Glosario de jerga matemática

El lenguaje de las matemáticas tiene un vasto vocabulario de términos técnicos y especializados. También tiene cierta cantidad de jerga : frases de uso común que forman parte de la cultura de las matemáticas, más que de la materia. La jerga aparece a menudo en conferencias, y a veces en forma impresa, como abreviatura informal de argumentos rigurosos o ideas precisas. Gran parte de esto es inglés común, pero con un significado específico no obvio cuando se usa en un sentido matemático.

Algunas frases, como "en general", aparecen a continuación en más de una sección.

Filosofía de las matemáticas

tonterías abstractas: Una referencia irónica a la teoría de categorías , mediante la cual se pueden emplear argumentos que establezcan un resultado (posiblemente concreto) sin hacer referencia a ningún detalle específico del presente problema. Por esa razón, también se le conoce como disparate abstracto general o disparate abstracto generalizado .

[El artículo de Eilenberg y Mac Lane (1942)] introdujo la idea muy abstracta de una " categoría ", ¡un tema entonces llamado "tontería abstracta general"!
— Saunders Mac Lane (1997)

[ Grothendieck ] elevó la geometría algebraica a un nuevo nivel de abstracción... si ciertos matemáticos pudieran consolarse por un tiempo con la esperanza de que todas estas estructuras complicadas fueran 'abstractos sin sentido'... los artículos posteriores de Grothendieck y otros demostraron que la geometría clásica Los problemas... que habían resistido los esfuerzos de varias generaciones de matemáticos talentosos, podían resolverse en términos de... conceptos complicados.
—Michael Monastyrsky (2001)

canónico: Una referencia a una presentación estándar o libre de elección de algún objeto matemático (por ejemplo, mapa canónico, forma canónica u orden canónico). El mismo término también puede usarse de manera más informal para referirse a algo "estándar" o "clásico". Por ejemplo, se podría decir que la prueba de Euclides es la "prueba canónica" de la infinitud de los números primos .

Hay dos pruebas canónicas que siempre se utilizan para mostrar a los no matemáticos cómo es una prueba matemática:
—La prueba de que existen infinitos números primos .
—La prueba de la irracionalidad de la raíz cuadrada de dos .
— Freek Wiedijk (2006, p.2)

profundo: Un resultado se denomina "profundo" si su demostración requiere conceptos y métodos que van más allá de los conceptos necesarios para formular el resultado. Por ejemplo, el teorema de los números primos , originalmente demostrado mediante técnicas de análisis complejo , alguna vez se pensó que era un resultado profundo hasta que se encontraron demostraciones elementales . ^[1] Por otro lado, generalmente se sabe que el hecho de que π sea irracional es un resultado profundo, porque requiere un desarrollo considerable de análisis real antes de que se pueda establecer la prueba, incluso aunque la afirmación misma pueda expresarse en términos de Teoría de números simples y geometría .
elegante: Término estético que se refiere a la capacidad de una idea para proporcionar una visión de las matemáticas, ya sea unificando campos dispares, introduciendo una nueva perspectiva en un solo campo o proporcionando una técnica de prueba que sea particularmente simple o que capture la intuición o imaginación de por qué el resultado que demuestra es verdadero. En algunas ocasiones, el término "hermoso" también puede usarse con el mismo efecto, aunque Gian-Carlo Rota distinguió entre elegancia de presentación y belleza de concepto , diciendo que, por ejemplo, algunos temas se pueden escribir elegantemente aunque el contenido matemático sea no es hermoso, y algunos teoremas o demostraciones son hermosos, pero se puede escribir sobre ellos de manera poco elegante.

La belleza de una teoría matemática es independiente de las cualidades estéticas... de las rigurosas exposiciones de la teoría. Es posible que algunas teorías hermosas nunca reciban una presentación que coincida con su belleza... También se pueden encontrar ejemplos de teorías mediocres de belleza cuestionable que reciben exposiciones brillantes y emocionantes... [La teoría de categorías] es rica en definiciones hermosas y reveladoras. y pobres en demostraciones elegantes... [Los teoremas] siguen siendo torpes y aburridos... [Las exposiciones de geometría proyectiva ] competían entre sí en elegancia de presentación y en inteligencia de demostración... En retrospectiva, uno se pregunta qué todo el alboroto fue por.

