derivado de Schwarziano

Operador diferencial no lineal utilizado para estudiar mapeos conformes

En matemáticas , la derivada de Schwarz es un operador similar a la derivada que es invariante bajo transformaciones de Möbius . Así, ocurre en la teoría de la recta proyectiva compleja , y en particular, en la teoría de las formas modulares y de las funciones hipergeométricas . Desempeña un papel importante en la teoría de funciones univalentes , mapeo conforme y espacios de Teichmüller . Lleva el nombre del matemático alemán Hermann Schwarz .

Definición

La derivada de Schwarzian de una función holomorfa f de una variable compleja z está definida por

${\displaystyle (Sf)(z)=\left({\frac {f''(z)}{f'(z)}}\right)'-{\frac {1}{2}}\left({\frac {f''(z)}{f'(z)}}\right)^{2}={\frac {f'''(z)}{f'(z)}}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {f''(z)}{f'(z)}}\right)^{2}.}$

La misma fórmula también define la derivada de Schwarzian de una función C 3 de una variable real . La notación alternativa

${\displaystyle \{f,z\}=(Sf)(z)}$

se utiliza con frecuencia.

Propiedades

La derivada de Schwarzian de cualquier transformación de Möbius

${\displaystyle g(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$

es cero. Por el contrario, las transformaciones de Möbius son las únicas funciones con esta propiedad. Por tanto, la derivada de Schwarzian mide con precisión el grado en que una función no logra ser una transformación de Möbius. ^[1]

Si g es una transformación de Möbius, entonces la composición g  de  f tiene la misma derivada schwarziana que f ; y por otro lado, la derivada de Schwarzian de f  o  g viene dada por la regla de la cadena

${\displaystyle (S(f\circ g))(z)=(Sf)(g(z))\cdot g'(z)^{2}.}$

De manera más general, para cualquier función suficientemente diferenciable f y g

${\displaystyle S(f\circ g)=\left((Sf)\circ g\right)\cdot (g')^{2}+Sg.}$

Cuando f y g son funciones suaves de valores reales, esto implica que todas las iteraciones de una función con Schwarziano negativo (o positivo) seguirán siendo negativas (resp. positivas), un hecho de uso en el estudio de la dinámica unidimensional . ^[2]

Introduciendo la función de dos variables complejas ^[3]

${\displaystyle F(z,w)=\log \left({\frac {f(z)-f(w)}{z-w}}\right),}$

su segunda derivada parcial mixta está dada por

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}F(z,w)}{\partial z\,\partial w}}={f^{\prime }(z)f^{\prime }(w) \over (f(z)-f(w))^{2}}-{1 \over (z-w)^{2}},}$

y la derivada de Schwarzian viene dada por la fórmula:

${\displaystyle (Sf)(w)=\left.6\cdot {\partial ^{2}F(z,w) \over \partial z\,\partial w}\right\vert _{z=w}.}$

La derivada de Schwarz tiene una fórmula de inversión simple, intercambiando las variables dependientes e independientes. Uno tiene

${\displaystyle (Sw)(v)=-\left({\frac {dw}{dv}}\right)^{2}(Sv)(w)}$

o más explícitamente, . Esto se desprende de la regla de la cadena anterior. ${\displaystyle Sf+(f')^{2}((Sf^{-1})\circ f)=0}$

Interpretación geométrica

William Thurston interpreta la derivada de Schwarzian como una medida de cuánto se desvía un mapa conforme de una transformación de Möbius . ^[1] Sea un mapeo conforme en una vecindad de Entonces existe una transformación de Möbius única tal que tiene las mismas derivadas de orden 0, 1, 2 en ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M,f}$ ${\displaystyle z_{0}.}$

Ahora, para resolverlo explícitamente, basta con resolver el caso de Let y resolver el que hace que los primeros tres coeficientes sean iguales a. Sustituyéndolo en el cuarto coeficiente, obtenemos . ${\displaystyle (M^{-1}\circ f)(z-z_{0})=z_{0}+(z-z_{0})+{\tfrac {1}{6}}a(z-z_{0})^{3}+\cdots .}$ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle z_{0}=0.}$ ${\displaystyle M^{-1}(z)={}}$ ${\displaystyle (Az+B)/(Cz+1),}$ ${\displaystyle A,B,C}$ ${\displaystyle M^{-1}\circ f}$ ${\displaystyle 0,1,0.}$ ${\displaystyle a=(Sf)(z_{0})}$

