Polinomio cuadrático complejo

Un polinomio cuadrático complejo es un polinomio cuadrático cuyos coeficientes y variable son números complejos .

Propiedades

Los polinomios cuadráticos tienen las siguientes propiedades, independientemente de la forma:

• Es un polinomio unícritico, es decir, tiene un punto crítico finito en el plano complejo. El plano dinámico consta de un máximo de 2 cuencas: cuenca del infinito y cuenca del punto crítico finito (si el punto crítico finito no escapa).
• Puede ser postcríticamente finito , es decir, la órbita del punto crítico puede ser finita, porque el punto crítico es periódico o preperiódico. ^[1]
• Es una función unimodal ,
• Es una función racional ,
• Es una función completa .

Formularios

Cuando el polinomio cuadrático tiene una sola variable ( univariado ), se pueden distinguir sus cuatro formas principales:

• La forma general: donde ${\displaystyle f(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}$ ${\displaystyle a_{2}\neq 0}$
• La forma factorizada utilizada para el mapa logístico : ${\displaystyle f_{r}(x)=rx(1-x)}$
• ${\displaystyle f_{\theta }(x)=x^{2}+\lambda x}$que tiene un punto fijo indiferente con multiplicador en el origen ^[2] ${\displaystyle \lambda =e^{2\pi \theta i}}$
• La forma monótona y centrada, ${\displaystyle f_{c}(x)=x^{2}+c}$

La forma mónica y centrada ha sido ampliamente estudiada y tiene las siguientes propiedades:

• Es la forma más simple de una función no lineal con un coeficiente ( parámetro ),
• Es un polinomio centrado (la suma de sus puntos críticos es cero). ^[3]
• es un binomio

La forma lambda es: ${\displaystyle f_{\lambda }(z)=z^{2}+\lambda z}$

• La perturbación no trivial más simple de un sistema no perturbado. ${\displaystyle z\mapsto \lambda z}$
• "la primera familia de sistemas dinámicos en la que se conocen condiciones explícitas necesarias y suficientes para cuando un problema de divisor pequeño es estable" ^[4]

Conjugación

Entre formas

Dado que es conjugado afín de la forma general del polinomio cuadrático, a menudo se utiliza para estudiar dinámicas complejas y crear imágenes de los conjuntos de Mandelbrot , Julia y Fatou . ${\displaystyle f_{c}(x)}$

Cuando uno quiere cambiar de a : ^[2] ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle c=c(\theta )={\frac {e^{2\pi \theta i}}{2}}\left(1-{\frac {e^{2\pi \theta i}}{2}}\right).}$

Cuando se desea cambiar de a , la transformación de parámetros es ^[5] ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle c=c(r)={\frac {1-(r-1)^{2}}{4}}=-{\frac {r}{2}}\left({\frac {r-2}{2}}\right)}$

y la transformación entre las variables en y es ${\displaystyle z_{t+1}=z_{t}^{2}+c}$ ${\displaystyle x_{t+1}=rx_{t}(1-x_{t})}$

${\displaystyle z=r\left({\frac {1}{2}}-x\right).}$

Con mapa duplicado

Existe una semiconjugación entre la transformación diádica (el mapa de duplicación) y el caso polinomial cuadrático de c = –2.

Notación

Iteración

Aquí se denota la n - ésima iteración de la función : ${\displaystyle f^{n}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f_{c}^{n}(z)=f_{c}^{1}(f_{c}^{n-1}(z))}$

entonces

${\displaystyle z_{n}=f_{c}^{n}(z_{0}).}$

Debido a la posible confusión con la exponenciación, algunos autores escriben para el n -ésimo iterado de . ${\displaystyle f^{\circ n}}$ ${\displaystyle f}$

Parámetro

La forma mónica y centrada se puede marcar mediante: ${\displaystyle f_{c}(x)=x^{2}+c}$

• El parámetro ${\displaystyle c}$
• el ángulo externo del rayo que incide: ${\displaystyle \theta }$
  • en c en el conjunto de Mandelbrot en el plano de parámetros
  • sobre el valor crítico: z = c en el conjunto de Julia en el plano dinámico

entonces :

${\displaystyle f_{c}=f_{\theta }}$

${\displaystyle c=c({\theta })}$

Ejemplos:

• c es el punto de aterrizaje del rayo externo 1/6 del conjunto de Mandelbrot , y es (donde i^2=-1) ${\displaystyle z\to z^{2}+i}$
• c es el punto de aterrizaje del rayo externo 5/14 y está con ${\displaystyle z\to z^{2}+c}$ ${\displaystyle c=-1.23922555538957+0.412602181602004*i}$

• 
  1/4
• 
  1/6
• 
  9/56
• 
  129/16256

Mapa

La forma mónica y centrada, a veces llamada familia Douady-Hubbard de polinomios cuadráticos , ^[6] se utiliza normalmente con variable y parámetro : ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c.}$

Cuando se utiliza como función de evolución del sistema dinámico no lineal discreto

${\displaystyle z_{n+1}=f_{c}(z_{n})}$

Se llama mapa cuadrático : ^[7]

${\displaystyle f_{c}:z\to z^{2}+c.}$

El conjunto de Mandelbrot es el conjunto de valores del parámetro c para los cuales la condición inicial z ₀ = 0 no hace que las iteraciones diverjan hasta el infinito.

Elementos críticos

Puntos críticos

plano complejo

Un punto crítico de es un punto en el plano dinámico tal que la derivada se desvanece: ${\displaystyle f_{c}}$ ${\displaystyle z_{cr}}$

${\displaystyle f_{c}'(z_{cr})=0.}$

Desde

${\displaystyle f_{c}'(z)={\frac {d}{dz}}f_{c}(z)=2z}$

implica

${\displaystyle z_{cr}=0,}$

vemos que el único punto crítico (finito) de es el punto . ${\displaystyle f_{c}}$ ${\displaystyle z_{cr}=0}$

${\displaystyle z_{0}}$es un punto inicial para la iteración del conjunto de Mandelbrot . ^[8]

Para la familia cuadrática el punto crítico z = 0 es el centro de simetría del conjunto de Julia Jc, por lo que es una combinación convexa de dos puntos en Jc. ^[9] ${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c}$

plano complejo extendido

En la esfera de Riemann, el polinomio tiene 2d-2 puntos críticos. Aquí, cero e infinito son puntos críticos.

Valor crítico

Un valor crítico de es la imagen de un punto crítico: ${\displaystyle z_{cv}}$ ${\displaystyle f_{c}}$

${\displaystyle z_{cv}=f_{c}(z_{cr})}$

Desde

${\displaystyle z_{cr}=0}$

tenemos

${\displaystyle z_{cv}=c}$

Entonces el parámetro es el valor crítico de . ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f_{c}(z)}$

Curvas de nivel crítico

Una curva de nivel crítica es la curva de nivel que contiene el punto crítico. Actúa como una especie de esqueleto ^[10] del plano dinámico .

Ejemplo: las curvas de nivel se cruzan en el punto de silla , que es un tipo especial de punto crítico.

• 
  Atrayendo
• 
  Atrayendo
• 
  Atrayendo
• 
  parabólico
• Vídeo para c a lo largo del rayo interno 0

Límite crítico establecido

El conjunto límite crítico es el conjunto de órbitas hacia adelante de todos los puntos críticos.

Órbita crítica

Plano dinámico con órbita crítica que cae en un ciclo de 3 periodos

Plano dinámico con conjunto de Julia y órbita crítica.

Plano dinámico: cambios de la órbita crítica a lo largo del rayo interno del cardioide principal para el ángulo 1/6

Órbita crítica que tiende a atraer débilmente un punto fijo con abs(multiplicador) = 0,99993612384259

La órbita hacia delante de un punto crítico se denomina órbita crítica . Las órbitas críticas son muy importantes porque cada órbita periódica de atracción atrae un punto crítico, por lo que estudiar las órbitas críticas nos ayuda a comprender la dinámica en el conjunto de Fatou . ^{[11] [12] [13]}

${\displaystyle z_{0}=z_{cr}=0}$

${\displaystyle z_{1}=f_{c}(z_{0})=c}$

${\displaystyle z_{2}=f_{c}(z_{1})=c^{2}+c}$

${\displaystyle z_{3}=f_{c}(z_{2})=(c^{2}+c)^{2}+c}$

${\displaystyle \ \vdots }$

Esta órbita cae en un ciclo periódico de atracción, si existe alguno.

