En matemáticas , cuando un fenómeno matemático contradice alguna intuición, a veces se lo llama patológico . Por otro lado, si un fenómeno no contradice la intuición, a veces se lo llama bien comportado o agradable . Estos términos a veces son útiles en la investigación y la enseñanza de las matemáticas, pero no existe una definición matemática estricta de patológico o de buen comportamiento. [1]
Un ejemplo clásico de patología es la función de Weierstrass , una función que es continua en todas partes pero no diferenciable en ninguna. [1] La suma de una función diferenciable y la función de Weierstrass es nuevamente continua pero no diferenciable en ninguna parte; por lo tanto, hay al menos tantas funciones de este tipo como funciones diferenciables. De hecho, utilizando el teorema de la categoría de Baire , se puede demostrar que las funciones continuas no son diferenciables en ninguna parte de manera genérica . [2]
Estos ejemplos se consideraron patológicos cuando se descubrieron por primera vez. Para citar a Henri Poincaré : [3]
La lógica a veces engendra monstruos. Desde hace medio siglo, han surgido multitud de funciones extrañas que parecen esforzarse por parecerse lo menos posible a funciones honestas que tienen alguna utilidad. No más continuidad, o bien continuidad pero sin derivadas, etc. Más aún, desde el punto de vista de la lógica, son estas funciones extrañas las más generales; las que se encuentran sin que se las busque ya no aparecen como algo más que un caso particular y sólo les queda un pequeño rincón.
Antiguamente, cuando se inventaba una nueva función, se hacía con vistas a algún fin práctico. Hoy se inventan con el propósito de demostrar que los razonamientos de nuestros antepasados eran erróneos, y nunca sacaremos de ellas nada más que eso.
Si la lógica fuera la única guía del profesor, éste tendría que empezar por las funciones más generales, es decir, por las más extrañas. Tendría que poner al principiante a luchar con esta colección de monstruosidades. Si no se hace así, podrían decir los lógicos, sólo se alcanzará la exactitud por etapas.
— Henri Poincaré , Ciencia y método (1899), (traducción de 1914), página 125
Desde Poincaré, en ningún otro lugar se ha demostrado que aparezcan funciones diferenciables en procesos físicos y biológicos básicos como el movimiento browniano y en aplicaciones como el modelo de Black-Scholes en finanzas.
Contraejemplos en el análisis es un libro completo de este tipo de contraejemplos. [4]
Otro ejemplo de función patológica es la función continua de Du-Bois Reymond , que no puede representarse como una serie de Fourier . [5]
Las elecciones en las que los sistemas de votación muestran un comportamiento contraintuitivo o indeseable suelen calificarse de patológicas. El efecto saboteador es un ejemplo bien conocido de patología electoral, porque los resultados de una contienda entre los candidatos A y B dependen paradójicamente del comportamiento o la calidad de algún otro candidato C.
Las preferencias o votos en una elección también pueden considerarse patológicos si los votantes muestran preferencias inusuales con resultados contraintuitivos. La situación más notable de este tipo es la paradoja de la votación , en la que las preferencias de un grupo, agregadas mediante una serie de votos mayoritarios, darán lugar a una contradicción interna. Alternativamente, puede haber una configuración de tiranía de la mayoría ; en tales situaciones, los ganadores socialmente óptimos y los que gobiernan la mayoría pueden entrar en conflicto entre sí, obligando al sistema electoral a elegir entre la voluntad de la mayoría y los derechos de una minoría. En la práctica, sin embargo, la mayoría de los resultados electorales patológicos no surgen de esas elecciones "forzadas", sino más bien de sistemas electorales mal diseñados.
La votación por orden de preferencia (el voto único transferible ) se describe a menudo como una función de elección social inusualmente patológica , debido a su tendencia a eliminar a los candidatos preferidos por la mayoría por ganar demasiados votos . [6] [7] [8]
Un contraejemplo famoso en topología es la esfera con cuernos de Alexander , que muestra que la incrustación topológica de la esfera S 2 en R 3 puede no lograr separar el espacio de manera limpia. Como contraejemplo, motivó a los matemáticos a definir la propiedad de mansedumbre , que suprime el tipo de comportamiento salvaje exhibido por la esfera con cuernos, el nudo salvaje y otros ejemplos similares. [9]
Como muchas otras patologías, la esfera con cuernos juega en cierto sentido con una estructura infinitamente fina, generada recursivamente, que en el límite viola la intuición ordinaria. En este caso, la topología de una cadena siempre descendente de bucles entrelazados de piezas continuas de la esfera en el límite refleja plenamente la de la esfera común, y uno esperaría que el exterior de esta, después de una incrustación, funcionara de la misma manera. Sin embargo, no es así: no logra estar simplemente conectada .
Para la teoría subyacente, véase el teorema de Jordan-Schönflies .
Contraejemplos en topología es un libro completo de este tipo de contraejemplos. [10]
Los matemáticos (y los que se dedican a ciencias relacionadas) hablan muy frecuentemente de si un objeto matemático (una función , un conjunto , un espacio de un tipo u otro) se "comporta bien" . Si bien el término no tiene una definición formal fija, generalmente se refiere a la cualidad de satisfacer una lista de condiciones prevalecientes, que pueden depender del contexto, los intereses matemáticos, la moda y el gusto. Para garantizar que un objeto se "comporte bien", los matemáticos introducen más axiomas para limitar el dominio de estudio. Esto tiene el beneficio de facilitar el análisis, pero produce una pérdida de generalidad de las conclusiones alcanzadas.