Después de una traslación, rotación y escala del plano complejo, en una vecindad de cero. Hasta tercer orden, esta función asigna el círculo de radio a la curva paramétrica definida por donde Esta curva es, hasta cuarto orden, una elipse con semiejes y : ${\displaystyle (M^{-1}\circ f)(z)={}}$ ${\displaystyle z+z^{3}+O(z^{4})}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle (r\cos \theta +r^{3}\cos 3\theta ,r\sin \theta +r^{3}\sin 3\theta ),}$ ${\displaystyle \theta \in [0,2\pi ].}$ ${\displaystyle r+r^{3}}$ ${\displaystyle |r-r^{3}|}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {(r\cos \theta +r^{3}\cos 3\theta )^{2}}{(r+r^{3})^{2}}}+{\frac {(r\sin \theta +r^{3}\sin 3\theta )^{2}}{(r-r^{3})^{2}}}&={\frac {1+8r^{4}\sin ^{2}(2\theta )+O(r^{6})}{(1-r^{4})^{2}}}\\[5mu]&\rightarrow 1+8r^{4}\sin ^{2}(2\theta )+O(r^{6})\end{aligned}}}$$

como ${\displaystyle r\rightarrow 0.}$

Dado que las transformaciones de Möbius siempre asignan círculos a círculos o líneas, la excentricidad mide la desviación de una transformada de Möbius. ${\displaystyle f}$

Ecuación diferencial

Considere la ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden.

$${\displaystyle x''(t)+p(t)x(t)=0}$$

línea proyectiva ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {ev} _{t}:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {ev} _{t}(x)=x(t)}$ ${\displaystyle t\mapsto \operatorname {ker} (\operatorname {ev} _{t})}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 2p(t)}$

Debido a esta interpretación del Schwarziano, si dos difeomorfismos de un intervalo abierto común tienen el mismo Schwarziano, entonces están relacionados (localmente) por un elemento del grupo lineal general que actúa sobre el espacio vectorial bidimensional de soluciones del mismo ecuación diferencial, es decir, una transformación lineal fraccionaria de . ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{1}}$

Alternativamente, considere la ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden en el plano complejo ^[4]

${\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+Q(z)f(z)=0.}$

Sean y dos soluciones holomorfas linealmente independientes . Entonces la relación satisface ${\displaystyle f_{1}(z)}$ ${\displaystyle f_{2}(z)}$ ${\displaystyle g(z)=f_{1}(z)/f_{2}(z)}$

${\displaystyle (Sg)(z)=2Q(z)}$

sobre el dominio en el que y están definidos, y lo contrario también es cierto: si tal g existe y es holomorfa en un dominio simplemente conexo , entonces se pueden encontrar dos soluciones y , y además, estas son únicas hasta un dominio común factor de escala. ${\displaystyle f_{1}(z)}$ ${\displaystyle f_{2}(z)}$ ${\displaystyle f_{2}(z)\neq 0.}$ ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f_{2}}$

Cuando una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden se puede llevar a la forma anterior, la Q resultante a veces se denomina valor Q de la ecuación.

Tenga en cuenta que la ecuación diferencial hipergeométrica de Gauss se puede llevar a la forma anterior y, por lo tanto, los pares de soluciones de la ecuación hipergeométrica se relacionan de esta manera.

Condiciones para la univalencia

Si f es una función holomorfa en el disco unitario, D , entonces W. Kraus (1932) y Nehari (1949) demostraron que una condición necesaria para que f sea univalente es ^[5]

${\displaystyle |S(f)|\leq 6(1-|z|^{2})^{-2}.}$

Por el contrario, si f ( z ) es una función holomorfa en D que satisface

${\displaystyle |S(f)(z)|\leq 2(1-|z|^{2})^{-2},}$

entonces Nehari demostró que f es univalente. ^[6]

En particular, una condición suficiente para la univalencia es ^[7]

${\displaystyle |S(f)|\leq 2.}$

Mapeo conforme de polígonos de arco circular.

La derivada de Schwarz y la ecuación diferencial ordinaria de segundo orden asociada se pueden utilizar para determinar la aplicación de Riemann entre el semiplano superior o círculo unitario y cualquier polígono acotado en el plano complejo, cuyos bordes sean arcos circulares o líneas rectas. Para polígonos con bordes rectos, esto se reduce al mapeo de Schwarz-Christoffel , que se puede derivar directamente sin utilizar la derivada de Schwarz. Los parámetros accesorios que surgen como constantes de integración están relacionados con los valores propios de la ecuación diferencial de segundo orden. Ya en 1890 Felix Klein había estudiado el caso de los cuadriláteros en términos de la ecuación diferencial de Lamé . ^{[8] [9] [10]}

Sea Δ un polígono de arco circular con ángulos π α ₁ , ..., π α _n en el sentido de las agujas del reloj. Sea f  : H → Δ un mapa holomorfo que se extiende continuamente a un mapa entre los límites. Dejemos _que los vértices correspondan a los puntos a ₁ , ..., an en el eje real. Entonces p ( x ) = S ( f )( x ) tiene un valor real para x real y no para uno de los puntos. Según el principio de reflexión de Schwarz, p ( x ) se extiende a una función racional en el plano complejo con un doble polo en a _i :

${\displaystyle p(z)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {(1-\alpha _{i}^{2})}{2(z-a_{i})^{2}}}+{\frac {\beta _{i}}{z-a_{i}}}.}$