Los matemáticos pueden decir que un teorema es hermoso cuando en realidad quieren decir que es esclarecedor. Reconocemos la belleza de un teorema cuando vemos cómo el teorema "encaja" en su lugar... Decimos que una prueba es hermosa cuando dicha prueba finalmente revela el secreto del teorema...
— Gian-Carlo Rota (1977, págs. 173–174, págs. 181–182)

elemental: Una prueba o un resultado se denomina "elemental" si sólo involucra conceptos y métodos básicos en el campo, y debe contrastarse con resultados profundos que requieren un mayor desarrollo dentro o fuera del campo. El concepto de "prueba elemental" se utiliza específicamente en la teoría de números , donde suele referirse a una prueba que no recurre a métodos procedentes del análisis complejo .
folklore: Un resultado se llama "folclore" si no es obvio ni está publicado, pero es generalmente conocido por los especialistas de un campo. En muchos escenarios, no está claro quién obtuvo primero el resultado, aunque si el resultado es significativo, eventualmente puede llegar a los libros de texto, con lo cual deja de ser folklore.

Muchos de los resultados mencionados en este artículo deben considerarse "folclore", ya que simplemente exponen formalmente ideas que son bien conocidas por los investigadores en el área, pero que pueden no ser obvias para los principiantes y, hasta donde yo sé, no aparecen en ningún otro lugar. en la impresión.
— Russell Impagliazzo (1995)

Sofística: Un término relacionado con declaraciones. Si una afirmación es falsa, se dice que exhibe artimañas . "¿Qué quieres decir con que un subconjunto de R es compacto si y sólo si está acotado? ¡Esto es una trampa!"

natural: Similar a "canónico" pero más específico, y que hace referencia a una descripción (casi exclusivamente en el contexto de transformaciones ) que se mantiene independientemente de cualquier elección. Aunque se ha utilizado informalmente durante mucho tiempo, este término ha encontrado una definición formal en la teoría de categorías.
patológico: Un objeto se comporta patológicamente (o, en un sentido más amplio, degenerado ) si no se ajusta al comportamiento genérico de dichos objetos, no satisface ciertas propiedades de regularidad dependientes del contexto o simplemente desobedece la intuición matemática . En muchas ocasiones estos pueden ser y muchas veces son requisitos contradictorios, mientras que en otras ocasiones el término se utiliza más deliberadamente para referirse a un objeto construido artificialmente como contraejemplo de estas propiedades. Un ejemplo simple es que a partir de la definición de un triángulo que tiene ángulos que suman π radianes, una sola línea recta se ajusta patológicamente a esta definición.

Desde hace medio siglo hemos visto surgir una multitud de funciones extrañas que parecen tratar de parecerse lo menos posible a las funciones honestas que sirven a algún propósito... Es más, desde el punto de vista lógico, son estas funciones extrañas las que son los más generales... hoy se inventan expresamente para criticar los razonamientos de nuestros padres...
— Henri Poincaré (1913)

[La función de Dirichlet ] adquirió una enorme importancia... como incentivo para la creación de nuevos tipos de funciones cuyas propiedades se alejaban completamente de lo que intuitivamente parecía admisible. Un ejemplo célebre de la llamada función "patológica"... es el proporcionado por Weierstrass ... Esta función es continua pero no diferenciable .
— J. Sousa Pinto (2004)

Tenga en cuenta para esta última cita que como las funciones diferenciables son escasas en el espacio de funciones continuas, como descubrió Banach en 1931, las funciones diferenciables son coloquialmente hablando una rara excepción entre las continuas. Por lo tanto, ya casi no se puede defender llamar patológicas a funciones continuas no diferenciables.
rigor (rigor): El acto de establecer un resultado matemático utilizando una lógica indiscutible, en lugar de un argumento descriptivo informal. El rigor es una cualidad fundamental de las matemáticas y puede desempeñar un papel importante para evitar que las matemáticas degeneren en falacias.
de buen comportamiento: Un objeto se porta bien (en contraste con ser patológico ) si satisface ciertas propiedades de regularidad prevalecientes, o si se ajusta a la intuición matemática (aunque la intuición a menudo también puede sugerir comportamientos opuestos). En algunas ocasiones (p. ej., análisis ), el término " suave " también puede utilizarse con el mismo efecto.

