo largo del eje horizontal

Límites de regiones del plano de parámetros con órbita de atracción de períodos 1-6

Órbita crítica de un sistema dinámico discreto basado en un polinomio cuadrático complejo . Tiende a atraer débilmente un punto fijo con abs(multiplicador) = 0,99993612384259

El multiplicador (o valor propio, derivado) de un mapa racional iterado veces en un punto cíclico se define como: ${\displaystyle m(f^{p},z_{0})=\lambda }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle z_{0}}$

${\displaystyle m(f^{p},z_{0})=\lambda ={\begin{cases}f^{p\prime }(z_{0}),&{\mbox{if }}z_{0}\neq \infty \\{\frac {1}{f^{p\prime }(z_{0})}},&{\mbox{if }}z_{0}=\infty \end{cases}}}$

donde es la primera derivada de con respecto a en . ${\displaystyle f^{p\prime }(z_{0})}$ ${\displaystyle f^{p}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z_{0}}$

Debido a que el multiplicador es el mismo en todos los puntos periódicos de una órbita dada, se denomina multiplicador de la órbita periódica .

El multiplicador es:

• un número complejo;
• invariante bajo la conjugación de cualquier mapa racional en su punto fijo; ^[1]
• Se utiliza para comprobar la estabilidad de puntos periódicos (también fijos) con índice de estabilidad. ${\displaystyle abs(\lambda ).\,}$

Un punto periódico es ^[2]

• atrayendo cuando ${\displaystyle abs(\lambda )<1;}$
  • Súper atractivo cuando ${\displaystyle abs(\lambda )=0;}$
  • atractivo pero no súper atractivo cuando ${\displaystyle 0<abs(\lambda )<1;}$
• indiferente cuando ${\displaystyle abs(\lambda )=1;}$
  • racionalmente indiferente o parabólico si es raíz de unidad ; ${\displaystyle \lambda }$
  • irracionalmente indiferente si el multiplicador no es raíz de la unidad; ${\displaystyle abs(\lambda )=1}$
• repeler cuando ${\displaystyle abs(\lambda )>1.}$

Puntos periódicos

• que son atractivos están siempre en el conjunto Fatou ;
• que se repelen están en el conjunto de Julia;
• que son puntos fijos indiferentes pueden estar en uno o en otro. ^[3] Un punto periódico parabólico está en el conjunto de Julia.

Puntos del periodo 1 (puntos fijos)

Puntos fijos finitos

Comencemos por encontrar todos los puntos finitos que no cambian con una aplicación de . Estos son los puntos que satisfacen . Es decir, deseamos resolver ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{c}(z)=z}$

${\displaystyle z^{2}+c=z,\,}$

que puede reescribirse como

${\displaystyle \ z^{2}-z+c=0.}$

Como se trata de una ecuación cuadrática ordinaria con una incógnita, podemos aplicar la fórmula de solución cuadrática estándar :

${\displaystyle \alpha _{1}={\frac {1-{\sqrt {1-4c}}}{2}}}$y ${\displaystyle \alpha _{2}={\frac {1+{\sqrt {1-4c}}}{2}}.}$

Así que tenemos dos puntos fijos finitos y . ${\displaystyle c\in \mathbb {C} \setminus \{1/4\}}$ ${\displaystyle \alpha _{1}}$ ${\displaystyle \alpha _{2}}$

Desde

${\displaystyle \alpha _{1}={\frac {1}{2}}-m}$Y donde ${\displaystyle \alpha _{2}={\frac {1}{2}}+m}$ ${\displaystyle m={\frac {\sqrt {1-4c}}{2}},}$

tenemos . ${\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}=1}$

Por lo tanto, los puntos fijos son simétricos respecto a . ${\displaystyle z=1/2}$

Esta imagen muestra puntos fijos (ambos se repelen)

Dinámica compleja

Puntos fijos para c a lo largo del eje horizontal

Conjunto de Fatou para F( z ) = z * z con punto fijo marcado

Aquí se suele utilizar una notación diferente: ^[4]

${\displaystyle \alpha _{c}={\frac {1-{\sqrt {1-4c}}}{2}}}$con multiplicador ${\displaystyle \lambda _{\alpha _{c}}=1-{\sqrt {1-4c}}}$

y

${\displaystyle \beta _{c}={\frac {1+{\sqrt {1-4c}}}{2}}}$con multiplicador ${\displaystyle \lambda _{\beta _{c}}=1+{\sqrt {1-4c}}.}$

