espacio teichmüller

Parametriza estructuras complejas en una superficie.

En matemáticas , el espacio de Teichmüller de una superficie topológica (o diferencial) (real) es un espacio que parametriza estructuras complejas hasta la acción de homeomorfismos que son isotópicos del homeomorfismo de identidad . Los espacios de Teichmüller llevan el nombre de Oswald Teichmüller . ${\displaystyle T(S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Cada punto en un espacio de Teichmüller puede considerarse como una clase de isomorfismo de superficies de Riemann "marcadas" , donde una "marca" es una clase de isotopía de homeomorfismos de sí mismo. Puede verse como un espacio de módulos para una marcada estructura hiperbólica en la superficie, y esto le otorga una topología natural por la cual es homeomorfo a una bola de dimensión para una superficie de género . De esta manera, el espacio de Teichmüller puede verse como el orbital de cobertura universal del espacio de módulos de Riemann . ${\displaystyle T(S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 6g-6}$ ${\displaystyle g\geq 2}$

El espacio de Teichmüller tiene una estructura canónica compleja y múltiple y una riqueza de métricas naturales . El estudio de las características geométricas de estas diversas estructuras es un cuerpo de investigación activo.

El subcampo de las matemáticas que estudia el espacio de Teichmüller se denomina teoría de Teichmüller .

Historia

Los espacios de módulo para superficies de Riemann y grupos fucsianos relacionados se han estudiado desde el trabajo de Bernhard Riemann (1826-1866), quien sabía que se necesitaban parámetros para describir las variaciones de estructuras complejas en una superficie de género . Los primeros estudios del espacio de Teichmüller, a finales del siglo XIX y principios del XX, fueron geométricos y se basaron en la interpretación de las superficies de Riemann como superficies hiperbólicas. Entre los principales contribuyentes se encontraban Felix Klein , Henri Poincaré , Paul Koebe , Jakob Nielsen , Robert Fricke y Werner Fenchel . ${\displaystyle 6g-6}$ ${\displaystyle g\geq 2}$

La principal contribución de Teichmüller al estudio de los módulos fue la introducción de asignaciones cuasiconformes al tema. Nos permiten dar mucha más profundidad al estudio de los espacios de módulos dotándolos de características adicionales que no estaban presentes en los trabajos anteriores, más elementales. Después de la Segunda Guerra Mundial, el tema se desarrolló aún más en esta línea analítica, en particular por Lars Ahlfors y Lipman Bers . La teoría sigue activa, con numerosos estudios de la compleja estructura del espacio de Teichmüller (introducidos por Bers).

La vena geométrica en el estudio del espacio de Teichmüller revivió tras el trabajo de William Thurston a finales de la década de 1970, quien introdujo una compactación geométrica que utilizó en su estudio del grupo de clases de mapeo de una superficie. Otros objetos más combinatorios asociados a este grupo (en particular el complejo de curvas ) también se han relacionado con el espacio de Teichmüller, y este es un tema de investigación muy activo en la teoría de grupos geométricos .

Definiciones

Espacio de Teichmüller a partir de estructuras complejas.

Sea una superficie lisa orientable (una variedad diferenciable de dimensión 2). Informalmente, el espacio de Teichmüller es el espacio de estructuras superficiales de Riemann hasta la isotopía . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T(S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Formalmente se puede definir de la siguiente manera. Se dice que dos estructuras complejas son equivalentes si existe un difeomorfismo tal que: ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f\in \operatorname {Diff} (S)}$

• Es holomórfico (el diferencial es lineal complejo en cada punto, para las estructuras en el origen y en el destino); ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$
• es isotópico a la identidad de (hay un mapa continuo tal que ). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \gamma :[0,1]\to \operatorname {Diff} (S)}$ ${\displaystyle \gamma (0)=f,\gamma (1)=\mathrm {Id} }$

Entonces es el espacio de clases de equivalencia de estructuras complejas para esta relación. ${\displaystyle T(S)}$ ${\displaystyle S}$