Tanto en matemáticas puras como aplicadas (por ejemplo, optimización , integración numérica , física matemática ), buen comportamiento también significa no violar ninguna suposición necesaria para aplicar con éxito cualquier análisis que se esté discutiendo.
El caso opuesto suele calificarse de "patológico". No es raro que haya situaciones en las que la mayoría de los casos (en términos de cardinalidad o medida ) sean patológicos, pero los casos patológicos no se presenten en la práctica, a menos que se construyan deliberadamente.
El término "buena conducta" se aplica generalmente en un sentido absoluto: algo se comporta bien o no. Por ejemplo:
Curiosamente, el término también podría aplicarse en sentido comparativo:
Los ejemplos patológicos suelen tener algunas propiedades indeseables o inusuales que dificultan su inclusión o explicación en una teoría. Estas conductas patológicas suelen dar lugar a nuevas investigaciones que conducen a nuevas teorías y resultados más generales. Algunos ejemplos históricos importantes de esto son:
En el momento de su descubrimiento, cada uno de estos se consideraba altamente patológico; hoy, cada uno de ellos ha sido asimilado a la teoría matemática moderna. Estos ejemplos incitan a sus observadores a corregir sus creencias o intuiciones, y en algunos casos requieren una reevaluación de las definiciones y conceptos fundamentales. A lo largo de la historia, han conducido a matemáticas más correctas, más precisas y más poderosas. Por ejemplo, la función de Dirichlet es integrable según el método de Lebesgue, y la convolución con funciones de prueba se utiliza para aproximar cualquier función localmente integrable mediante funciones suaves. [Nota 1]
Por definición, determinar si una conducta es patológica o no depende de la intuición personal. Las patologías dependen del contexto, la formación y la experiencia, y lo que es patológico para un investigador puede muy bien ser un comportamiento normal para otro.
Los ejemplos patológicos pueden mostrar la importancia de los supuestos de un teorema. Por ejemplo, en estadística , la distribución de Cauchy no satisface el teorema del límite central , aunque su forma de campana simétrica parece similar a muchas distribuciones que sí lo satisfacen; no cumple el requisito de tener una media y una desviación estándar que existan y sean finitas.
Algunas de las paradojas más conocidas , como la de Banach-Tarski y la de Hausdorff , se basan en la existencia de conjuntos no mensurables . Los matemáticos, a menos que adopten la posición minoritaria de negar el axioma de elección , en general se resignan a vivir con tales conjuntos. [ cita requerida ]
En informática , patológico tiene un sentido ligeramente diferente en relación con el estudio de algoritmos . Aquí, se dice que una entrada (o un conjunto de entradas) es patológica si provoca un comportamiento atípico del algoritmo, como una violación de su complejidad de caso promedio , o incluso de su corrección. Por ejemplo, las tablas hash generalmente tienen entradas patológicas: conjuntos de claves que colisionan en valores hash. Quicksort normalmente tiene complejidad temporal, pero se deteriora cuando se le proporciona una entrada que desencadena un comportamiento subóptimo.
El término se utiliza a menudo de forma peyorativa, como una forma de descartar dichas entradas por estar especialmente diseñadas para romper una rutina que, de otro modo, es sólida en la práctica (compárese con Byzantine ). Por otro lado, es importante estar al tanto de las entradas patológicas, ya que pueden explotarse para montar un ataque de denegación de servicio en un sistema informático. Además, el término en este sentido es una cuestión de juicio subjetivo, como en sus otros sentidos. Si se dispone de suficiente tiempo de ejecución, una comunidad de usuarios suficientemente grande y diversa (u otros factores), podría producirse una entrada que pueda descartarse como patológica (como se vio en el primer vuelo de prueba del Ariane 5 ).
Un fenómeno similar pero distinto es el de los objetos excepcionales (y los isomorfismos excepcionales ), que se produce cuando hay un número "pequeño" de excepciones a un patrón general (como un conjunto finito de excepciones a una regla que, de otro modo, sería infinita). Por el contrario, en los casos de patología, a menudo la mayoría o casi todos los casos de un fenómeno son patológicos (por ejemplo, casi todos los números reales son irracionales).
Subjetivamente, los objetos excepcionales (como el icosaedro o los grupos simples esporádicos ) se consideran generalmente "bellos", ejemplos inesperados de una teoría, mientras que los fenómenos patológicos a menudo se consideran "feos", como lo indica el nombre. En consecuencia, las teorías suelen ampliarse para incluir objetos excepcionales. Por ejemplo, las álgebras de Lie excepcionales se incluyen en la teoría de las álgebras de Lie semisimples : los axiomas se consideran buenos, los objetos excepcionales, inesperados pero válidos.
Por el contrario, los ejemplos patológicos se toman para señalar una deficiencia en los axiomas, requiriendo axiomas más fuertes para descartarlos. Por ejemplo, exigir la docilidad de una incrustación de una esfera en el problema de Schönflies . En general, se puede estudiar la teoría más general, incluidas las patologías, que pueden proporcionar sus propias simplificaciones (los números reales tienen propiedades muy diferentes de los racionales, y de la misma manera las aplicaciones continuas tienen propiedades muy diferentes de las suaves), pero también la teoría más estrecha, de la que se extrajeron los ejemplos originales.
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