Sector crítico

El sector crítico es un sector del plano dinámico que contiene el punto crítico.

Conjunto crítico

El conjunto crítico es un conjunto de puntos críticos.

Polinomio crítico

${\displaystyle P_{n}(c)=f_{c}^{n}(z_{cr})=f_{c}^{n}(0)}$

entonces

${\displaystyle P_{0}(c)=0}$

${\displaystyle P_{1}(c)=c}$

${\displaystyle P_{2}(c)=c^{2}+c}$

${\displaystyle P_{3}(c)=(c^{2}+c)^{2}+c}$

Estos polinomios se utilizan para:

• Encontrar los centros de estos componentes del conjunto de Mandelbrot de período n . Los centros son raíces de los n -ésimos polinomios críticos.

${\displaystyle {\text{centers}}=\{c:P_{n}(c)=0\}}$

• Encontrar raíces de los componentes del conjunto de Mandelbrot de período n ( mínimo local de ) ${\displaystyle P_{n}(c)}$
• Puntos de Misiurewicz

${\displaystyle M_{n,k}=\{c:P_{k}(c)=P_{k+n}(c)\}}$

Curvas críticas

Curvas críticas

Los diagramas de polinomios críticos se denominan curvas críticas . ^[14]

Estas curvas crean el esqueleto (las líneas oscuras) de un diagrama de bifurcación . ^{[15] [16]}

Espacios, planos

Espacio 4D

Se puede utilizar el espacio de 4 dimensiones (4D) de Julia-Mandelbrot para un análisis global de este sistema dinámico. ^[17]

plano w y plano c

En este espacio existen dos tipos básicos de planos 2D:

• el plano dinámico (dinámico), -plano o c -plano ${\displaystyle f_{c}}$
• el plano de parámetros o plano z

También existe otro plano utilizado para analizar dichos sistemas dinámicos : el plano w :

• el plano de conjugación ^[18]
• avión modelo ^[19]

Plano de parámetros 2D

• Tipos de planos de parámetros
• 
  plano de parámetros r (mapa logístico)
• 
  plano de parámetros c

El espacio de fase de una función cuadrática se denomina plano de parámetros . Aquí:

${\displaystyle z_{0}=z_{cr}}$es constante y es variable. ${\displaystyle c}$

Aquí no hay dinámica. Es solo un conjunto de valores de parámetros. No hay órbitas en el plano de parámetros.

El plano de parámetros consta de:

• El conjunto de Mandelbrot
  • El lugar de bifurcación = límite del conjunto de Mandelbrot con
    • puntos de raíz
  • Componentes hiperbólicos acotados del conjunto de Mandelbrot = interior del conjunto de Mandelbrot ^[20] con rayos internos
• Exterior del conjunto de Mandelbrot con
  • rayos externos
  • líneas equipotenciales

Existen muchos subtipos diferentes del plano de parámetros. ^{[21] [22]}

Mapa de multiplicadores

Ver también:

• Mapa de Boettcher que asigna el exterior del conjunto de Mandelbrot al exterior del disco unitario
• Mapa multiplicador que asigna el interior del componente hiperbólico del conjunto de Mandelbrot al interior del disco unitario.

Plano dinámico 2D

"El polinomio Pc asigna cada rayo dinámico a otro rayo que duplica el ángulo (que medimos en vueltas completas, es decir, 0 = 1 = 2π rad = 360°), y los rayos dinámicos de cualquier polinomio "parecen rayos rectos" cerca del infinito. Esto nos permite estudiar los conjuntos de Mandelbrot y Julia de manera combinatoria, reemplazando el plano dinámico por el círculo unitario, los rayos por los ángulos y el polinomio cuadrático por el mapa de duplicación módulo uno". Virpi Kauko ^[23]

En el plano dinámico se pueden encontrar:

• El conjunto Julia
• El conjunto Julia rellena
• El conjunto Fatou
• Órbitas

El plano dinámico consta de:

• Conjunto fatou
• Conjunto de Julia

Aquí, es una constante y es una variable. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle z}$