Informalidades descriptivas

Aunque, en última instancia, todo argumento matemático debe cumplir con un alto estándar de precisión, los matemáticos utilizan declaraciones descriptivas pero informales para discutir temas o conceptos recurrentes con declaraciones formales difíciles de manejar. Tenga en cuenta que muchos de los términos son completamente rigurosos en contexto.

casi todos: Término abreviado para "todos excepto un conjunto de medidas cero ", cuando hay una medida de la que hablar. Por ejemplo, "casi todos los números reales son trascendentales " porque los números reales algebraicos forman un subconjunto contable de los números reales con medida cero. También se puede hablar de que "casi todos" los números enteros tienen la propiedad de significar "todos excepto un número finito", a pesar de que los números enteros no admiten una medida que concuerde con el uso anterior. Por ejemplo, "casi todos los números primos son impares ". También existe un significado más complicado para los números enteros, que se analiza en el artículo principal. Por último, este término se utiliza en ocasiones como sinónimo de genérico , a continuación.
arbitrariamente grande: Nociones que surgen mayormente en el contexto de límites , refiriéndose a la recurrencia de un fenómeno a medida que se acerca al límite. Una afirmación como que el predicado P se satisface con valores arbitrariamente grandes se puede expresar en notación más formal como ∀ x : ∃ y ≥ x : P ( y ) . Ver también frecuentemente . La afirmación de que la cantidad f ( x ) que depende de x "puede hacerse" arbitrariamente grande, corresponde a ∀ y : ∃ x : f ( x ) ≥ y .
arbitrario: Una abreviatura del cuantificador universal . Una elección arbitraria es aquella que se hace sin restricciones o, alternativamente, una declaración es válida para un elemento arbitrario de un conjunto si es válida para cualquier elemento de ese conjunto. También hay mucho en el uso del lenguaje general entre los matemáticos: "Por supuesto, este problema puede ser arbitrariamente complicado".
eventualmente: En el contexto de los límites, éste es un significado abreviado para argumentos suficientemente amplios ; los argumentos relevantes están implícitos en el contexto. Como ejemplo, la función log(log( x )) eventualmente llega a ser mayor que 100"; en este contexto, "eventualmente" significa "para x suficientemente grande ".
factorizar a través de: Término de la teoría de categorías que se refiere a la composición de morfismos . Si para tres objetos A , B y C se puede escribir un mapa como una composición con y , entonces se dice que f factoriza cualquiera (y todos) de , y . $f\dos puntos A\to C$ $f=h\circg$ $g\dos puntos A\a B$ $h\dos puntos B\a C$ $B$ $g$ $h$
finito: Cuando se dice del valor de una variable que asume valores de los reales extendidos no negativos, el significado suele ser "no infinito". Por ejemplo, si se dice que la varianza de una variable aleatoria es finita, esto implica que es un número real no negativo, posiblemente cero. Sin embargo, en algunos contextos, por ejemplo en "una amplitud pequeña pero finita", se excluyen el cero y los infinitesimales. Cuando se dice del valor de una variable que asume valores de los números naturales extendidos, el significado es simplemente "no infinito". Cuando se dice de un conjunto o de un objeto matemático cuyo componente principal es un conjunto, significa que la cardinalidad del conjunto es menor que . $\mathbb {R} _{\geq 0}\cup \{\infty \},$ $\mathbb {N} \cup \{\infty \},$ $\aleph _{0}$
frecuentemente: En el contexto de los límites, esto es una abreviatura de argumentos arbitrariamente extensos y sus parientes; Al igual que con Eventualmente , la variante prevista está implícita. Como ejemplo, la secuencia está frecuentemente en el intervalo (1/2, 3/2), porque hay n arbitrariamente grandes para los cuales el valor de la secuencia está en el intervalo. $(-1)^{n}$
formal, formalmente: Califica cualquier cosa que sea lo suficientemente precisa como para ser traducida directamente en un sistema formal . Por ejemplo. una prueba formal , una definición formal .
genérico: Este término tiene connotaciones similares a casi todos , pero se usa particularmente para conceptos fuera del ámbito de la teoría de la medida . Una propiedad se cumple "genéricamente" en un conjunto si el conjunto satisface alguna noción de densidad (dependiente del contexto), o quizás si su complemento satisface alguna noción de pequeñez (dependiente del contexto). Por ejemplo, se dice que una propiedad que se cumple en un G _δdenso ( intersección de un número contable de conjuntos abiertos ) se cumple genéricamente. En geometría algebraica , se dice que una propiedad de los puntos en una variedad algebraica que se cumple en un conjunto abierto denso de Zariski es verdadera genéricamente; sin embargo, normalmente no se dice que una propiedad que se cumple simplemente en un conjunto denso (que no es abierto de Zariski) sea genérica en esta situación.
en general: En un contexto descriptivo, esta frase introduce una caracterización simple de una amplia clase de objetos, con miras a identificar un principio unificador. Este término introduce una descripción "elegante" que se aplica a objetos "arbitrarios". Las excepciones a esta descripción pueden mencionarse explícitamente como casos "patológicos".