De nuevo tenemos

${\displaystyle \alpha _{c}+\beta _{c}=1.}$

Dado que la derivada con respecto a z es

${\displaystyle P_{c}'(z)={\frac {d}{dz}}P_{c}(z)=2z,}$

tenemos

${\displaystyle P_{c}'(\alpha _{c})+P_{c}'(\beta _{c})=2\alpha _{c}+2\beta _{c}=2(\alpha _{c}+\beta _{c})=2.}$

Esto implica que puede tener como máximo un punto fijo atractivo. ${\displaystyle P_{c}}$

Estos puntos se distinguen por los hechos que:

• ${\displaystyle \beta _{c}}$es:
  • el punto de aterrizaje del rayo externo para un ángulo = 0 para ${\displaystyle c\in M\setminus \left\{1/4\right\}}$
  • El punto fijo más repulsivo del conjunto de Julia.
  • el de la derecha (siempre que los puntos fijos no sean simétricos alrededor del eje real ), es el punto extremo derecho para los conjuntos de Julia conexos (excepto la coliflor). ^[5]
• ${\displaystyle \alpha _{c}}$es:
  • El punto de aterrizaje de varios rayos.
  • atrayendo cuando está en el cardioide principal del conjunto de Mandelbrot, en cuyo caso está en el interior de un conjunto de Julia lleno, y por lo tanto pertenece al conjunto de Fatou (estrictamente a la cuenca de atracción del punto fijo finito) ${\displaystyle c}$
  • parabólica en el punto raíz de la rama del conjunto de Mandelbrot
  • repelente para otros valores de ${\displaystyle c}$

Casos especiales

Un caso importante de la aplicación cuadrática es . En este caso, obtenemos y . En este caso, 0 es un punto fijo superatractivo y 1 pertenece al conjunto de Julia . ${\displaystyle c=0}$ ${\displaystyle \alpha _{1}=0}$ ${\displaystyle \alpha _{2}=1}$

Sólo un punto fijo

Tenemos exactamente cuando Esta ecuación tiene una solución, en cuyo caso . De hecho, es el valor positivo más grande, puramente real , para el que existe un atractor finito. ${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{2}}$ ${\displaystyle 1-4c=0.}$ ${\displaystyle c=1/4,}$ ${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{2}=1/2}$ ${\displaystyle c=1/4}$

Punto fijo infinito

Podemos extender el plano complejo a la esfera de Riemann (plano complejo extendido) añadiendo infinito : ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {\hat {C}} }$

${\displaystyle \mathbb {\hat {C}} =\mathbb {C} \cup \{\infty \}}$

y extenderse de tal manera que ${\displaystyle f_{c}}$ ${\displaystyle f_{c}(\infty )=\infty .}$

Entonces el infinito es:

• superatractivo
• un punto fijo de : ^[6] ${\displaystyle f_{c}}$ $${\displaystyle f_{c}(\infty )=\infty =f_{c}^{-1}(\infty ).}$$

Periodo-2 ciclos

Bifurcación del periodo 1 al 2 para una función cuadrática compleja

Bifurcación de puntos periódicos del periodo 1 al 2 para fc(z)=z*z +c

Los ciclos del período 2 son dos puntos distintos y tales que y , y por lo tanto ${\displaystyle \beta _{1}}$ ${\displaystyle \beta _{2}}$ ${\displaystyle f_{c}(\beta _{1})=\beta _{2}}$ ${\displaystyle f_{c}(\beta _{2})=\beta _{1}}$

${\displaystyle f_{c}(f_{c}(\beta _{n}))=\beta _{n}}$

para : ${\displaystyle n\in \{1,2\}}$

${\displaystyle f_{c}(f_{c}(z))=(z^{2}+c)^{2}+c=z^{4}+2cz^{2}+c^{2}+c.}$

Igualando esto a z , obtenemos

${\displaystyle z^{4}+2cz^{2}-z+c^{2}+c=0.}$

Esta ecuación es un polinomio de grado 4, por lo que tiene cuatro soluciones (posiblemente no distintas). Sin embargo, ya conocemos dos de las soluciones. Son y , calculadas anteriormente, ya que si estos puntos no cambian con una aplicación de , entonces claramente no cambiarán con más de una aplicación de . ${\displaystyle \alpha _{1}}$ ${\displaystyle \alpha _{2}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Por lo tanto, nuestro polinomio de cuarto orden se puede factorizar de dos maneras:

Primer método de factorización

${\displaystyle (z-\alpha _{1})(z-\alpha _{2})(z-\beta _{1})(z-\beta _{2})=0.\,}$

Esto se expande directamente como (nótese los signos alternados), donde ${\displaystyle x^{4}-Ax^{3}+Bx^{2}-Cx+D=0}$

${\displaystyle D=\alpha _{1}\alpha _{2}\beta _{1}\beta _{2},\,}$

${\displaystyle C=\alpha _{1}\alpha _{2}\beta _{1}+\alpha _{1}\alpha _{2}\beta _{2}+\alpha _{1}\beta _{1}\beta _{2}+\alpha _{2}\beta _{1}\beta _{2},\,}$

${\displaystyle B=\alpha _{1}\alpha _{2}+\alpha _{1}\beta _{1}+\alpha _{1}\beta _{2}+\alpha _{2}\beta _{1}+\alpha _{2}\beta _{2}+\beta _{1}\beta _{2},\,}$

${\displaystyle A=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\beta _{1}+\beta _{2}.\,}$

Ya tenemos dos soluciones y sólo necesitamos las otras dos. Por lo tanto, el problema es equivalente a resolver un polinomio cuadrático. En particular, observe que

${\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}={\frac {1-{\sqrt {1-4c}}}{2}}+{\frac {1+{\sqrt {1-4c}}}{2}}={\frac {1+1}{2}}=1}$

y

${\displaystyle \alpha _{1}\alpha _{2}={\frac {(1-{\sqrt {1-4c}})(1+{\sqrt {1-4c}})}{4}}={\frac {1^{2}-({\sqrt {1-4c}})^{2}}{4}}={\frac {1-1+4c}{4}}={\frac {4c}{4}}=c.}$

Sumando estos a los anteriores, obtenemos y . Comparando estos con los coeficientes de la expansión de , obtenemos ${\displaystyle D=c\beta _{1}\beta _{2}}$ ${\displaystyle A=1+\beta _{1}+\beta _{2}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle D=c\beta _{1}\beta _{2}=c^{2}+c}$y ${\displaystyle A=1+\beta _{1}+\beta _{2}=0.}$

De esto, obtenemos fácilmente

${\displaystyle \beta _{1}\beta _{2}=c+1}$y . ${\displaystyle \beta _{1}+\beta _{2}=-1}$

A partir de aquí, construimos una ecuación cuadrática con y aplicamos la fórmula de solución estándar para obtener ${\displaystyle A'=1,B=1,C=c+1}$

${\displaystyle \beta _{1}={\frac {-1-{\sqrt {-3-4c}}}{2}}}$y ${\displaystyle \beta _{2}={\frac {-1+{\sqrt {-3-4c}}}{2}}.}$

Un examen más detallado muestra que:

${\displaystyle f_{c}(\beta _{1})=\beta _{2}}$y ${\displaystyle f_{c}(\beta _{2})=\beta _{1},}$

lo que significa que estos dos puntos son los dos puntos de un solo ciclo de período 2.

Segundo método de factorización

Podemos factorizar el cuártico usando la división larga de polinomios para dividir los factores y que representan los dos puntos fijos y (cuyos valores se dieron anteriormente y que aún permanecen en el punto fijo después de dos iteraciones): ${\displaystyle (z-\alpha _{1})}$ ${\displaystyle (z-\alpha _{2}),}$ ${\displaystyle \alpha _{1}}$ ${\displaystyle \alpha _{2}}$

${\displaystyle (z^{2}+c)^{2}+c-z=(z^{2}+c-z)(z^{2}+z+c+1).\,}$

Las raíces del primer factor son los dos puntos fijos. Se repelen fuera del cardioide principal.