Los números reales β _i se denominan parámetros accesorios . Están sujetos a tres restricciones lineales:

${\displaystyle \sum \beta _{i}=0}$

${\displaystyle \sum 2a_{i}\beta _{i}+\left(1-\alpha _{i}^{2}\right)=0}$

${\displaystyle \sum a_{i}^{2}\beta _{i}+a_{i}\left(1-\alpha _{i}^{2}\right)=0}$

que corresponden a la desaparición de los coeficientes de y en la expansión de p ( z ) alrededor de z = ∞ . El mapeo f ( z ) puede entonces escribirse como ${\displaystyle z^{-1},z^{-2}}$ ${\displaystyle z^{-3}}$

${\displaystyle f(z)={u_{1}(z) \over u_{2}(z)},}$

donde y son soluciones holomorfas linealmente independientes de la ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden ${\displaystyle u_{1}(z)}$ ${\displaystyle u_{2}(z)}$

${\displaystyle u^{\prime \prime }(z)+{\tfrac {1}{2}}p(z)u(z)=0.}$

Hay n −3 parámetros accesorios linealmente independientes, que pueden ser difíciles de determinar en la práctica.

Para un triángulo, cuando n = 3 , no hay parámetros accesorios. La ecuación diferencial ordinaria es equivalente a la ecuación diferencial hipergeométrica y f ( z ) es la función del triángulo de Schwarz , que se puede escribir en términos de funciones hipergeométricas .

Para un cuadrilátero los parámetros accesorios dependen de una variable independiente  λ . Escribiendo U ( z ) = q ( z ) u ( z ) para una elección adecuada de q ( z ) , la ecuación diferencial ordinaria toma la forma

${\displaystyle a(z)U^{\prime \prime }(z)+b(z)U^{\prime }(z)+(c(z)+\lambda )U(z)=0.}$

Por tanto, lo son las funciones propias de una ecuación de Sturm-Liouville en el intervalo . Según el teorema de separación de Sturm , la no desaparición de las fuerzas λ es el valor propio más bajo. ${\displaystyle q(z)u_{i}(z)}$ ${\displaystyle [a_{i},a_{i+1}]}$ ${\displaystyle u_{2}(z)}$

Estructura compleja en el espacio de Teichmüller

El espacio universal de Teichmüller se define como el espacio de mapeos cuasiconformes analíticos reales del disco unitario D , o equivalentemente el semiplano superior H , sobre sí mismo, con dos mapeos considerados equivalentes si en el límite uno se obtiene del otro por Composición con una transformación de Möbius . Al identificar D con el hemisferio inferior de la esfera de Riemann , cualquier automapa cuasiconforme f del hemisferio inferior corresponde naturalmente a un mapeo conforme del hemisferio superior sobre sí mismo. De hecho se determina como la restricción al hemisferio superior de la solución de la ecuación diferencial de Beltrami ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial {\bar {z}}}}=\mu (z){\frac {\partial F}{\partial z}},}$

donde μ es la función medible acotada definida por

${\displaystyle \mu (z)={\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}{\bigg /}{\frac {\partial f}{\partial z}}}$

en el hemisferio inferior, extendido a 0 en el hemisferio superior.

Al identificar el hemisferio superior con D , Lipman Bers utilizó la derivada de Schwarzian para definir un mapeo

${\displaystyle g=S({\tilde {f}}),}$

que incorpora el espacio universal de Teichmüller en un subconjunto abierto U del espacio de funciones holomorfas acotadas g en D con la norma uniforme . Frederick Gehring demostró en 1977 que U es el interior del subconjunto cerrado de derivadas de Schwarzianas de funciones univalentes. ^{[11] [12] [13]}

Para una superficie compacta de Riemann S de género mayor que 1, su espacio de cobertura universal es el disco unitario D sobre el cual su grupo fundamental Γ actúa mediante transformaciones de Möbius. El espacio de Teichmüller de S se puede identificar con el subespacio del invariante universal del espacio de Teichmüller bajo Γ . Las funciones holomorfas g tienen la propiedad de que

${\displaystyle g(z)\,dz^{2}}$

es invariante bajo Γ , así que determine los diferenciales cuadráticos en S . De esta manera, el espacio de Teichmüller de S se realiza como un subespacio abierto del espacio vectorial complejo de dimensión finita de diferenciales cuadráticos en S.

Grupo de difeomorfismo del círculo.