El plano dinámico bidimensional puede tratarse como una sección transversal de Poincaré del espacio tridimensional de un sistema dinámico continuo. ^{[24] [25]}

Los planos z dinámicos se pueden dividir en dos grupos:

• ${\displaystyle f_{0}}$plano para (ver mapa de cuadratura complejo ) ${\displaystyle c=0}$
• ${\displaystyle f_{c}}$aviones (todos los demás aviones para ) ${\displaystyle c\neq 0}$

Esfera de Riemann

El plano complejo extendido más un punto en el infinito

• La esfera de Riemann

Derivados

Primera derivada con respecto ado

En el plano de parámetros:

• ${\displaystyle c}$es una variable
• ${\displaystyle z_{0}=0}$es constante

La primera derivada de con respecto a c es ${\displaystyle f_{c}^{n}(z_{0})}$

${\displaystyle z_{n}'={\frac {d}{dc}}f_{c}^{n}(z_{0}).}$

Esta derivada se puede encontrar mediante iteración comenzando con

${\displaystyle z_{0}'={\frac {d}{dc}}f_{c}^{0}(z_{0})=1}$

y luego reemplazarlo en cada paso consecutivo

${\displaystyle z_{n+1}'={\frac {d}{dc}}f_{c}^{n+1}(z_{0})=2\cdot {}f_{c}^{n}(z)\cdot {\frac {d}{dc}}f_{c}^{n}(z_{0})+1=2\cdot z_{n}\cdot z_{n}'+1.}$

Esto se puede verificar fácilmente utilizando la regla de la cadena para la derivada.

Esta derivada se utiliza en el método de estimación de distancia para dibujar un conjunto de Mandelbrot .

Primera derivada con respecto ael

En el plano dinámico:

• ${\displaystyle z}$es una variable;
• ${\displaystyle c}$es una constante

En un punto fijo , ${\displaystyle z_{0}}$

${\displaystyle f_{c}'(z_{0})={\frac {d}{dz}}f_{c}(z_{0})=2z_{0}.}$

En un punto periódico z ₀ del periodo p la primera derivada de una función

${\displaystyle (f_{c}^{p})'(z_{0})={\frac {d}{dz}}f_{c}^{p}(z_{0})=\prod _{i=0}^{p-1}f_{c}'(z_{i})=2^{p}\prod _{i=0}^{p-1}z_{i}=\lambda }$

A menudo se representa mediante el multiplicador o número característico de Lyapunov y se lo denomina así. Su logaritmo se conoce como exponente de Lyapunov. El valor absoluto del multiplicador se utiliza para comprobar la estabilidad de puntos periódicos (también fijos) . ${\displaystyle \lambda }$

En un punto no periódico , la derivada, denotada por , se puede encontrar mediante iteración comenzando con ${\displaystyle z'_{n}}$

${\displaystyle z'_{0}=1,}$

y luego usando

${\displaystyle z'_{n}=2*z_{n-1}*z'_{n-1}.}$

Esta derivada se utiliza para calcular la distancia externa al conjunto de Julia.

Derivada de Schwarz

La derivada schwarziana (SD para abreviar) de f es: ^[26]

${\displaystyle (Sf)(z)={\frac {f'''(z)}{f'(z)}}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {f''(z)}{f'(z)}}\right)^{2}.}$

Véase también

• Punto de Misiurewicz
• Puntos periódicos de aplicaciones cuadráticas complejas
• Conjunto de Mandelbrot
• Conjunto de Julia
• Teoría del amasado de Milnor-Thurston
• Mapa de tiendas de campaña
• Mapa logístico