Otra definición equivalente es la siguiente: es el espacio de pares donde hay una superficie de Riemann y un difeomorfismo, y dos pares se consideran equivalentes si son isotópicos a un difeomorfismo holomorfo. Este par se denomina superficie de Riemann marcada ; siendo la marca el difeomorfismo; Otra definición de marcas es mediante sistemas de curvas. ^[1] ${\displaystyle T(S)}$ ${\displaystyle (X,g)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g:S\to X}$ ${\displaystyle (X,g),(Y,h)}$ ${\displaystyle h\circ g^{-1}:X\to Y}$

Hay dos ejemplos simples que se calculan inmediatamente a partir del teorema de Uniformización : hay una estructura compleja única en la esfera (ver esfera de Riemann ) y hay dos (el plano complejo y el disco unitario) y en cada caso el grupo de estructuras positivas Los difeomorfismos son contráctiles . Así, el espacio de Teichmüller de es un solo punto y el de contiene exactamente dos puntos. ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Un ejemplo un poco más complicado es el anillo abierto , para el cual el espacio de Teichmüller es el intervalo (la estructura compleja asociada es la superficie de Riemann ). ${\displaystyle [0,1)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} :\lambda <|z|<\lambda ^{-1}\}}$

El espacio de Teichmüller del toroide y la métrica plana.

El siguiente ejemplo es el toro. En este caso, cualquier estructura compleja se puede realizar mediante una superficie de Riemann de la forma (una curva elíptica compleja ) para un número complejo donde ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}=\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}.}$ ${\displaystyle \mathbb {C} /(\mathbb {Z} +\tau \mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \tau \in \mathbb {H} }$

${\displaystyle \mathbb {H} =\{z\in \mathbb {C} :\operatorname {Im} (z)>0\},}$

es el semiplano superior complejo. Entonces tenemos una biyección: ^[2]

${\displaystyle \mathbb {H} \longrightarrow T(\mathbb {T} ^{2})}$

${\displaystyle \tau \longmapsto (\mathbb {C} /(\mathbb {Z} +\tau \mathbb {Z} ),(x,y)\mapsto x+\tau y)}$

y por tanto el espacio de Teichmüller es ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} .}$

Si nos identificamos con el plano euclidiano , entonces cada punto en el espacio de Teichmüller también puede verse como una estructura plana marcada . Por lo tanto, el espacio de Teichmüller está en biyección con el conjunto de pares donde es una superficie plana y es un difeomorfismo hasta la isotopía . ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}.}$ ${\displaystyle (M,f)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f:\mathbb {T} ^{2}\to M}$ ${\displaystyle f}$

Superficies de tipo finito

Estas son las superficies para las que se estudia con mayor frecuencia el espacio de Teichmüller, que incluyen superficies cerradas. Una superficie es de tipo finito si es difeomorfa a una superficie compacta menos un conjunto finito. Si es una superficie cerrada de género , entonces la superficie obtenida eliminando puntos de generalmente se denota por y su espacio de Teichmüller por ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S_{g,k}}$ ${\displaystyle T_{g,k}.}$

Espacios de Teichmüller y métricas hiperbólicas

Toda superficie orientable de tipo finito distinta de las anteriores admite métricas riemannianas completas de curvatura constante . Para una superficie dada de tipo finito, existe una biyección entre dichas métricas y estructuras complejas como se desprende del teorema de uniformización . Así, si el espacio de Teichmüller se puede realizar como el conjunto de superficies hiperbólicas marcadas de género con cúspides , es decir el conjunto de pares donde es una superficie hiperbólica y es un difeomorfismo, módulo la relación de equivalencia donde y se identifican si es isotópico a una isometría . ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle 2g-2+k>0}$ ${\displaystyle T_{g,k}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (M,f)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f:S\to M}$ ${\displaystyle (M,f)}$ ${\displaystyle (N,g)}$ ${\displaystyle f\circ g^{-1}}$

La topología en el espacio de Teichmüller.

