En matemáticas , el paquete universal en la teoría de haces de fibras con un grupo estructural dado un grupo topológico G , es un paquete específico sobre un espacio de clasificación BG , de modo que cada paquete con el grupo estructural dado G sobre M es un retroceso por medio de un mapa continuo M → BG .
Cuando la definición del espacio de clasificación tiene lugar dentro de la categoría de homotopía de los complejos CW , los teoremas de existencia para paquetes universales surgen del teorema de representabilidad de Brown .
Primero probaremos:
Prueba. Existe una inyección de G en un grupo unitario U ( n ) para n suficientemente grande. [1] Si encontramos EU ( n ), entonces podemos considerar que EG es EU ( n ) . La construcción de EU ( n ) se da en el espacio de clasificación para U ( n ) .
El siguiente teorema es un corolario de la proposición anterior.
Prueba. Por un lado, el retroceso del paquete π : EG → BG por la proyección natural P × G EG → BG es el paquete P × EG . Por otro lado, el retroceso del paquete G principal P → M por la proyección p : P × G EG → M también es P × EG
Dado que p es una fibración con fibra contráctil EG , existen secciones de p . [2] A dicha sección s asociamos la composición con la proyección P × G EG → BG . El mapa que obtenemos es el que estábamos buscando.
Para la unicidad hasta la homotopía, observe que existe una correspondencia uno a uno entre los mapas f : M → BG tal que f ∗ ( EG ) → M es isomorfo a P → M y secciones de p . Acabamos de ver cómo asociar una f a una sección. Inversamente, supongamos que se da f . Sea Φ : f ∗ ( EG ) → P un isomorfismo:
Ahora, simplemente define una sección por
Como todas las secciones de p son homotópicas, la clase de homotopía de f es única.
El espacio total de un paquete universal generalmente se escribe EG . Estos espacios son interesantes por derecho propio, a pesar de que suelen ser contraíbles . Por ejemplo, al definir el cociente de homotopía o el espacio orbital de homotopía de una acción grupal de G , en los casos en que el espacio orbital sea patológico (en el sentido de ser un espacio no de Hausdorff , por ejemplo). La idea, si G actúa sobre el espacio X , es considerar en cambio la acción sobre Y = X × EG , y el cociente correspondiente. Consulte cohomología equivariante para una discusión más detallada.
Si EG es contráctil entonces X e Y son espacios equivalentes de homotopía . Pero la acción diagonal sobre Y , es decir, donde G actúa sobre las coordenadas X y EG , puede comportarse bien cuando la acción sobre X no lo es.