Módulos de curvas algebraicas

En geometría algebraica , un espacio de módulos de curvas ( algebraicas ) es un espacio geométrico (típicamente un esquema o una pila algebraica ) cuyos puntos representan clases de isomorfismo de curvas algebraicas . Por tanto, es un caso especial de espacio de módulos . Dependiendo de las restricciones aplicadas a las clases de curvas algebraicas consideradas, el problema de módulos correspondiente y el espacio de módulos es diferente. También se distingue entre espacios de módulos finos y gruesos para el mismo problema de módulos.

El problema más básico es el de los módulos de curvas completas suaves de género fijo . En el campo de los números complejos, éstas corresponden precisamente a superficies compactas de Riemann del género dado, para las cuales Bernhard Riemann demostró los primeros resultados sobre espacios de módulos, en particular sus dimensiones ("número de parámetros de los que depende la estructura compleja").

Pilas de módulos de curvas estables.

La pila de módulos clasifica familias de curvas proyectivas suaves, junto con sus isomorfismos. Cuando , esta pila se puede compactar agregando nuevos puntos "límite" que correspondan a curvas nodales estables (junto con sus isomorfismos). Una curva es estable si es completa, conexa, no tiene más singularidades que puntos dobles y sólo tiene un grupo finito de automorfismos. La pila resultante se denota . Ambas pilas de módulos llevan familias universales de curvas. ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$ ${\displaystyle g>1}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$

Ambas pilas anteriores tienen dimensión ; por lo tanto, se puede especificar completamente una curva nodal estable eligiendo los valores de los parámetros, cuando . En géneros inferiores, se debe tener en cuenta la presencia de familias suaves de automorfismos, restando su número. Existe exactamente una curva compleja de género cero, la esfera de Riemann, y su grupo de isomorfismos es PGL(2). Por lo tanto la dimensión de es igual a ${\displaystyle 3g-3}$ ${\displaystyle 3g-3}$ ${\displaystyle g>1}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\dim({\text{space of genus 0 curves}})-\dim({\text{group of automorphisms}})&=0-\dim(\mathrm {PGL} (2))\\&=-3.\end{aligned}}}$

Asimismo, en el género 1, hay un espacio unidimensional de curvas, pero cada curva tiene un grupo unidimensional de automorfismos. Por tanto, la pila tiene dimensión 0. ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1}}$

Construcción e irreductibilidad

Es un teorema no trivial, demostrado por Pierre Deligne y David Mumford , ^[1] que la pila de módulos es irreducible, lo que significa que no puede expresarse como la unión de dos subpilas propias. Lo prueban analizando el lugar geométrico de curvas estables en el esquema de Hilbert de curvas tricónicamente incrustadas (a partir de la incrustación de lo muy amplio para cada curva) que tienen un polinomio de Hilbert . Entonces, la pila es una construcción del espacio de módulos . Usando la teoría de la deformación , Deligne y Mumford muestran que esta pila es suave y usan la pila de isomorfismos entre curvas estables , para mostrar que tiene estabilizadores finitos, por lo tanto, es una pila de Deligne-Mumford . Además, encuentran una estratificación de como ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$ ${\displaystyle H_{g}}$ ${\displaystyle \mathrm {Hilb} _{\mathbb {P} ^{5g-5-1}}^{P_{g}(n)}}$ ${\displaystyle \omega _{C}^{\otimes 3}}$ ${\displaystyle P_{g}(n)=(6n-1)(g-1)}$ ${\displaystyle [H_{g}/\mathrm {PGL} (5g-6)]}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$ ${\displaystyle \mathrm {Isom} _{S}(C,C')}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$ ${\displaystyle H_{g}}$

${\displaystyle H_{g}^{o}\coprod H_{g,1}\coprod \cdots \coprod H_{g,n}}$,

donde es el subesquema de curvas suaves y estables y es un componente irreducible de . Analizan los componentes de (como cociente GIT ). Si existieran varios componentes de , ninguno de ellos estaría completo. Además, cualquier componente de debe contener curvas no singulares. En consecuencia, el lugar singular es conexo, por lo tanto está contenido en un solo componente de . Además, debido a que cada componente se cruza , todos los componentes deben estar contenidos en un solo componente, por lo que el espacio aproximado es irreducible. Desde la teoría general de las pilas algebraicas, esto implica que el cociente de la pila es irreducible. ${\displaystyle H_{g}^{o}}$ ${\displaystyle H_{g,i}}$ ${\displaystyle S^{*}=H_{g}\setminus H_{g}^{o}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}^{0}=H_{g}^{0}/\mathrm {PGL} (5g-6)}$ ${\displaystyle H_{g}^{o}}$ ${\displaystyle H_{g}}$ ${\displaystyle S^{*}}$ ${\displaystyle H_{g}}$ ${\displaystyle S^{*}}$ ${\displaystyle H_{g}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$