En todos los casos calculados anteriormente existe una topología obvia en el espacio de Teichmüller. En el caso general, existen muchas formas naturales de topología , quizás la más simple sea mediante métricas hiperbólicas y funciones de longitud. ${\displaystyle T(S)}$

Si es una curva cerrada y una superficie hiperbólica marcada, entonces se es homotópico a una geodésica cerrada única (hasta la parametrización). El valor at de la función de longitud asociada a (la clase de homotopía de) es entonces: ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x=(M,f)}$ ${\displaystyle f_{*}\alpha }$ ${\displaystyle \alpha _{x}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \ell _{\alpha }(x)=\operatorname {Length} (\alpha _{x}).}$

Sea el conjunto de curvas cerradas simples en . Entonces el mapa ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle T(S)\to \mathbb {R} ^{\mathcal {S}}}$

${\displaystyle x\mapsto \left(\ell _{\alpha }(x)\right)_{\alpha \in {\mathcal {S}}}}$

es una incrustación. El espacio tiene la topología del producto y está dotado de la topología inducida . Con esta topología es homeomorfa a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle T(S)}$ ${\displaystyle T(S_{g,k})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{6g-6+2k}.}$

De hecho se puede obtener una incrustación con curvas, ^[3] e incluso . ^[4] En ambos casos se puede utilizar la incrustación para dar una prueba geométrica del homeomorfismo anterior. ${\displaystyle 9g-9}$ ${\displaystyle 6g-5+2k}$

Más ejemplos de pequeños espacios de Teichmüller

Hay una métrica hiperbólica completa única de volumen finito en la esfera de tres agujeros ^[5] y, por lo tanto, el espacio de Teichmüller de métricas completas de volumen finito de curvatura constante es un punto (esto también se deduce de la fórmula de dimensión del párrafo anterior). ${\displaystyle T(S_{0,3})}$

Los espacios de Teichmüller y se realizan naturalmente como el semiplano superior, como se puede ver usando las coordenadas Fenchel-Nielsen. ${\displaystyle T(S_{0,4})}$ ${\displaystyle T(S_{1,1})}$

Espacio de Teichmüller y estructuras conformes.

En lugar de estructuras complejas de métricas hiperbólicas, se puede definir el espacio de Teichmüller utilizando estructuras conformes . De hecho, las estructuras conformes son lo mismo que las estructuras complejas en dos dimensiones (reales). ^[6] Además, el teorema de uniformización también implica que en cada clase conforme de métricas de Riemann en una superficie hay una métrica única de curvatura constante.

Los espacios de Teichmüller como espacios de representación

Otra interpretación más del espacio de Teichmüller es como un espacio de representación de grupos de superficies. Si es hiperbólico, de tipo finito y es el grupo fundamental de entonces el espacio de Teichmüller está en biyección natural con: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \Gamma =\pi _{1}(S)}$ ${\displaystyle S}$

• El conjunto de representaciones inyectivas con imagen discreta, hasta conjugación por un elemento de , si es compacto ; ${\displaystyle \Gamma \to \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle S}$
• En general, el conjunto de tales representaciones, con la condición añadida de que aquellos elementos cuyos elementos están representados por curvas libremente homotópicas a un pinchazo, se remiten a elementos parabólicos de , nuevamente hasta la conjugación por un elemento de . ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$

El mapa envía una marcada estructura hiperbólica a la composición donde está la monodromía de la estructura hiperbólica y está el isomorfismo inducido por . ${\displaystyle (M,f)}$ ${\displaystyle \rho \circ f_{*}}$ ${\displaystyle \rho :\pi _{1}(M)\to \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle f_{*}:\pi _{1}(S)\to \pi _{1}(M)}$ ${\displaystyle f}$

Tenga en cuenta que esto se realiza como un subconjunto cerrado del cual le dota de una topología. Esto se puede utilizar para ver el homeomorfismo directamente. ^[7] ${\displaystyle T(S)}$ ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )^{2g+k-1}}$ ${\displaystyle T(S)\cong \mathbb {R} ^{6g-6+2k}}$

Esta interpretación del espacio de Teichmüller está generalizada por la teoría superior de Teichmüller, donde el grupo es reemplazado por un grupo de Lie semisimple arbitrario . ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$

Un comentario sobre las categorías.