Norbert A'Campo, de la Universidad de Basilea, preguntó una vez a Grothendieck sobre algo relacionado con los sólidos platónicos . Grothendieck recomendó precaución. Los sólidos platónicos son tan bellos y tan excepcionales, dijo, que no se puede suponer que una belleza tan excepcional se mantenga en situaciones más generales.
— Allyn Jackson (2004, p.1197)

lado izquierdo, lado derecho (LHS, RHS): La mayoría de las veces, se refieren simplemente al lado izquierdo o derecho de una ecuación ; por ejemplo, tiene en el LHS y en el RHS. Ocasionalmente, se utilizan en el sentido de valorl y valorr: un RHS es primitivo y un LHS es derivado. $x=y+1$ $x$ $y+1$
lindo: Un objeto matemático se denomina coloquialmente agradable o suficientemente agradable si satisface hipótesis o propiedades, a veces no especificadas o incluso desconocidas, que son especialmente deseables en un contexto determinado. Es un antónimo informal de patológico . Por ejemplo, se podría conjeturar que un operador diferencial debería satisfacer una determinada condición de acotación "para funciones de prueba agradables", o se podría afirmar que algún invariante topológico interesante debería ser computable "para espacios agradables X ".
sobre: Una función (que en matemáticas se define generalmente como mapear los elementos de un conjunto A con elementos de otro B ) se llama " A sobre B " (en lugar de " A sobre B " o " A sobre B ") sólo si es sobreyectiva. ; incluso se puede decir que " f es sobre" (es decir, sobreyectiva). No traducible (sin circunloquios) a algunos idiomas distintos del inglés.
adecuado: Si, para alguna noción de subestructura, los objetos son subestructuras de sí mismos (es decir, la relación es reflexiva ), entonces la calificación propiamente dicha requiere que los objetos sean diferentes. Por ejemplo, un subconjunto propio de un conjunto S es un subconjunto de S que es diferente de S , y un divisor propio de un número n es un divisor de n que es diferente de n . Esta palabra sobrecargada tampoco es una jerga para un morfismo adecuado .
regular: Una función se llama regular si satisface propiedades satisfactorias de continuidad y diferenciabilidad, que a menudo dependen del contexto. Estas propiedades podrían incluir poseer un número específico de derivadas , y la función y sus derivadas exhiben alguna propiedad interesante (ver arriba ), como la continuidad de Hölder . De manera informal, este término a veces se utiliza como sinónimo de suave , a continuación. Estos usos imprecisos de la palabra regular no deben confundirse con la noción de espacio topológico regular , que está rigurosamente definido.
resp.: (Respectivamente) Una convención para acortar exposiciones paralelas. " A (resp. B ) [tiene alguna relación con] X (resp. Y ) " significa que A [tiene alguna relación con] X y también que B [tiene (la misma) relación con] Y. Por ejemplo, los cuadrados (o triángulos) tienen 4 lados (o 3 lados); o espacios compactos (resp. Lindelöf ) son aquellos en los que cada cubierta abierta tiene una subcubierta abierta finita (resp. contable).
afilado: A menudo, un teorema matemático establecerá restricciones sobre el comportamiento de algún objeto; por ejemplo, se mostrará que una función tiene un límite superior o inferior . La restricción es aguda (a veces óptima ) si no se puede hacer más restrictiva sin fallar en algunos casos. Por ejemplo, para números reales arbitrarios no negativos x , la función exponencial e ^x , donde e = 2,7182818..., da un límite superior a los valores de la función cuadrática x ² . Esto no es agudo; la brecha entre las funciones es en todas partes al menos 1. Entre las funciones exponenciales de la forma α ^x , establecer α = e ^{2/ e} = 2.0870652... da como resultado un límite superior pronunciado; la elección ligeramente menor α = 2 no produce un límite superior, ya que entonces α ³ = 8 < 3 ² . En los campos aplicados, la palabra "apretado" se utiliza a menudo con el mismo significado. ^[2]