Propiedad

La propiedad , o compacidad de los orbifolds , se deriva de un teorema sobre la reducción estable en curvas. ^[1] Esto se puede encontrar utilizando un teorema de Grothendieck sobre la reducción estable de variedades abelianas , y mostrando su equivalencia con la reducción estable de curvas. ^{[1] sección 5.2}

Espacios de módulos gruesos

También se pueden considerar los espacios de módulos gruesos que representan clases de isomorfismo de curvas suaves o estables. Estos espacios de módulos gruesos en realidad se estudiaron antes de que se introdujera la noción de pila de módulos. De hecho, la idea de una pila de módulos fue introducida por Deligne y Mumford en un intento de demostrar la proyectividad de los espacios de módulos gruesos. En los últimos años, se ha hecho evidente que la pila de curvas es en realidad el objeto más fundamental.

Los espacios de módulos gruesos tienen la misma dimensión que las pilas cuando ; sin embargo, en el género cero el espacio de módulos gruesos tiene dimensión cero, y en el género uno, tiene dimensión uno. ${\displaystyle g>1}$

Ejemplos de espacios de módulos de género bajo

Género 0

La determinación de la geometría del espacio de módulos de las curvas de género se puede establecer mediante la teoría de la deformación . El número de módulos para una curva de género, por ejemplo , viene dado por el grupo de cohomología. ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$

${\displaystyle H^{1}(C,T_{C})}$

Con la dualidad de Serre, este grupo de cohomología es isomorfo a

${\displaystyle {\begin{aligned}H^{1}(C,T_{C})&\cong H^{0}(C,\omega _{C}\otimes T_{C}^{\vee })\\&\cong H^{0}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})\end{aligned}}}$

para la gavilla dualizante . Pero, usando Riemann-Roch se muestra que el grado del paquete canónico es , por lo que el grado de es , por lo tanto, no hay secciones globales, lo que significa ${\displaystyle \omega _{C}}$ ${\displaystyle -2}$ ${\displaystyle \omega _{C}^{\otimes 2}}$ ${\displaystyle -4}$

${\displaystyle H^{0}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})=0}$

mostrando que no hay deformaciones de las curvas de género. Esto demuestra que es solo un punto y que las únicas curvas de género están dadas por . La única dificultad técnica es el grupo de automorfismos de es el grupo algebraico , que se vuelve rígido una vez que se fijan tres puntos ^[2] , por lo que la mayoría de los autores entienden . ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle {\text{PGL}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0,3}}$

Género 1

El caso del género 1 es uno de los primeros casos bien comprendidos de espacios de módulos, al menos en los números complejos, porque las clases de isomorfismo de curvas elípticas se clasifican mediante el invariante J.

${\displaystyle j:{\mathcal {M}}_{1,1}|_{\mathbb {C} }\to \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{1}}$

dónde . Topológicamente, es solo la línea afín, pero se puede compactar en una pila con un espacio topológico subyacente agregando una curva estable en el infinito. Se trata de una curva elíptica con una sola cúspide. La construcción del caso general fue realizada originalmente por Deligne y Rapoport . ^[3] ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1,1}|_{\mathbb {C} }={\mathcal {M}}_{1,1}\times _{{\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}{\text{Spec}}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1,1}|_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}}$ ${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}$

Tenga en cuenta que la mayoría de los autores consideran el caso de curvas de género uno con un punto marcado como el origen del grupo, ya que de lo contrario el grupo estabilizador en un espacio de módulos hipotético tendría un grupo estabilizador en el punto dado por la curva, ya que las curvas elípticas tienen un grupo abeliano. estructura. Esto añade una complejidad técnica innecesaria a este hipotético espacio de módulos. Por otro lado, es una pila suave de Deligne-Mumford . ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1}}$ ${\displaystyle [C]\in {\mathcal {M}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1,1}}$

Género 2

Espacio de parámetros afines

En el género 2, es un resultado clásico que todas esas curvas son hiperelípticas , ^{[4] pg 298,} por lo que el espacio de módulos se puede determinar completamente a partir del lugar geométrico de la rama de la curva utilizando la fórmula de Riemann-Hurwitz . Dado que una curva arbitraria de género 2 está dada por un polinomio de la forma

${\displaystyle y^{2}-x(x-1)(x-a)(x-b)(x-c)}$

para algunas curvas definidas de forma única , el espacio de parámetros para tales curvas viene dado por ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {A} ^{1}}$