Homomorfismos cruzados

La propiedad de transformación

${\displaystyle S(f\circ g)=\left(S(f)\circ g\right)\cdot (g')^{2}+S(g).}$

permite interpretar la derivada de Schwarzian como un 1-cociclo continuo o un homomorfismo cruzado del grupo de difeomorfismo del círculo con coeficientes en el módulo de densidades de grado 2 en el círculo. ^[14] Sea F _λ ( S ¹ ) el espacio de densidades tensoriales de grado λ en S ¹ . El grupo de difeomorfismos que preservan la orientación de S ¹ , Diff( S ¹ ) , actúa sobre F _λ ( S ¹ ) mediante empuje hacia adelante . Si f es un elemento de Diff( S ¹ ) , entonces considere el mapeo

${\displaystyle f\to S(f^{-1}).}$

En el lenguaje de la cohomología de grupo, la regla en forma de cadena anterior dice que este mapeo es un 1-cociclo en Diff( S ¹ ) con coeficientes en F ₂ ( S ¹ ) . De hecho

${\displaystyle H^{1}({\text{Diff}}(\mathbf {S} ^{1});F_{2}(\mathbf {S} ^{1}))=\mathbf {R} }$

y el 1-cociclo que genera la cohomología es f → S ( f ⁻¹ ) . El cálculo de la 1-cohomología es un caso particular del resultado más general

${\displaystyle H^{1}({\text{Diff}}(\mathbf {S} ^{1});F_{\lambda }(\mathbf {S} ^{1}))=\mathbf {R} \,\,\mathrm {for} \,\,\lambda =0,1,2\,\,\mathrm {and} \,\,(0)\,\,\mathrm {otherwise.} }$

Tenga en cuenta que si G es un grupo y M un módulo G , entonces la identidad que define un homomorfismo cruzado c de G en M se puede expresar en términos de homomorfismos estándar de grupos: está codificada en un homomorfismo 𝜙 de G en el producto semidirecto tal que la composición de 𝜙 con la proyección sobre G es la función identidad; la correspondencia es por el mapa C ( g ) = ( c ( g ), g ) . Los homomorfismos cruzados forman un espacio vectorial y contienen como subespacio los homomorfismos cruzados colímites b ( g ) = g ⋅ m − m para m en M . Un argumento de promedio simple muestra que, si K es un grupo compacto y V un espacio vectorial topológico sobre el cual K actúa continuamente, entonces los grupos de cohomología superiores desaparecen H ^m ( K , V ) = (0) para m > 0 . En particular para 1-cociclos χ con ${\displaystyle M\rtimes G}$ ${\displaystyle M\rtimes G}$

${\displaystyle \chi (xy)=\chi (x)+x\cdot \chi (y),}$

promediando sobre y , usando el invariante izquierdo de la medida de Haar en K da

${\displaystyle \chi (x)=m-x\cdot m,}$

con

${\displaystyle m=\int _{K}\chi (y)\,dy.}$

Por lo tanto, promediando se puede suponer que c satisface la condición de normalización c ( x ) = 0 para x en Rot( S ¹ ) . Tenga en cuenta que si algún elemento x en G satisface c ( x ) = 0, entonces C ( x ) = (0, x ) . Pero entonces, dado que C es un homomorfismo, C ( xgx ⁻¹ ) = C ( x ) C ( g ) C ( x ) ⁻¹ , de modo que c satisface la condición de equivarianza c ( xgx ⁻¹ ) =  x  ⋅  c ( g ) . Por lo tanto, se puede suponer que el cociclo satisface estas condiciones de normalización para Rot( S ¹ ) . De hecho, la derivada de Schwarzian desaparece siempre que x es una transformación de Möbius correspondiente a SU(1,1) . Los otros dos ciclos 1 que se analizan a continuación desaparecen solo en Rot( S ¹ ) ( λ  = 0, 1) .

Existe una versión infinitesimal de este resultado que da un 1-cociclo para Vect( S ¹ ) , el álgebra de Lie de campos vectoriales suaves , y por tanto para el álgebra de Witt , la subálgebra de campos vectoriales polinómicos trigonométricos. De hecho, cuando G es un grupo de Lie y la acción de G sobre M es suave, existe una versión algebraica de Lie del homomorfismo cruzado obtenida tomando los homomorfismos correspondientes de las álgebras de Lie (las derivadas de los homomorfismos en la identidad). Esto también tiene sentido para Diff( S ¹ ) y conduce al 1-cociclo

${\displaystyle s\left(f\,{d \over d\theta }\right)={d^{3}f \over d\theta ^{3}}\,(d\theta )^{2}}$

que satisface la identidad

${\displaystyle s([X,Y])=X\cdot s(Y)-Y\cdot s(X).}$

En el caso del álgebra de Lie, los mapas de colímites tienen la forma b ( X ) = X ⋅ m para m en M . En ambos casos, la cohomología 1 se define como el espacio de homomorfismos cruzados módulo colímites. La correspondencia natural entre los homomorfismos de grupo y los homomorfismos del álgebra de Lie conduce al "mapa de inclusión de van Est"

${\displaystyle H^{1}(\operatorname {Diff} (\mathbf {S} ^{1});F_{\lambda }(\mathbf {S} ^{1}))\hookrightarrow H^{1}(\operatorname {Vect} (\mathbf {S} ^{1});F_{\lambda }(\mathbf {S} ^{1})),}$

De esta forma el cálculo se puede reducir al de la cohomología del álgebra de Lie . Por continuidad, esto se reduce al cálculo de homomorfismos cruzados 𝜙 del álgebra de Witt en F _λ ( S ¹ ) . Las condiciones de normalización del homomorfismo cruzado de grupo implican las siguientes condiciones adicionales para 𝜙:

${\displaystyle \varphi (\operatorname {Ad} (x)X)=x\cdot \varphi (X),\,\,\varphi (d/d\theta )=0}$

para x en Rot( S ¹ ) .