liso: La suavidad es un concepto al que las matemáticas han dotado de muchos significados, desde la simple diferenciabilidad hasta la diferenciabilidad infinita y la analiticidad , y otros más complicados. Cada uno de estos usos intenta invocar la noción físicamente intuitiva de suavidad.
fuerte, más fuerte: Se dice que un teorema es fuerte si deduce resultados restrictivos a partir de hipótesis generales. Un ejemplo célebre es el teorema de Donaldson , que impone estrictas restricciones a lo que de otro modo parecería ser una gran clase de variedades. Este uso (informal) refleja la opinión de la comunidad matemática: tal teorema no sólo debe ser sólido en el sentido descriptivo (a continuación), sino que también debe ser definitivo en su área. Un teorema, resultado o condición se considera más fuerte que otro si se puede obtener fácilmente una demostración del segundo a partir del primero, pero no a la inversa. Un ejemplo es la secuencia de teoremas: el pequeño teorema de Fermat , el teorema de Euler , el teorema de Lagrange , cada uno de los cuales es más fuerte que el anterior; otra es que un límite superior nítido (ver nítido arriba) es un resultado más fuerte que uno no nítido. Finalmente, el adjetivo fuerte o el adverbio fuertemente pueden agregarse a una noción matemática para indicar una noción más fuerte relacionada; por ejemplo, una anticadena fuerte es una anticadena que satisface ciertas condiciones adicionales y, de la misma manera, un gráfico fuertemente regular es un gráfico regular que cumple condiciones más fuertes. Cuando se utiliza de esta manera, la noción más fuerte (como "anticadena fuerte") es un término técnico con un significado definido con precisión; la naturaleza de las condiciones adicionales no puede derivarse de la definición de la noción más débil (como "anticadena").
suficientemente grande , adecuadamente pequeño, suficientemente cerca: En el contexto de los límites, estos términos se refieren a algún punto (no especificado, incluso desconocido) en el que prevalece un fenómeno a medida que se acerca al límite. Una afirmación como la de que el predicado P es válido para valores suficientemente grandes se puede expresar en notación más formal como ∃ x : ∀ y ≥ x : P ( y ). Ver también eventualmente .
abajo arriba: Término descriptivo que se refiere a la notación en la que dos objetos se escriben uno encima del otro; el superior está arriba y el inferior, abajo . Por ejemplo, en un haz de fibras , a menudo se dice que el espacio total está arriba y el espacio de base abajo . En una fracción , ocasionalmente se hace referencia al numerador como arriba y al denominador abajo , como en "llevar un término arriba".
hasta , módulo, mod fuera por: Una extensión al discurso matemático de las nociones de aritmética modular . Un enunciado es verdadero hasta una condición si el establecimiento de esa condición es el único impedimento a la verdad del enunciado. También se utiliza cuando se trabaja con miembros de clases de equivalencia , especialmente en teoría de categorías , donde la relación de equivalencia es isomorfismo (categórico); por ejemplo, "El producto tensorial en una categoría monoidal débil es asociativo y unital hasta un isomorfismo natural ".
desaparecer: Para asumir el valor 0. Por ejemplo, "La función sin( x ) desaparece para aquellos valores de x que son múltiplos enteros de π". Esto también puede aplicarse a los límites: consulte Desaparecer en el infinito .
débil, más débil: Lo contrario de fuerte .
bien definido: Descrito o especificado con exactitud y precisión. Por ejemplo, a veces una definición se basa en la elección de algún objeto; el resultado de la definición debe entonces ser independiente de esta elección.