El segundo factor tiene las dos raíces

${\displaystyle {\frac {-1\pm {\sqrt {-3-4c}}}{2}}.\,}$

Estas dos raíces, que son las mismas que las encontradas por el primer método, forman la órbita de período 2. ^[7]

Casos especiales

De nuevo, veamos . Entonces ${\displaystyle c=0}$

${\displaystyle \beta _{1}={\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}}$y ${\displaystyle \beta _{2}={\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}},}$

Ambos son números complejos. Tenemos . Por lo tanto, ambos puntos están "escondidos" en el conjunto de Julia. Otro caso especial es , que da y . Esto da el conocido ciclo superatractivo que se encuentra en el lóbulo de período 2 más grande del conjunto cuadrático de Mandelbrot. ${\displaystyle |\beta _{1}|=|\beta _{2}|=1}$ ${\displaystyle c=-1}$ ${\displaystyle \beta _{1}=0}$ ${\displaystyle \beta _{2}=-1}$

Ciclos de periodo mayor a 2

Puntos periódicos de f ( z ) = z * z −0,75 para período = 6 como intersecciones de 2 curvas implícitas

El grado de la ecuación es 2 ⁿ ; por lo tanto, por ejemplo, para encontrar los puntos de un ciclo 3 necesitaríamos resolver una ecuación de grado 8. Después de factorizar los factores que dan los dos puntos fijos, tendríamos una ecuación de sexto grado. ${\displaystyle f^{(n)}(z)=z}$

No existe una solución general en radicales para ecuaciones polinómicas de grado cinco o superior, por lo que los puntos de un ciclo de período mayor que 2 deben calcularse en general mediante métodos numéricos . Sin embargo, en el caso específico de período 4, los puntos cíclicos tienen largas expresiones en radicales. ^[8]

En el caso c = –2, existen soluciones trigonométricas para los puntos periódicos de todos los períodos. El caso es equivalente al caso de la función logística r = 4: Aquí la equivalencia está dada por Uno de los k -ciclos de la variable logística x (todos los cuales son ciclos repulsivos) es ${\displaystyle z_{n+1}=z_{n}^{2}-2}$ ${\displaystyle x_{n+1}=4x_{n}(1-x_{n}).}$ ${\displaystyle z=2-4x.}$

${\displaystyle \sin ^{2}\left({\frac {2\pi }{2^{k}-1}}\right),\,\sin ^{2}\left(2\cdot {\frac {2\pi }{2^{k}-1}}\right),\,\sin ^{2}\left(2^{2}\cdot {\frac {2\pi }{2^{k}-1}}\right),\,\sin ^{2}\left(2^{3}\cdot {\frac {2\pi }{2^{k}-1}}\right),\dots ,\sin ^{2}\left(2^{k-1}{\frac {2\pi }{2^{k}-1}}\right).}$

Referencias

1. Alan F. Beardon, Iteración de funciones racionales, Springer 1991, ISBN  0-387-95151-2 , pág. 41
2. Alan F. Beardon, Iteración de funciones racionales , Springer 1991, ISBN 0-387-95151-2 , página 99 
3. Algunos sets de Julia de Michael Becker
4. Sobre el espacio regular de las hojas de la coliflor por Tomoki Kawahira Fuente: Kodai Math. J. Volumen 26, Número 2 (2003), 167-178. Archivado el 17 de julio de 2011 en Wayback Machine.
5. Atractor periódico de Evgeny Demidov Archivado el 11 de mayo de 2008 en Wayback Machine.
6. RL Devaney , L Keen (Editor): Caos y fractales: las matemáticas detrás de los gráficos de computadora. Editorial: Amer Mathematical Society, julio de 1989, ISBN 0-8218-0137-6 , ISBN 978-0-8218-0137-6  
7. Órbita del período 2 por Evgeny Demidov Archivado el 11 de mayo de 2008 en Wayback Machine.
8. Gvozden Rukavina: Ecuaciones de recurrencia cuadrática: solución explícita exacta de funciones de puntos fijos de período cuatro en diagrama de bifurcación

Lectura adicional

• Propiedades geométricas de las raíces polinómicas
• Alan F. Beardon, Iteración de funciones racionales, Springer 1991, ISBN 0-387-95151-2 
• Michael F. Barnsley (autor), Stephen G. Demko (editor), Dinámica caótica y fractales (notas e informes en la serie Matemáticas en la ciencia y la ingeniería) Academic Pr (abril de 1986), ISBN 0-12-079060-2 
• Wolf Jung: Homeomorfismos en las aristas del conjunto de Mandelbrot. Tesis doctoral de 2002
• Las permutaciones de puntos periódicos en polinomios cuadráticos por J Leahy

Enlaces externos

• Solución algebraica de los límites de los orbitales de Mandelbrot por Donald D. Cross
• El método Brown de Robert P. Munafo
• arXiv:hep-th/0501235v2 V.Dolotin, A.Morozov: Geometría algebraica de dinámica discreta . El caso de una variable.