Siguiendo las convenciones de Kac y Raina (1987), una base del álgebra de Witt viene dada por

${\displaystyle d_{n}=ie^{in\theta }\,{d \over d\theta }}$

de modo que [ d _m , d _n ] = ( m – n ) d _{m + n} . Una base para la complejización de F _λ ( S ¹ ) viene dada por

${\displaystyle v_{n}=e^{in\theta }\,(d\theta )^{\lambda },}$

de modo que

${\displaystyle d_{m}\cdot v_{n}=-(n+\lambda m)v_{n+m},\,\,g_{\zeta }\cdot v_{n}=\zeta ^{n}v_{n},}$

para g _ζ en Rot( S ¹ ) = T . Esto obliga a 𝜙( d _n ) = a _n ⋅ v _n para obtener coeficientes adecuados a _n . La condición de homomorfismo cruzado 𝜙([ X , Y ]) = X 𝜙( Y ) – Y 𝜙( X ) da una relación de recurrencia para an _:

${\displaystyle (m-n)a_{m+n}=(m+\lambda n)a_{m}-(n+\lambda m)a_{n}.}$

La condición 𝜙( d / d θ) = 0 , implica que a ₀ = 0 . De esta condición y la relación de recurrencia, se deduce que hasta múltiplos escalares, esto tiene una solución única distinta de cero cuando λ es igual a 0, 1 o 2 y solo la solución cero en caso contrario. La solución para λ = 1 corresponde al grupo 1-cociclo . La solución para λ = 0 corresponde al grupo 1-cociclo 𝜙 ₀ ( f ) = log  f' . Los 1-cociclos correspondientes del álgebra de Lie para λ = 0, 1, 2 se dan hasta un múltiplo escalar por ${\displaystyle \varphi _{1}(f)=f^{\prime \prime }/f^{\prime }\,d\theta }$

${\displaystyle \varphi _{\lambda }\left(F{d \over d\theta }\right)={d^{\lambda +1}F \over d\theta ^{\lambda +1}}\,(d\theta )^{\lambda }.}$

Extensiones centrales

Los homomorfismos cruzados dan lugar a su vez a la extensión central de Diff( S ¹ ) y de su álgebra de Lie Vect( S ¹ ) , la denominada álgebra de Virasoro .

Acción conjunta

El grupo Diff( S ¹ ) y su extensión central también aparecen de forma natural en el contexto de la teoría de Teichmüller y la teoría de cuerdas . ^[15] De hecho, los homeomorfismos de S ¹ inducidos por automapas cuasiconformes de D son precisamente los homeomorfismos cuasisimétricos de S ¹ ; estos son exactamente homeomorfismos que no envían cuatro puntos con una proporción cruzada de 1/2 a puntos con una proporción cruzada cercana a 1 o 0. Tomando valores límite, el Teichmüller universal puede identificarse con el cociente del grupo de homeomorfismos cuasisimétricos QS( S ¹ ) por el subgrupo de transformaciones de Möbius Moeb( S ¹ ) . (También se puede realizar naturalmente como el espacio de cuasicírculos en C .) Dado que

${\displaystyle \operatorname {Moeb} (\mathbf {S} ^{1})\subset \operatorname {Diff} (\mathbf {S} ^{1})\subset {\text{QS}}(\mathbf {S} ^{1})}$

el espacio homogéneo Diff( S ¹ )/Moeb( S ¹ ) es naturalmente un subespacio del espacio universal de Teichmüller. También es naturalmente una variedad compleja y esta y otras estructuras geométricas naturales son compatibles con las del espacio de Teichmüller. El dual del álgebra de Lie de Diff( S ¹ ) se puede identificar con el espacio de los operadores de Hill en S ¹

${\displaystyle {d^{2} \over d\theta ^{2}}+q(\theta ),}$

y la acción coadjunta de Diff ( S ¹ ) invoca la derivada de Schwarzian. El inverso del difeomorfismo f envía al operador de Hill a

${\displaystyle {d^{2} \over d\theta ^{2}}+f^{\prime }(\theta )^{2}\,q\circ f(\theta )+{\tfrac {1}{2}}S(f)(\theta ).}$

Pseudogrupos y conexiones.