Terminología de prueba

El lenguaje formal de la prueba se basa repetidamente en un pequeño conjunto de ideas, muchas de las cuales se invocan a través de diversas taquigrafías léxicas en la práctica.

Un litro: Término obsoleto que se utiliza para anunciar al lector un método alternativo o prueba de un resultado. Por lo tanto, en una demostración se señala un razonamiento que es superfluo desde un punto de vista lógico, pero que tiene algún otro interés.
a modo de contradicción (BWOC), o "para, si no, ...": El preludio retórico de una prueba por contradicción , que precede a la negación del enunciado que se desea probar.
si y sólo si (iff): Abreviatura de equivalencia lógica de declaraciones.
en general: En el contexto de las pruebas, esta frase se ve a menudo en argumentos de inducción cuando se pasa del caso base al paso de inducción y, de manera similar, en la definición de secuencias cuyos primeros términos se exhiben como ejemplos de la fórmula que da cada término de la secuencia. .
necesario y suficiente: Una variante menor de "si y sólo si"; " A es necesario ( suficiente ) para B " significa " A si (sólo si) B ". Por ejemplo, "Para que un campo K sea algebraicamente cerrado es necesario y suficiente que no tenga extensiones de campo finitas " significa " K es algebraicamente cerrado si y sólo si no tiene extensiones finitas". Se utiliza a menudo en listas, como en "Las siguientes condiciones son necesarias y suficientes para que un campo esté algebraicamente cerrado...".
necesita mostrar (NTS), requiere demostrar (RTP), desea mostrar, quiere mostrar (WTS): Las pruebas a veces proceden enumerando varias condiciones cuya satisfacción implicará en conjunto el teorema deseado; por lo tanto, es necesario mostrar sólo estas afirmaciones.
uno y solo uno: Una declaración de la existencia y unicidad de un objeto; el objeto existe y, además, no existe ningún otro objeto similar.
QED: ( Quod erat demonstrandum ): Abreviatura latina, que significa "que debía demostrarse", históricamente colocada al final de las pruebas, pero menos común actualmente, habiendo sido suplantada por la marca de fin de prueba Halmos , un signo cuadrado ∎.
suficientemente agradable: Una condición sobre los objetos en el alcance de la discusión, que se especificará más adelante, que garantizará que alguna propiedad establecida se cumpla para ellos. Al elaborar un teorema, el uso de esta expresión en el enunciado del teorema indica que es posible que el hablante aún no conozca las condiciones involucradas y que la intención es recopilar las condiciones que se considerarán necesarias para que la demostración del teorema a seguir.
los siguientes son equivalentes (TFAE): A menudo, varias condiciones equivalentes (especialmente para una definición, como subgrupo normal ) son igualmente útiles en la práctica; se introduce un teorema que establece una equivalencia de más de dos enunciados con TFAE.
transporte de estructura: A menudo ocurre que dos objetos resultan ser equivalentes de algún modo y que uno de ellos está dotado de una estructura adicional. Usando la equivalencia, también podemos definir dicha estructura en el segundo objeto, mediante el transporte de la estructura . Por ejemplo, dos espacios vectoriales cualesquiera de la misma dimensión son isomorfos ; Si a uno de ellos se le da un producto interno y si fijamos un isomorfismo particular, entonces podemos definir un producto interno en el otro espacio factorizando el isomorfismo.