Todas las definiciones anteriores se pueden hacer en la categoría topológica en lugar de en la categoría de variedades diferenciables, y esto no cambia los objetos.

Espacios de Teichmüller de dimensión infinita

Las superficies que no son de tipo finito también admiten estructuras hiperbólicas, que pueden parametrizarse mediante espacios de dimensión infinita (homeomórficos a ). Otro ejemplo de espacio de dimensión infinita relacionado con la teoría de Teichmüller es el espacio de Teichmüller de una laminación por superficies. ^{[8] [9]} ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$

Acción del grupo de clases de mapeo y relación con el espacio de módulos.

El mapa del espacio de módulos.

Hay un mapa desde el espacio de Teichmüller hasta el espacio de módulos de superficies de Riemann difeomorfas , definido por . Es un mapa de cobertura y, como está simplemente conectado, es la cobertura universal orbifold para el espacio de módulos. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,f)\mapsto X}$ ${\displaystyle T(S)}$

Acción del grupo de clases de mapeo.

El grupo de clases de mapeo de es el grupo lateral del grupo de difeomorfismos de por el subgrupo normal de aquellos que son isotópicos de la identidad (se puede hacer la misma definición con homeomorfismos en lugar de difeomorfismos y, para superficies, esto no cambia el grupo resultante ). El grupo de difeomorfismos actúa naturalmente en el espacio de Teichmüller mediante ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle MCG(S)}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle g\cdot (X,f)\mapsto (X,f\circ g^{-1}).}$

Si es una clase de mapeo y dos difeomorfismos que la representan, entonces son isotópicos. Por lo tanto, las clases de y son las mismas en el espacio de Teichmüller, y la acción anterior se factoriza a través del grupo de clases de mapeo. ${\displaystyle \gamma \in MCG(S)}$ ${\displaystyle g,h}$ ${\displaystyle (X,f\circ g^{-1})}$ ${\displaystyle (X,f\circ h^{-1})}$

La acción del grupo de clases de mapeo en el espacio de Teichmüller es propiamente discontinua y el cociente es el espacio de módulos. ${\displaystyle MCG(S)}$

Puntos fijos

El problema de realización de Nielsen pregunta si algún subgrupo finito del grupo de clases de mapeo tiene un punto fijo global (un punto fijado por todos los elementos del grupo) en el espacio de Teichmüller. En términos más clásicos, la pregunta es: ¿puede cada subgrupo finito de realizarse como un grupo de isometrías de alguna métrica hiperbólica completa (o equivalentemente como un grupo de difeomorfismos holomórficos de alguna estructura compleja)? Esto lo resolvió Steven Kerckhoff . ^[10] ${\displaystyle MCG(S)}$ ${\displaystyle S}$

Coordenadas

Coordenadas Fenchel-Nielsen

Las coordenadas Fenchel-Nielsen (llamadas así en honor a Werner Fenchel y Jakob Nielsen ) en el espacio de Teichmüller están asociadas a una descomposición en pantalones de la superficie . Esta es una descomposición en pares de pantalones , y a cada curva en la descomposición se le asocia su longitud en la métrica hiperbólica correspondiente al punto en el espacio de Teichmüller, y otro parámetro real llamado giro que es más complicado de definir. ^[11] ${\displaystyle T(S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