La derivada de Schwarzian y el otro 1-cociclo definido en Diff( S ¹ ) se pueden extender a biholomórficos entre conjuntos abiertos en el plano complejo. En este caso la descripción local conduce a la teoría de pseudogrupos analíticos , formalizando la teoría de grupos de dimensión infinita y las álgebras de Lie estudiadas por primera vez por Élie Cartan en la década de 1910. Esto está relacionado con las estructuras afines y proyectivas en las superficies de Riemann , así como con la teoría de las conexiones schwarzianas o proyectivas, discutidas por Gunning, Schiffer y Hawley.

Un pseudogrupo holomorfo Γ en C consiste en una colección de biholomorfismos f entre conjuntos abiertos U y V en C que contiene los mapas de identidad para cada U abierto , que está cerrado bajo restricción a abiertos, que está cerrado bajo composición (cuando sea posible), que está cerrado al tomar inversas y tal que si un biholomorfismo está localmente en Γ , entonces también está en Γ . Se dice que el pseudogrupo es transitivo si, dados z y w en C , existe un biholomorfismo f en Γ tal que f ( z ) = w . Un caso particular de pseudogrupos transitivos son aquellos que son planos , es decir, contienen todas las traslaciones complejas T _b ( z ) = z + b . Sea G el grupo, bajo composición, de transformaciones formales en series de potencias F (z) = a ₁ z + a ₂ z ² + .... con a ₁ ≠ 0 . Un pseudogrupo holomorfo Γ define un subgrupo A de G , es decir, el subgrupo definido por la expansión en serie de Taylor alrededor de 0 (o "chorro" ) de elementos f de Γ con f (0) = 0 . Por el contrario, si Γ es plano, está determinado únicamente por A : un biholomorfismo f en U está contenido en Γ en si y solo si la serie de potencias de T _{– f ( a )} ∘ f ∘ T _a se encuentra en A para cada a en U : en otras palabras, la serie de potencias formal para f en a está dada por un elemento de A con z reemplazado por z − a ; o más brevemente todos los chorros de mosca se encuentran en A . ^[dieciséis]

El grupo G tiene homomorfismos naturales en el grupo G _k de k -jets obtenidos tomando la serie de potencias truncadas hasta el término z ^k . Este grupo actúa fielmente sobre el espacio de polinomios de grado k (truncando términos de orden superior a k ). Los truncamientos definen de manera similar homomorfismos de G _k sobre G _{k − 1} ; el núcleo consta de mapas f con f ( z ) = z + bz ^k , también lo es Abeliano. Por tanto, el grupo G _k tiene solución, un hecho que también se desprende del hecho de que está en forma triangular para la base de monomios.

Se dice que un pseudogrupo plano Γ está "definido por ecuaciones diferenciales" si hay un entero finito k tal que el homomorfismo de A en G _k sea fiel y la imagen sea un subgrupo cerrado. Se dice que el k más pequeño es del orden de Γ . Existe una clasificación completa de todos los subgrupos A que surgen de esta manera que satisface los supuestos adicionales de que la imagen de A en G _k es un subgrupo complejo y que G ₁ es igual a C * : esto implica que el pseudogrupo también contiene las transformaciones de escala S _a ( z ) = az para a ≠ 0 , es decir, contiene A contiene cada polinomio az con a ≠ 0 .

Las únicas posibilidades en este caso son que k = 1 y A = { az : a ≠ 0 }; o que k = 2 y A = { az /(1− bz ) : a ≠ 0} . El primero es el pseudogrupo definido por un subgrupo afín del grupo complejo de Möbius (las transformaciones az + b fijan ∞ ); este último es el pseudogrupo definido por todo el complejo grupo de Möbius.

Esta clasificación se puede reducir fácilmente a un problema algebraico de Lie, ya que el álgebra de Lie formal de G consta de campos vectoriales formales F ( z ) d / dz , siendo F una serie de potencias formal. Contiene los campos de vectores polinomiales con base d _n = z ^{n +1} d / dz ( n ≥ 0) , que es una subálgebra del álgebra de Witt. Los corchetes de Lie vienen dados por [ d _m , d _n ] = ( n − m ) d _{m + n} . Nuevamente estos actúan sobre el espacio de polinomios de grado ≤ k por diferenciación—se puede identificar con C [[ z ]]/( z ^{k +1} ) —y las imágenes de d ₀ , ..., d _{k – 1} dan una base del álgebra de Lie de G _k . Tenga en cuenta que Ad( S _a ) d _n = a ^{– n} d _n . Denotemos el álgebra de Lie de A : es isomorfo a una subálgebra del álgebra de Lie de G _k . Contiene d ₀ y es invariante bajo Ad( S _a ) . Dado que es una subálgebra de Lie del álgebra de Witt, la única posibilidad es que tenga base d ₀ o base d ₀ , d _n para algún n ≥ 1 . Hay elementos de grupo correspondientes de la forma f ( z ) = z + bz ^{n +1} + ... . Al componer esto con traducciones se obtiene T _{– f (ε)} ∘ f ∘ T _ε ( z ) = cz + dz ² + ... con c , d ≠ 0 . A menos que n = 2 , esto contradice la forma del subgrupo A ; entonces norte = 2 . ^[17] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$