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre k .... Sea ( e _i ) _{1≤ i ≤ n} una base para V .... Existe un isomorfismo del álgebra polinomial k [ T _ij ] _{1≤ i , j ≤ n} en el álgebra Sym _k ( V ⊗ V ^* ).... Se extiende a un isomorfismo de k [ GL _n ] al álgebra localizada Sym _k ( V ⊗ V ^* ) _D , donde D = det( e _i ⊗ e _j^* )....Escribimos k [ GL ( V )] para esta última álgebra. Por transporte de estructura, obtenemos un grupo algebraico lineal GL ( V ) isomorfo a GL _n .
— Igor Shafarevich (1991, p.12)

sin (ninguna) pérdida de generalidad (WLOG, WOLOG, WALOG), podemos asumir (WMA): A veces una proposición puede demostrarse más fácilmente con suposiciones adicionales sobre los objetos a los que se refiere. Si la proposición tal como se establece se deriva de esta modificada con una explicación simple y mínima (por ejemplo, si los casos especiales restantes son idénticos excepto por la notación), entonces los supuestos modificados se introducen con esta frase y se prueba la proposición alterada.

Técnicas de prueba

Los matemáticos tienen varias frases para describir pruebas o técnicas de prueba. Estos se utilizan a menudo como sugerencias para completar detalles tediosos.

persecucion de angulo: Se utiliza para describir una prueba geométrica que implica encontrar relaciones entre los distintos ángulos en un diagrama. ^[3]
cálculo al reverso del sobre: Un cálculo informal que omite mucho rigor sin sacrificar la corrección. A menudo, este cálculo es una "prueba de concepto" y trata sólo un caso especial accesible.
fuerza bruta: En lugar de encontrar principios o patrones subyacentes, este es un método en el que se evaluarían tantos casos como fuera necesario para probar o proporcionar evidencia convincente de que lo en cuestión es cierto. A veces esto implica evaluar todos los casos posibles (donde también se conoce como prueba por agotamiento ).
por ejemplo: Una prueba con el ejemplo es un argumento mediante el cual una afirmación no se prueba sino que se ilustra con un ejemplo. Si se hace bien, el ejemplo específico se generalizaría fácilmente a una prueba general.
mediante inspección: Un atajo retórico realizado por autores que invitan al lector a comprobar, de un vistazo, la corrección de una expresión o deducción propuesta. Si una expresión puede evaluarse mediante la aplicación directa de técnicas simples y sin recurrir a cálculos extensos o teoría general, entonces puede evaluarse mediante inspección . También se aplica a la resolución de ecuaciones; por ejemplo, encontrar raíces de una ecuación cuadrática mediante inspección es "notarlas" o comprobarlas mentalmente. "Por inspección" puede desempeñar una especie de papel gestáltico : la respuesta o solución simplemente encaja en su lugar.
por intimidación: Estilo de prueba en el que las afirmaciones que el autor cree que son fácilmente verificables se etiquetan como "obvias" o "triviales", lo que a menudo genera confusión en el lector.
claramente, se puede mostrar fácilmente: Un término que utiliza atajos en torno al cálculo que el matemático percibe como tedioso o rutinario, accesible a cualquier miembro de la audiencia con la experiencia necesaria en el campo; Laplace utilizó obvio ( francés : évident ).
intuición completa: comúnmente reservado para chistes (juegos de palabras sobre inducción completa ).
diagrama persiguiendo: ^[4] Dado un diagrama conmutativo de objetos y morfismos entre ellos, si uno desea probar alguna propiedad de los morfismos (como la inyectividad ) que puede expresarse en términos de elementos , entonces la prueba puede proceder rastreando el camino de los elementos de varios objetos alrededor del diagrama a medida que se le aplican morfismos sucesivos. Es decir, uno persigue elementos alrededor del diagrama, o realiza una persecución del diagrama .
agitar la mano: Una no técnica de prueba que se emplea principalmente en conferencias, donde el argumento formal no es estrictamente necesario. Procede por omisión de detalles o incluso de ingredientes significativos, y es simplemente un argumento de plausibilidad.
en general: En un contexto que no requiere rigor, esta frase a menudo aparece como un recurso para ahorrar trabajo cuando los detalles técnicos de un argumento completo superan los beneficios conceptuales. El autor demuestra en un caso bastante simple que los cálculos son razonables y luego indica que "en general" la prueba es similar.
batalla de índice: Para pruebas que involucran objetos con múltiples índices que se pueden resolver yendo al final (si alguien desea hacer el esfuerzo). Similar a la búsqueda de diagramas.
obviamente: Ver claramente .
La prueba se deja como ejercicio para el lector.: Generalmente se aplica a una afirmación dentro de una prueba más amplia cuando la prueba de esa afirmación puede ser presentada de manera rutinaria por cualquier miembro de la audiencia con la experiencia necesaria, pero no es tan simple como para ser obvia .
trivial: Similar a claramente . Un concepto es trivial si se cumple por definición, es un corolario inmediato de un enunciado conocido o es un simple caso especial de un concepto más general.