${\displaystyle \mathbb {A} ^{3}\setminus (\Delta _{a,b}\cup \Delta _{a,c}\cup \Delta _{b,c}),}$

donde corresponde al locus . ^[5] ${\displaystyle \Delta _{i,j}}$ ${\displaystyle i\neq j}$

Espacio proyectivo ponderado

Utilizando un espacio proyectivo ponderado y la fórmula de Riemann-Hurwitz , una curva hiperelíptica se puede describir como un polinomio de la forma ^[6]

${\displaystyle z^{2}=ax^{6}+bx^{5}y+cx^{4}y^{2}+dx^{3}y^{3}+ex^{2}y^{4}+fxy^{5}+gy^{6},}$

donde están los parámetros para las secciones de . Entonces, el lugar geométrico de las secciones que no contienen raíz triple contiene cada curva representada por un punto . ${\displaystyle a,\ldots ,f}$ ${\displaystyle \Gamma (\mathbb {P} (3,1),{\mathcal {O}}(g))}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle [C]\in {\mathcal {M}}_{2}}$

Género 3

Este es el primer espacio de módulos de curvas que tiene tanto un lugar hiperelíptico como un lugar no hiperelíptico. ^{[7] [8]} Todas las curvas no hiperelípticas están dadas por curvas planas de grado 4 (usando la fórmula de grado de género ), que están parametrizadas por el lugar geométrico suave en el esquema de hipersuperficies de Hilbert.

${\displaystyle \operatorname {Hilb} _{\mathbb {P} ^{2}}^{8t-4}\cong \mathbb {P} ^{{\binom {6}{4}}-1}}$.

Luego, el espacio de módulos se estratifica mediante las subpilas.

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{3}=[H_{2}/\mathrm {PGL} (3))]\coprod {\mathcal {M}}_{3}^{\mathrm {hyp} }}$.

Geometría biracional

Conjetura de unracionalidad

En todos los casos anteriores, se puede encontrar que los espacios de módulos son uniracionales , lo que significa que existe un morfismo racional dominante.

${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}\to {\mathcal {M}}_{g}}$

y durante mucho tiempo se esperó que esto fuera cierto en todos los géneros. De hecho, Severi había demostrado que esto era cierto para géneros hasta . ^[9] Aunque resulta que para el género ^{[10] [11] [12]} todos esos espacios de módulos son de tipo general, lo que significa que no son uniracionales. Lo lograron estudiando la dimensión de Kodaira de los espacios de módulos gruesos. ${\displaystyle 10}$ ${\displaystyle g\geq 23}$

${\displaystyle \kappa _{g}=\mathrm {Kod} ({\overline {\mathcal {M}}}_{g}),}$

y encontrado para . De hecho, para , ${\displaystyle \kappa _{g}>0}$ ${\displaystyle g\geq 23}$ ${\displaystyle g>23}$

${\displaystyle \kappa _{g}=3g-3=\dim({\mathcal {M}}_{g}),}$

y por tanto es de tipo general. ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$

Implicación geométrica

Esto es importante desde el punto de vista geométrico porque implica que cualquier sistema lineal en una variedad reglada no puede contener la curva universal . ^[13] ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{g}}$

Estratificación del límite

El espacio de módulos tiene una estratificación natural en el límite cuyos puntos representan curvas de género singulares. ^[14] Se descompone en estratos ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$ ${\displaystyle \partial {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle \partial {\overline {\mathcal {M}}}_{g}=\coprod _{0\leq h\leq (g/2)}\Delta _{h}^{*}}$,

dónde

• ${\displaystyle \Delta _{h}^{*}\cong {\overline {\mathcal {M}}}_{h}\times {\overline {\mathcal {M}}}_{g-h}}$para . ${\displaystyle 1\leq h<g/2}$
• ${\displaystyle \Delta _{0}^{*}\cong {\overline {\mathcal {M}}}_{g-1,2}/(\mathbb {Z} /2)}$donde la acción permuta los dos puntos marcados.
• ${\displaystyle \Delta _{g/2}\cong ({\overline {\mathcal {M}}}_{g/2}\times {\overline {\mathcal {M}}}_{g/2})/(\mathbb {Z} /2)}$siempre que sea par. ${\displaystyle g}$

Las curvas que se encuentran por encima de estos loci corresponden a

• Un par de curvas conectadas en un punto doble. ${\displaystyle C,C'}$
• La normalización de una curva de género en una singularidad de un solo punto doble. ${\displaystyle g}$
• Un par de curvas del mismo género conectadas en un punto doble hasta la permutación.