La derivada de Schwarzian está relacionada con el pseudogrupo del complejo grupo de Möbius. De hecho, si f es un biholomorfismo definido en V entonces 𝜙 ₂ ( f ) = S ( f ) es un diferencial cuadrático en V . Si g es un bihomolorfismo definido en U y g ( V ) ⊆ U , S ( f ∘ g ) y S ( g ) son diferenciales cuadráticos en U ; además S ( f ) es un diferencial cuadrático en V , de modo que g _∗ S (f) también es un diferencial cuadrático en U . La identidad

${\displaystyle S(f\circ g)=g_{*}S(f)+S(g)}$

es, por tanto, el análogo de un 1-cociclo para el pseudogrupo de biholomorfismos con coeficientes en diferenciales cuadráticos holomórficos. De manera similar , y son 1-cociclos para el mismo pseudogrupo con valores en funciones holomorfas y diferenciales holomorfas. En general, se puede definir 1-cociclo para diferenciales holomórficos de cualquier orden, de modo que ${\displaystyle \varphi _{0}(f)=\log f^{\prime }}$ ${\displaystyle \varphi _{1}(f)=f^{\prime \prime }/f^{\prime }}$

${\displaystyle \varphi (f\circ g)=g_{*}\varphi (f)+\varphi (g).}$

Aplicando la identidad anterior a los mapas de inclusión j , se deduce que 𝜙( j ) = 0 ; y por tanto, si f ₁ es la restricción de f ₂ , de modo que f ₂ ∘ j = f ₁ , entonces 𝜙( f ₁ ) = 𝜙 ( f ₂ ) . Por otro lado, tomando el flujo holomorfico local definido por campos vectoriales holomorfos (el exponencial de los campos vectoriales), el pseudogrupo holomorfo de biholomorfismos locales se genera mediante campos vectoriales holomorfos. Si el 1-cociclo 𝜙 satisface condiciones adecuadas de continuidad o analiticidad, induce un 1-cociclo de campos vectoriales holomórficos, también compatible con la restricción. En consecuencia, define un 1-cociclo en campos vectoriales holomorfos en C : ^[18]

${\displaystyle \varphi ([X,Y])=X\varphi (Y)-Y\varphi (X).}$

Restringiendo al álgebra de Lie de campos vectoriales polinómicos con base d _n = z ^{n +1} d / dz ( n ≥ −1) , estos se pueden determinar usando los mismos métodos de cohomología del álgebra de Lie (como en la sección anterior sobre homomorfismos cruzados) . Allí el cálculo fue para toda el álgebra de Witt que actúa sobre densidades de orden k , mientras que aquí es solo para una subálgebra que actúa sobre diferenciales holomórficos (o polinomiales) de orden k . Nuevamente, suponiendo que 𝜙 desaparece en las rotaciones de C , hay 1-cociclos distintos de cero, únicos hasta múltiplos escalares. sólo para diferenciales de grado 0, 1 y 2 dados por la misma fórmula derivada

${\displaystyle \varphi _{k}\left(p(z){d \over dz}\right)=p^{(k+1)}(z)\,(dz)^{k},}$

donde p ( z ) es un polinomio.

Los 1-cociclos definen los tres pseudogrupos por 𝜙 _k ( f ) = 0 : esto da el grupo de escala ( k = 0 ); el grupo afín ( k = 1 ); y todo el complejo grupo de Möbius ( k = 2 ). Entonces estos 1-cociclos son las ecuaciones diferenciales ordinarias especiales que definen el pseudogrupo. Más significativamente, se pueden utilizar para definir estructuras y conexiones afines o proyectivas correspondientes en superficies de Riemann. Si Γ es un pseudogrupo de mapeos suaves en R ⁿ , se dice que un espacio topológico M tiene una estructura Γ si tiene una colección de gráficos f que son homeomorfismos de conjuntos abiertos V _i en M a conjuntos abiertos U _i en R ^n. tal que, para cada intersección no vacía, el mapa natural de f _i ( U _i ∩ U _j ) a f _j ( U _i ∩ U _j ) se encuentra en Γ . Esto define la estructura de una variedad n suave si Γ consta de difeomorfismos locales y una superficie de Riemann si n = 2 , de modo que R ² ≡ C , y Γ consta de biholomorfismos. Si Γ es el pseudogrupo afín, se dice que M tiene una estructura afín; y si Γ es el pseudogrupo de Möbius, se dice que M tiene una estructura proyectiva. Así, una superficie de género uno dada como C /Λ para alguna red Λ ⊂ C tiene una estructura afín; y una superficie del género p > 1 dada como el cociente del semiplano superior o disco unitario por un grupo fucsiano tiene una estructura proyectiva. ^[19]

