En matemáticas , el álgebra compleja de Witt , llamada así por Ernst Witt , es el álgebra de Lie de los campos vectoriales meromórficos definidos en la esfera de Riemann que son holomorfos excepto en dos puntos fijos. También es la complejización del álgebra de Lie de los campos vectoriales polinómicos en un círculo y el álgebra de Lie de las derivaciones del anillo C [ z , z −1 ].
Hay algunas álgebras de Lie relacionadas definidas sobre campos finitos, que también se denominan álgebras de Witt.
El álgebra compleja de Witt fue definida por primera vez por Élie Cartan (1909), y sus análogos sobre campos finitos fueron estudiados por Witt en la década de 1930.
Una base para el álgebra de Witt está dada por los campos vectoriales , para n en .
El corchete de Lie de dos campos vectoriales base está dado por
Esta álgebra tiene una extensión central llamada álgebra de Virasoro que es importante en la teoría de campos conforme bidimensionales y la teoría de cuerdas .
Obsérvese que al restringir n a 1,0,-1, se obtiene una subálgebra. Tomada sobre el cuerpo de los números complejos, ésta es simplemente el álgebra de Lie del grupo de Lorentz . Sobre los números reales, es el álgebra sl (2,R) = su (1,1). Por el contrario, su (1,1) es suficiente para reconstruir el álgebra original en una presentación. [1]
Sobre un cuerpo k de característica p > 0, el álgebra de Witt se define como el álgebra de Lie de derivaciones del anillo.
El álgebra de Witt está abarcada por L m para −1≤ m ≤ p −2.
![{\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(mn)L_{m+n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc889e602613b99d39e0c0bf7b6fc0716e3470c5)