Estratificación para el género 2

Para el caso del género, existe una estratificación dada por ${\displaystyle 2}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial {\overline {\mathcal {M}}}_{2}&=\Delta _{0}^{*}\coprod \Delta _{1}^{*}\\&={\overline {\mathcal {M}}}_{1,2}/(\mathbb {Z} /2)\coprod ({\overline {\mathcal {M}}}_{1}\times {\overline {\mathcal {M}}}_{1})/(\mathbb {Z} /2)\end{aligned}}}$.

Se puede utilizar un análisis más detallado de estos estratos para dar a los generadores del anillo de Chow ^{[14] la proposición 9.1} . ${\displaystyle A^{*}({\overline {\mathcal {M}}}_{2})}$

Módulos de curvas marcadas

También se puede enriquecer el problema considerando la pila de módulos de curvas nodales de género g con n puntos marcados, distintos por pares y distintos de los nodos. Se dice que estas curvas marcadas son estables si el subgrupo de automorfismos de curvas que fijan los puntos marcados es finito. Las pilas de módulos resultantes de curvas suaves (o estables) de género g con n puntos marcados se denotan (o ) y tienen dimensión . ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$ ${\displaystyle 3g-3+n}$

Un caso de particular interés es la pila de módulos de curvas de género 1 con un punto marcado. Esta es la pila de curvas elípticas . Las formas modulares de nivel 1 son secciones de haces de líneas en esta pila, y las formas modulares de nivel N son secciones de haces de líneas en la pila de curvas elípticas con estructura de nivel N (aproximadamente una marca de los puntos de orden N ). ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}$

Geometría de límites

Una propiedad importante de los espacios de módulos compactados es que su límite se puede describir en términos de espacios de módulos para géneros . Dada una curva nodal marcada y estable, se puede asociar su gráfico dual , un gráfico con vértices etiquetados por números enteros no negativos y al que se le permite tener bucles, múltiples aristas y también medias aristas numeradas. Aquí los vértices del gráfico corresponden a componentes irreductibles de la curva nodal, el etiquetado de un vértice es el género aritmético del componente correspondiente, las aristas corresponden a nodos de la curva y las medias aristas corresponden a las marcas. El cierre del lugar geométrico de las curvas con un gráfico dual dado es isomorfo al cociente de pila de un producto de espacios de módulos compactados de curvas por un grupo finito. En el producto, el factor correspondiente a un vértice v tiene género g _v tomado del etiquetado y número de marcas igual al número de aristas salientes y medias aristas en v . El género total g es la suma de g _v más el número de ciclos cerrados en el gráfico. ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g',n'}}$ ${\displaystyle g'<g}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$ ${\displaystyle \prod _{v}{\overline {\mathcal {M}}}_{g_{v},n_{v}}}$ ${\displaystyle n_{v}}$

Las curvas estables cuyo gráfico dual contiene un vértice etiquetado por (por lo tanto, todos los demás vértices lo tienen y el gráfico es un árbol) se denominan "cola racional" y su espacio de módulos se denota . Las curvas estables cuyo gráfico dual es un árbol se denominan "tipo compacto" (porque el jacobiano es compacto) y se denota su espacio de módulos . ^[2] ${\displaystyle g_{v}=g}$ ${\displaystyle g_{v}=0}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}^{\mathrm {r.t.} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}^{\mathrm {c.} }}$

Ver también

• Conjetura de Witten
• anillo tautológico
• Teorema de Grothendieck-Riemann-Roch

Referencias

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2. Faber, Carel; Pandharipande, Rahul (2011). "Cohomología tautológica y no tautológica del espacio de módulos de curvas". arXiv : 1101.5489 [matemáticas.AG].
3. Deligne, P.; Rapoport, M. (1973), Les schémas de module de courbes elliptiques , Lecture Notes in Mathematics, vol. 349, Springer Berlin Heidelberg, págs. 143–316, doi :10.1007/bfb0066716, ISBN 978-3-540-06558-6, URL: http://publications.ias.edu/node/367
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Referencias clásicas

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Libros sobre módulos de curvas.

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• Arbarello, Enrico; Cornalba, Mauricio; Griffiths, Phillip A. (2011). Geometría de Curvas Algebraicas II . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 268.doi :10.1007/978-3-540-69392-5 . ISBN 978-3-540-42688-2.

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enlaces externos

• "Topología y geometría del espacio de módulos de curvas". El Instituto Americano de Matemáticas .
• "Módulos de mapas estables, invariantes de Gromov-Witten y cohomología cuántica"