En el caso de una superficie cerrada de género hay curvas en una descomposición en pantalones y obtenemos parámetros, que es la dimensión de . De hecho, las coordenadas Fenchel-Nielsen definen un homeomorfismo . ^[12] ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle 3g-3}$ ${\displaystyle 6g-6}$ ${\displaystyle T(S_{g})}$ ${\displaystyle T(S_{g})\to ]0,+\infty [^{3g-3}\times \mathbb {R} ^{3g-3}}$

En el caso de una superficie con pinchazos, algunos pantalones están "degenerados" (tienen una cúspide) y sólo dan dos parámetros de longitud y torsión. Nuevamente en este caso las coordenadas Fenchel-Nielsen definen un homeomorfismo . ${\displaystyle T(S_{g,k})\to ]0,+\infty [^{3g-3+k}\times \mathbb {R} ^{3g-3+k}}$

Coordenadas de corte

Si la superficie admite triangulaciones ideales (cuyos vértices son exactamente los pinchazos). Según la fórmula de la característica de Euler, tal triangulación tiene triángulos. Una estructura hiperbólica determina un difeomorfismo (único hasta la isotopía) que envía cada triángulo a un triángulo ideal hiperbólico , por lo tanto, un punto en . Los parámetros para dicha estructura son las longitudes de traslación de cada par de lados de los triángulos pegados en la triangulación. ^[13] Existen parámetros que pueden tomar cualquier valor en , y la integridad de la estructura corresponde a una ecuación lineal y así obtenemos la dimensión correcta . Estas coordenadas se llaman coordenadas de corte . ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle S=S_{g,k}}$ ${\displaystyle 4g-4+2k}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S\to M}$ ${\displaystyle T(S)}$ ${\displaystyle 6g-6+3k}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 6g-6+2k}$

Para superficies cerradas, un par de pantalones se puede descomponer como la unión de dos triángulos ideales (puede verse como una métrica hiperbólica incompleta en la esfera de tres agujeros ^[14] ). Así también obtenemos coordenadas de corte en . ${\displaystyle 3g-3}$ ${\displaystyle T(S_{g})}$

Temblores

Una trayectoria de terremoto simple en el espacio de Teichmüller es una trayectoria determinada variando una sola coordenada Fenchel-Nielsen de corte o longitud (para una triangulación ideal fija de una superficie). El nombre proviene de ver los triángulos ideales o los pantalones como placas tectónicas y la cizalladura como movimiento de placas.

De manera más general, se pueden hacer terremotos a lo largo de laminaciones geodésicas . Un teorema de Thurston afirma entonces que dos puntos en el espacio de Teichmüller están unidos por una trayectoria sísmica única.

Teoría analítica

Mapeos cuasiconformes

Un mapeo cuasiconforme entre dos superficies de Riemann es un homeomorfismo que deforma la estructura conforme de manera limitada sobre la superficie. Más precisamente, es diferenciable en casi todas partes y existe una constante , llamada dilatación , tal que ${\displaystyle K\geq 1}$

${\displaystyle {\frac {|f_{z}|+|f_{\bar {z}}|}{|f_{z}|-|f_{\bar {z}}|}}\leq K}$

donde están las derivadas en una coordenada conforme y su conjugado . ${\displaystyle f_{z},f_{\bar {z}}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\bar {z}}}$

Hay asignaciones cuasi-conformes en cada clase de isotopía, por lo que una definición alternativa para el espacio de Teichmüller es la siguiente. Fije una superficie difeomorfa de Riemann a , y el espacio de Teichmüller está en biyección natural con las superficies marcadas donde hay un mapeo cuasiconforme, hasta la misma relación de equivalencia que arriba. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (Y,g)}$ ${\displaystyle g:X\to Y}$

Diferenciales cuadráticos y la incrustación de Bers

Imagen de la incrustación de Bers del espacio bidimensional de Teichmüller de un toro perforado