Referencias

1. Poirier, Alfredo (1993). "Sobre polinomios postcríticamente finitos, parte 1: Retratos críticos". arXiv : math/9305207 .
2. "Michael Yampolsky, Saeed Zakeri: Apareamiento de polinomios cuadráticos de Siegel" (PDF) .
3. Bodil Branner : Sistemas dinámicos holomorfos en el plano complejo. Mat-Report No 1996-42. Universidad Técnica de Dinamarca
4. Sistemas dinámicos y pequeños divisores, Editores: Stefano Marmi, Jean-Christophe Yoccoz, página 46
5. "Muestre que el mapa logístico familiar $x_{n+1} = sx_n(1 - x_n)$, puede recodificarse en la forma $x_{n+1} = x_n^2 + c$". Intercambio de pila de matemáticas .
6. Yunping Jing: Conectividad local del conjunto de Mandelbrot en ciertos puntos infinitamente renormalizables. Dinámica compleja y temas relacionados, Nuevos estudios en matemáticas avanzadas, 2004, The International Press, 236-264.
7. Weisstein, Eric W. "Mapa cuadrático". mathworld.wolfram.com .
8. Programa Java de Dieter Röß que muestra el resultado de cambiar el punto inicial de las iteraciones de Mandelbrot Archivado el 26 de abril de 2012 en Wayback Machine.
9. "Conjuntos de Julia convexos". MathOverflow .
10. Richards, Trevor (11 de mayo de 2015). "Equivalencia conforme de funciones analíticas en conjuntos compactos". arXiv : 1505.02671v1 [math.CV].
11. M. Romera Archivado el 22 de junio de 2008 en Wayback Machine , G. Pastor Archivado el 1 de mayo de 2008 en Wayback Machine y F. Montoya : Multifurcaciones en puntos fijos no hiperbólicos de la función de Mandelbrot. Archivado el 11 de diciembre de 2009 en Wayback Machine Fractalia Archivado el 19 de septiembre de 2008 en Wayback Machine 6, n.º 21, 10-12 (1997)
12. Burns AM: Trazando el escape: una animación de bifurcaciones parabólicas en el conjunto de Mandelbrot. Mathematics Magazine, vol. 75, n.º 2 (abril de 2002), págs. 104-116
13. "Academia Khan". Academia Khan .
14. El camino al caos está lleno de curvas polinómicas, por Richard D. Neidinger y R. John Annen III. American Mathematical Monthly, vol. 103, n.º 8, octubre de 1996, págs. 640-653
15. Hao, Bailin (1989). Dinámica simbólica elemental y caos en sistemas disipativos. World Scientific . ISBN 9971-5-0682-3Archivado desde el original el 5 de diciembre de 2009 . Consultado el 2 de diciembre de 2009 .
16. "M. Romera, G. Pastor y F. Montoya, "Puntos de Misiurewicz en mapas cuadráticos unidimensionales", Physica A, 232 (1996), 517-535. Preimpresión" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 2 de octubre de 2006.
17. "Espacio Julia-Mandelbrot, Mu-Ency en MROB". www.mrob.com .
18. Carleson, Lennart, Gamelin, Theodore W.: Serie de dinámica compleja: Universitext, Subserie: Universitext: Tracts in Mathematics, 1.ª ed., 1993. Corr., 2.ª impresión, 1996, IX, 192 pág., 28 ilustraciones, ISBN 978-0-387-97942-7 
19. Movimientos holomorfos y acertijos de P Roesch
20. Rempe, Lasse; Schleicher, Dierk (12 de mayo de 2008). "Lugares de bifurcación de aplicaciones exponenciales y polinomios cuadráticos: conectividad local, trivialidad de fibras y densidad de hiperbolicidad". arXiv : 0805.1658 [math.DS].
21. "Conjuntos de Julia y Mandelbrot, planos alternos". aleph0.clarku.edu .
22. "Mapa exponencial, Mu-Ency en MROB". mrob.com .
23. Árboles de componentes visibles en el conjunto de Mandelbrot de Virpi Kauko, FUNDAM EN TA MATHEMATICAE 164 (2000)
24. "El conjunto de Mandelbrot recibe su nombre del matemático Benoit B". www.sgtnd.narod.ru .
25. Moehlis, Kresimir Josic, Eric T. Shea-Brown (2006) Órbita periódica. Scholarpedia,
26. "Apuntes de clase | Exposición matemática | Matemáticas". MIT OpenCourseWare .

Enlaces externos

• Monica Nevins y Thomas D. Rogers, "Mapas cuadráticos como sistemas dinámicos en los números p-ádicos ^{[ enlace muerto permanente ]} "
• Wolf Jung: Homeomorfismos en las aristas del conjunto de Mandelbrot. Tesis doctoral de 2002
• Más sobre mapas cuadráticos: Mapa cuadrático