Gunning en 1966 describe cómo se puede revertir este proceso: para el género p > 1 , la existencia de una conexión proyectiva, definida usando la derivada de Schwarzian 𝜙 ₂ y probada usando resultados estándar de cohomología, se puede usar para identificar la superficie de cobertura universal con la semiplano superior o disco unitario (un resultado similar es válido para el género 1, usando conexiones afines y 𝜙 ₁ ). ^[19]

Generalizaciones

Osgood y Stowe (1992) describen una generalización que es aplicable para asignaciones de variedades conformes , en las que la derivada de Schwarzian se convierte en un tensor simétrico en la variedad. Sea una variedad suave de dimensión con un tensor métrico suave . Un difeomorfismo suave es conforme si se trata de alguna función suave . El schwarziano se define por ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle F:M\to M}$ ${\displaystyle F^{*}g=e^{2\varphi }g}$ ${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle S_{g}(\varphi )=\nabla ^{2}\varphi -d\varphi \otimes d\varphi -{\frac {1}{n}}\left(\Delta \varphi -g(\nabla \varphi ,\nabla \varphi )\right)}$$

conexión Levi-Civitahessianooperador de Laplace-Beltrami ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ ${\displaystyle \Delta \varphi }$ ${\displaystyle g}$

El Schwarziano satisface la ley del cociclo.

$${\displaystyle S_{g}(\varphi +\psi )=S_{g}(\varphi )+S_{e^{2\varphi }g}(\psi ).}$$

${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S_{g}(\varphi )=0}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \log[(1+|\mathbf {x} |^{2})^{-1}]}$ ${\displaystyle \log |(1-|\mathbf {x} |^{2})^{-1}|}$ ${\displaystyle \log |x_{n}^{-1}|}$

Otra generalización se aplica a las curvas positivas en un lagrangiano Grassmanniano (Ovsienko y Tabachnikov 2005). Supongamos que es un espacio vectorial simpléctico , de dimensión superior a . Fijar un par de subespacios lagrangianos complementarios . El conjunto de subespacios lagrangianos que son complementarios a está parametrizado por el espacio de asignaciones que son simétricas con respecto a ( para todos ). Cualquier subespacio lagrangiano complementario a está dado por algún tensor de este tipo . Por tanto, una curva se especifica localmente mediante una familia de tensores simétricos de un parámetro . Una curva es positiva si es positiva definida. El Schwarziano Lagrangiano se define entonces como ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A,B\subset X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H:A\to B}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega (a,H(a))=\omega (H(a),a)}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{a+H(a)|a\in A\}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H(u)}$ ${\displaystyle H'(u)}$

$${\displaystyle S(H)=(H')^{-1/2}\left(H'''-{\tfrac {3}{2}}H''(H')^{-1}H''\right)(H')^{-1/2}.}$$

${\displaystyle S(H)=S(G)}$ ${\displaystyle H(u)}$ ${\displaystyle G(u)}$

El Schwarziano Lagrangiano está relacionado con una ecuación diferencial de segundo orden.

$${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+Q(t)x=0,}$$

${\displaystyle Q(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \omega (x,y)=x(t)\cdot y'(t)-x'(t)\cdot y(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {ev} _{t}:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {ev} _{t}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle 2Q(t)}$

Ver también

• ecuación de riccati

Notas

1. Thurston, William P. "Cremalleras y funciones univalentes". La conjetura de Bieberbach (West Lafayette, Indiana, 1985) 21 (1986): 185-197.
2. Weisstein, Eric W. "Derivado schwarziano". De MathWorld: un recurso web de Wolfram.
3. Schiffer 1966
4. Hille 1976, págs. 374–401
5. Lehto 1987, pág. 60
6. Düren 1983
7. Lehto 1987, pág. 90
8. Nehari 1952
9. von Koppenfels y Stallmann 1959
10. Klein 1922
11. Ahlfors 1966
12. Lehto 1987
13. Imayoshi y Taniguchi 1992
14. Ovsienko y Tabachnikov 2005, págs. 21-22
15. Pekonen 1995
16. Sternberg 1983, págs. 421–424
17. Disparando 1978
18. Libermann 1959
19. Disparando 1966

Referencias

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• Gunning, RC (1966), Conferencias sobre superficies de Riemann , Princeton Mathematical Notes, Princeton University Press
• Gunning, RC (1978), Sobre la uniformización de variedades complejas: el papel de las conexiones , Mathematical Notes, vol. 22, Prensa de la Universidad de Princeton , ISBN 978-0-691-08176-2
• Hille, Einar (1976), Ecuaciones diferenciales ordinarias en el dominio complejo, Dover, págs. 374–401, ISBN 978-0-486-69620-1, Capítulo 10, "El Schwarziano".
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• Sternberg, Shlomo (1983), Conferencias sobre geometría diferencial (Segunda ed.), Chelsea Publishing, ISBN 978-0-8284-0316-0
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