Con la definición anterior, si existe un mapa natural desde el espacio de Teichmüller al espacio de soluciones equivalentes a la ecuación diferencial de Beltrami. ^[15] Estos dan lugar, a través de la derivada de Schwarzian, a diferenciales cuadráticos en . ^[16] El espacio de aquellos es un espacio complejo de dimensión compleja , y la imagen del espacio de Teichmüller es un conjunto abierto. ^[17] Este mapa se llama incrustación de Bers. ${\displaystyle X=\Gamma \setminus \mathbb {H} ^{2}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 3g-3}$

Un diferencial cuadrático en puede representarse mediante una superficie de traslación conforme a . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Mapeos de Teichmüller

El teorema de Teichmüller ^[18] establece que entre dos superficies de Riemann marcadas y siempre hay un mapeo cuasiconforme único en cuya clase de isotopía tiene una dilatación mínima. Este mapa se llama mapeo de Teichmüller. ${\displaystyle (X,g)}$ ${\displaystyle (Y,h)}$ ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle h\circ g^{-1}}$

En la imagen geométrica, esto significa que por cada dos superficies difeomorfas de Riemann y difeomorfismo, existen dos polígonos que representan y un mapa afín que se envía uno al otro, que tiene la dilatación más pequeña entre todos los mapas cuasiconformes . ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle X\to Y}$

Métrica

La métrica de Teichmüller

Si y el mapeo de Teichmüller entre ellos tiene dilatación, entonces la distancia de Teichmüller entre ellos es, por definición , . De hecho, esto define una distancia sobre la cual induce su topología y para la cual es completa. Esta es la métrica más utilizada para el estudio de la geometría métrica del espacio de Teichmüller. En particular, es de interés para los teóricos de grupos geométricos. ${\displaystyle x,y\in T(S)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\log K}$ ${\displaystyle T(S)}$

Hay una función definida de manera similar, utilizando las constantes de Lipschitz de mapas entre superficies hiperbólicas en lugar de las dilataciones cuasiconformes, en , que no es simétrica. ^[19] ${\displaystyle T(S)\times T(S)}$

La métrica de Weil-Petersson

Los diferenciales cuadráticos en una superficie de Riemann se identifican con el espacio cotangente en el espacio de Teichmüller. ^[20] La métrica de Weil-Petersson es la métrica de Riemann definida por el producto interno de diferenciales cuadráticos. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,f)}$ ${\displaystyle L^{2}}$

Compactificaciones

Se han estudiado varias compactaciones desiguales de los espacios de Teichmüller. Varias de las compactaciones anteriores dependen de la elección de un punto en el espacio de Teichmüller, por lo que no son invariantes bajo el grupo modular, lo que puede resultar inconveniente. William Thurston encontró más tarde una compactación sin esta desventaja, que se ha convertido en la compactificación más utilizada.

Compactación de Thurston

Al observar las longitudes hiperbólicas de curvas cerradas simples para cada punto en el espacio de Teichmüller y tomar el cierre en el espacio proyectivo (de dimensión infinita), Thurston (1988) introdujo una compactificación cuyos puntos en el infinito corresponden a laminaciones medidas proyectivas. El espacio compactado es homeomorfo a una bola cerrada. Esta compactación de Thurston es impulsada continuamente por el grupo modular. En particular cualquier elemento del grupo modular tiene un punto fijo en la compactación de Thurston, que Thurston utilizó en su clasificación de elementos del grupo modular .

Compactación de Bers

La compactación de Bers se obtiene tomando el cierre de la imagen de la incrustación de Bers en el espacio de Teichmüller, estudiada por Bers (1970). La incrustación de Bers depende de la elección de un punto en el espacio de Teichmüller, por lo que no es invariante bajo el grupo modular y, de hecho, el grupo modular no actúa continuamente sobre la compactación de Bers.

Compactación de Teichmüller

Los "puntos en el infinito" en la compactación de Teichmüller consisten en rayos geodésicos (para la métrica de Teichmüller) que comienzan en un punto base fijo. Esta compactación depende de la elección del punto base, por lo que el grupo modular no actúa sobre ella y, de hecho, Kerckhoff demostró que la acción del grupo modular en el espacio de Teichmüller no se extiende a una acción continua sobre esta compactificación.

