Pila de cocientes

En geometría algebraica , una pila de cocientes es una pila que parametriza objetos equivariantes. Geométricamente, generaliza un cociente de un esquema o una variedad mediante un grupo : una variedad de cocientes, por ejemplo, sería una aproximación burda de una pila de cocientes.

La noción es de importancia fundamental en el estudio de las pilas: una pila que surge en la naturaleza es a menudo una pila cociente en sí misma o admite una estratificación por pilas cocientes (por ejemplo, una pila Deligne-Mumford ). Una pila cociente también se utiliza para construir otras pilas, como las pilas de clasificación .

Definición

Una pila de cocientes se define de la siguiente manera. Sea G un esquema de grupo suave afín sobre un esquema S y X un esquema S sobre el que G actúa . Sea la pila de cocientes la categoría sobre la categoría de esquemas S , donde ${\displaystyle [X/G]}$

• un objeto sobre T es un fibrado principal G junto con un mapa equivariante ; ${\displaystyle P\to T}$ ${\displaystyle P\to X}$
• un morfismo de a es un mapa de fibrado (es decir, forma un diagrama conmutativo) que es compatible con los mapas equivariantes y . ${\displaystyle P\to T}$ ${\displaystyle P'\to T'}$ ${\displaystyle P\to X}$ ${\displaystyle P'\to X}$

Supongamos que el cociente existe como un espacio algebraico (por ejemplo, por el teorema de Keel-Mori ). La función canónica ${\displaystyle X/G}$

${\displaystyle [X/G]\to X/G}$,

que envía un fibrado P sobre T a un punto T correspondiente , ^[1] no necesita ser un isomorfismo de pilas; es decir, el espacio "X/G" suele ser más burdo. La función canónica es un isomorfismo si y solo si los estabilizadores son triviales (en cuyo caso existe). ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle X/G}$

En general, se trata de una pila de Artin (también llamada pila algebraica). Si los estabilizadores de los puntos geométricos son finitos y reducidos, entonces se trata de una pila de Deligne–Mumford . ${\displaystyle [X/G]}$

Burt Totaro  (2004) ha demostrado: sea X una pila algebraica noetheriana normal cuyos grupos estabilizadores en puntos cerrados son afines. Entonces X es una pila cociente si y solo si tiene la propiedad de resolución ; es decir, cada haz coherente es un cociente de un fibrado vectorial. Anteriormente, Robert Wayne Thomason demostró que una pila cociente tiene la propiedad de resolución.

Ejemplos

Un orbifold cociente efectivo , por ejemplo, donde la acción solo tiene estabilizadores finitos en el espacio liso , es un ejemplo de una pila cociente. ^[2] ${\displaystyle [M/G]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$

Si con una acción trivial de (a menudo es un punto), entonces se denomina pila clasificadora de (en analogía con el espacio clasificador de ) y se suele denotar por . El teorema de Borel describe el anillo de cohomología de la pila clasificadora. ${\displaystyle X=S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle [S/G]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle BG}$

Módulos de haces de líneas

Uno de los ejemplos básicos de pilas de cocientes proviene de la pila de módulos de fibrados de líneas sobre , o sobre para la acción trivial sobre . Para cualquier esquema (o -esquema) , los -puntos de la pila de módulos son el grupoide de fibrados principales . ${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle [*/\mathbb {G} _{m}]}$ ${\displaystyle {\text{Sch}}}$ ${\displaystyle [S/\mathbb {G} _{m}]}$ ${\displaystyle {\text{Sch}}/S}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle P\to X}$

Módulos de fibrados lineales con n secciones

Existe otra pila de módulos estrechamente relacionada dada por la cual es la pila de módulos de fibrados de líneas con -secciones. Esto se desprende directamente de la definición de pilas de cocientes evaluadas en puntos. Para un esquema , los -puntos son el grupoide cuyos objetos están dados por el conjunto ${\displaystyle [\mathbb {A} ^{n}/\mathbb {G} _{m}]}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle [\mathbb {A} ^{n}/\mathbb {G} _{m}](X)=\left\{{\begin{matrix}P&\to &\mathbb {A} ^{n}\\\downarrow &&\\X\end{matrix}}:{\begin{aligned}&P\to \mathbb {A} ^{n}{\text{ is }}\mathbb {G} _{m}{\text{ equivariant and}}\\&P\to X{\text{ is a principal }}\mathbb {G} _{m}{\text{-bundle}}\end{aligned}}\right\}}$

El morfismo en la fila superior corresponde a las secciones del fibrado lineal asociado sobre . Esto se puede encontrar notando que dar un mapa -equivariante y restringirlo a la fibra da los mismos datos que una sección del fibrado. Esto se puede verificar mirando un gráfico y enviando un punto al mapa , notando que el conjunto de mapas -equivariantes es isomorfo a . Esta construcción luego se globaliza pegando gráficos afines, dando una sección global del fibrado. Dado que los mapas -equivariantes a son equivalentemente una -tupla de mapas -equivariantes a , el resultado es válido. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle \phi :P\to \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle P|_{x}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \phi _{x}}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle P|_{x}\to \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$

Módulos de leyes de grupos formales

Ejemplo: ^[3] Sea L el anillo de Lazard ; es decir, . Entonces la pila de cocientes por , ${\displaystyle L=\pi _{*}\operatorname {MU} }$ ${\displaystyle [\operatorname {Spec} L/G]}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle G(R)=\{g\in R[\![t]\!]|g(t)=b_{0}t+b_{1}t^{2}+\cdots ,b_{0}\in R^{\times }\}}$,

se llama pila de módulos de leyes de grupo formales , denotada por . ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\text{FG}}}$

Véase también

• Cociente de homotopía
• Pila de módulos de fibrados principales (que, aproximadamente, es un producto infinito de pilas de clasificación).
• Acción de esquema grupal
• Módulos de curvas algebraicas

Referencias

1. El punto T se obtiene completando el diagrama . ${\displaystyle T\leftarrow P\to X\to X/G}$
2. "Definición 1.7". Topología de cuerdas y orbifolds . Cambridge Tracts in Mathematics. pág. 4.
3. Tomado de http://www.math.harvard.edu/~lurie/252xnotes/Lecture11.pdf

• Deligne, Pierre ; Mumford, David (1969), "La irreductibilidad del espacio de curvas de un género dado", Publications Mathématiques de l'IHÉS , 36 (36): 75–109, CiteSeerX  10.1.1.589.288 , doi :10.1007/BF02684599, MR  0262240
• Totaro, Burt (2004). "La propiedad de resolución de esquemas y pilas". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 577 : 1–22. arXiv : matemáticas/0207210 . doi :10.1515/crll.2004.2004.577.1. SEÑOR  2108211.

Algunas otras referencias son

• Behrend, Kai (1991). La fórmula de trazas de Lefschetz para la pila de módulos de los fibrados principales (PDF) (Tesis). Universidad de California, Berkeley.
• Edidin, Dan. "Notas sobre la construcción del espacio de módulos de curvas" (PDF) .