Pila Deligne-Mumford

Tipo de objeto en geometría algebraica

En geometría algebraica , una pila de Deligne-Mumford es una pila F tal que

1. El morfismo diagonal es representable , cuasicompacto y separado. ${\displaystyle F\to F\times F}$
2. Existe un esquema U y un mapa sobreyectivo étale (llamado atlas). ${\displaystyle U\to F}$

Pierre Deligne y David Mumford introdujeron esta noción en 1969 cuando demostraron que los espacios de módulos de curvas estables de género aritmético fijo son pilas de Deligne-Mumford suaves y adecuadas .

Si el "étale" se debilita a " smooth ", entonces dicha pila se denomina pila algebraica (también llamada pila Artin, en honor a Michael Artin ). Un espacio algebraico es Deligne–Mumford.

Un hecho clave sobre una pila Deligne–Mumford F es que cualquier X en , donde B es cuasicompacto, tiene solo un número finito de automorfismos. Una pila Deligne–Mumford admite una presentación por un grupoide ; véase esquema de grupoide . ${\displaystyle F(B)}$

Ejemplos

Pilas afines

Las pilas de Deligne–Mumford se construyen típicamente tomando el cociente de pila de alguna variedad donde los estabilizadores son grupos finitos. Por ejemplo, considere la acción del grupo cíclico sobre dado por Entonces el cociente de pila es una pila de Deligne–Mumford suave afín con un estabilizador no trivial en el origen. Si deseamos pensar en esto como una categoría fibrada en grupoides sobre entonces dado un esquema la categoría sobre está dada por Nótese que podríamos ser ligeramente más generales si consideramos la acción del grupo sobre . ${\displaystyle C_{n}=\langle a\mid a^{n}=1\rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ $${\displaystyle a\cdot \colon (x,y)\mapsto (\zeta _{n}x,\zeta _{n}y).}$$ ${\displaystyle [\mathbb {C} ^{2}/C_{n}]}$ ${\displaystyle ({\text{Sch}}/\mathbb {C} )_{fppf}}$ ${\displaystyle S\to \mathbb {C} }$ $${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {C} [s]/(s^{n}-1))\times {\text{Spec}}(\mathbb {C} [x,y])(S)\rightrightarrows {\text{Spec}}(\mathbb {C} [x,y])(S).}$$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{2}\in {\text{Sch}}/{\text{Spec}}(\mathbb {Z} [\zeta _{n}])}$

Línea proyectiva ponderada

Los ejemplos no afines surgen cuando se toma el cociente de pila para el espacio/variedades proyectivos ponderados. Por ejemplo, el espacio se construye mediante el cociente de pila donde la -acción está dada por Nótese que, dado que este cociente no es de un grupo finito, tenemos que buscar puntos con estabilizadores y sus respectivos grupos estabilizadores. Entonces, si y solo si o y o , respectivamente, lo que demuestra que los únicos estabilizadores son finitos, por lo tanto, la pila es Deligne-Mumford. ${\displaystyle \mathbb {P} (2,3)}$ ${\displaystyle [\mathbb {C} ^{2}-\{0\}/\mathbb {C} ^{*}]}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ $${\displaystyle \lambda \cdot (x,y)=(\lambda ^{2}x,\lambda ^{3}y).}$$ ${\displaystyle (x,y)=(\lambda ^{2}x,\lambda ^{3}y)}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle y=0}$ ${\displaystyle \lambda =\zeta _{3}}$ ${\displaystyle \lambda =\zeta _{2}}$

Curva apilada

No-ejemplo

Un ejemplo simple de pila Deligne-Mumford es que tiene un estabilizador infinito. Las pilas de esta forma son ejemplos de pilas de Artin. ${\displaystyle [pt/\mathbb {C} ^{*}]}$

Referencias

• Deligne, Pierre ; Mumford, David (1969), "La irreducibilidad del espacio de curvas de género dado", Publications Mathématiques de l'IHÉS , 36 (1): 75–109, CiteSeerX  10.1.1.589.288 , doi :10.1007/BF02684599, MR  0262240