Compactación Gardiner-Masur

Gardiner y Masur (1991) consideraron una compactación similar a la de Thurston, pero utilizando una longitud extrema en lugar de una longitud hiperbólica. El grupo modular actúa continuamente sobre esta compactación, pero demostraron que su compactación tiene estrictamente más puntos en el infinito.

Geometría a gran escala

Se ha realizado un extenso estudio de las propiedades geométricas del espacio de Teichmüller dotado con la métrica de Teichmüller. Las propiedades conocidas a gran escala incluyen:

• El espacio de Teichmüller contiene subespacios planos de dimensión , y no hay planos incrustados cuasi isométricamente de dimensiones superiores. ^[21] ${\displaystyle T(S_{g,k})}$ ${\displaystyle 3g-3+k}$
• En particular, si o o entonces no es hiperbólico . ${\displaystyle g>1}$ ${\displaystyle g=1,k>1}$ ${\displaystyle g=0,k>4}$ ${\displaystyle T(S_{g,k})}$

Por otro lado, el espacio de Teichmüller exhibe varias propiedades características de los espacios hiperbólicos, tales como:

• Algunas geodésicas se comportan como en el espacio hiperbólico. ^[22]
• Los paseos aleatorios en el espacio de Teichmüller convergen casi con seguridad en un punto en el límite de Thurston. ^[23]

Algunas de estas características pueden explicarse mediante el estudio de mapas desde el espacio de Teichmüller hasta el complejo de curvas, que se sabe que es hiperbólico.

Geometría compleja

La incrustación de Bers proporciona una estructura compleja como un subconjunto abierto de ${\displaystyle T(S)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3g-3}.}$

Métricas provenientes de la estructura compleja

Dado que el espacio de Teichmüller es una variedad compleja, lleva una métrica de Carathéodory . El espacio de Teichmüller es hiperbólico de Kobayashi y su métrica de Kobayashi coincide con la métrica de Teichmüller. ^[24] Este último resultado se utiliza en la prueba de Royden de que el grupo de clases de mapeo es el grupo completo de isometrías para la métrica de Teichmüller.

La incrustación de Bers considera el espacio de Teichmüller como un dominio de holomorfia y, por lo tanto, también lleva una métrica de Bergman .

Métricas de Kähler en el espacio de Teichmüller

La métrica de Weil-Petersson es Kähler pero no está completa.

Cheng y Yau demostraron que existe una métrica completa de Kähler-Einstein única en el espacio de Teichmüller. ^[25] Tiene una curvatura escalar negativa constante.

El espacio de Teichmüller también lleva una métrica de Kähler completa de curvatura seccional acotada introducida por McMullen (2000) que es hiperbólica de Kähler.

Equivalencia de métricas

Con la excepción de la métrica incompleta de Weil-Petersson, todas las métricas del espacio de Teichmüller presentadas aquí son cuasi isométricas entre sí. ^[26]

Ver también

• Módulos de curvas algebraicas
• teoría p-ádica de Teichmüller
• Teoría interuniversal de Teichmüller
• Forma modular de Teichmüller

Referencias

1. Imayoshi y Taniguchi 1992, pág. 14.
2. Imayoshi y Taniguchi 1992, pág. 13.
3. Imayoshi y Taniguchi 1992, Teorema 3.12.
4. Hamenstädt, Úrsula (2003). "Funciones de longitud y parametrizaciones del espacio de Teichmüller para superficies con cúspides". Annales Acad. Científico. Fenn . 28 : 75–88.
5. Ratcliffe 2006, Teorema 9.8.8.
6. Imayoshi y Taniguchi 1992, Teorema 1.7.
7. Imayoshi y Taniguchi 1992, Teorema 2.25.
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10. Kerckhoff 1983.
11. Imayoshi y Taniguchi 1992, pág. 61.
12. Imayoshi y Taniguchi 1992, Teorema 3.10.
13. Thurston 1988, pág. 40.
14. Thurston 1988, pág. 42.
15. Ahlfors 2006, pág. 69.
16. Ahlfors 2006, pág. 71.
17. Ahlfors 2006, Capítulo VI.C.
18. Ahlfors 2006, pág. 96.
19. Thurston, William (1998) [1986], Mapas de estiramiento mínimo entre superficies hiperbólicas , arXiv : math/9801039 , Bibcode :1998math......1039T
20. Ahlfors 2006, Capítulo VI.D
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23. Duchin, Luna (2005). Triángulos delgados y un teorema ergódico multiplicativo para la geometría de Teichmüller (Ph.D.). Universidad de Chicago. arXiv : matemáticas/0508046 .
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Fuentes

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• Imayoshi, Yôichi; Taniguchi, Masahiko (1992). Una introducción a los espacios de Teichmüller . Saltador. págs. xiv+279. ISBN 978-4-431-70088-3.
• Kerckhoff, Steven P. (1983). "El problema de la realización de Nielsen". Anales de Matemáticas . Segunda Serie. 117 (2): 235–265. CiteSeerX  10.1.1.353.3593 . doi :10.2307/2007076. JSTOR  2007076. SEÑOR  0690845.
• McMullen, Curtis T. (2000), "El espacio de módulos de las superficies de Riemann es hiperbólico de Kähler", Annals of Mathematics , Second Series, 151 (1): 327–357, arXiv : math/0010022 , doi :10.2307/121120, JSTOR  121120, SEÑOR  1745010, S2CID  8032847
• Ratcliffe, John (2006). Fundamentos de variedades hiperbólicas, Segunda edición . Saltador. págs. xii+779. ISBN 978-0387-33197-3.
• Thurston, William P. (1988), "Sobre la geometría y la dinámica de los difeomorfismos de superficies", Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense , Nueva Serie, 19 (2): 417–431, doi : 10.1090/S0273-0979-1988- 15685-6 , SEÑOR  0956596

Otras lecturas

• Bers, Lipman (1981), "Espacios y generalizaciones de Teichmüller de dimensión finita", Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense , Nueva Serie, 5 (2): 131–172, doi : 10.1090/S0273-0979-1981-14933-8 , Señor  0621883
• Gardiner, Frederick P. (1987), Teoría de Teichmüller y diferenciales cuadráticos, Matemáticas puras y aplicadas (Nueva York), Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-84539-3, SEÑOR  0903027
• Hubbard, John Hamal (2006), Teoría de Teichmüller y aplicaciones a la geometría, la topología y la dinámica. vol. 1, Ediciones Matrix, Ithaca, Nueva York, ISBN 978-0-9715766-2-9, SEÑOR  2245223
• Papadopoulos, Athanase, ed. (2007-2016), Manual de teoría de Teichmüller. Vols. IV (PDF) , Conferencias IRMA de Matemáticas y Física Teórica, vol. 11, 13, 17, 19, 26, Sociedad Europea de Matemáticas (EMS), Zúrich, doi :10.4171/029, ISBN 978-3-03719-029-6, SEÑOR  2284826, S2CID  9203341El último volumen contiene traducciones de varios de los artículos de Teichmüller.
• Teichmüller, Oswald (1939), "Extremale quasikonforme Abbildungen und quadratische Differentiale", Abh. Preuss. Akád. Wiss. Matemáticas.-Nat. kl. , 1939 (22): 197, JFM  66.1252.01, SEÑOR  0003242
• Teichmüller, Oswald (1982), Ahlfors, Lars V.; Gehring, Frederick W. (eds.), Gesammelte Abhandlungen, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-10899-3, señor  0649778
• Voitsekhovskii, MI (2001) [1994], "Teichmüller space", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press