Misceláneas

Esta sección presenta términos utilizados en diferentes áreas de las matemáticas , o términos que normalmente no aparecen en glosarios más especializados. Para conocer los términos utilizados sólo en algunas áreas específicas de las matemáticas, consulte los glosarios en Categoría: Glosarios de matemáticas .

B

binario: Una relación binaria es un conjunto de pares ordenados; Se dice que un elemento x está relacionado con otro elemento y si y sólo si (x,y) están en el conjunto.

C

canónico: 1. Un mapa canónico es un mapa o morfismo entre objetos que surge naturalmente de la definición o construcción de los objetos que se mapean entre sí.; 2. Una forma canónica de un objeto es una forma estándar o universal de expresar el objeto.
correspondencia: Una correspondencia de un conjunto a otro es un subconjunto de un producto cartesiano ; en otras palabras, es una relación binaria pero con la especificación de los conjuntos ambientales utilizados en la definición. $A$ $B$ $A\veces B$ $A,B$

D

diagrama: Ver diagrama matemático .

F

función: Una función es una terna ordenada formada por conjuntos y un subconjunto del producto cartesiano sujeto a la condición que implica . En otras palabras, es un tipo especial de correspondencia donde dado un elemento de , hay un elemento único de que le corresponde. $f:A\a B$ $(A,B,f)$ $A,B$ $f$ $A\veces B$ $(a,b),(a,b')\en f$ $b=b'$ $a$ $A$ $b$ $B$

I

invariante: Una invariante de un objeto o un espacio es una propiedad o número del objeto o un espacio que permanece sin cambios bajo algunas transformaciones.

METRO

mapa: Sinónimo de función entre conjuntos o morfismo en una categoría. Dependiendo de los autores, el término "mapas" o el término "funciones" pueden reservarse para tipos específicos de funciones o morfismos (p. ej., función como término analítico y mapa como término general).
matemáticas: Ver matemáticas .
multivalor: Una " función multivaluada " de un conjunto $A$ a un conjunto $B$ es una función de $A$ a los subconjuntos de $B.$ Normalmente tiene la propiedad de que, para casi todos los puntos $x$ de $B$ , existe una vecindad de $x$ tal que la restricción de la función de vecindad se puede considerar como un conjunto de funciones de vecindad a $B$ .

PAG

proyección: Una proyección es, a grandes rasgos, un mapa de un espacio u objeto a otro que omite cierta información sobre el objeto o espacio. Por ejemplo, es una proyección y su restricción a una gráfica de una función, digamos, también es una proyección. Los términos " operador idempotente " y " mapa olvidadizo " también son sinónimos de proyección. $\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ,(x,y)\mapsto x$

S

estructura: Una estructura matemática de un objeto es un conjunto adicional de objetos o datos adjuntos al objeto (por ejemplo, relación, operación, métrica, topología).

Ver también

Notas

^ Goldfeld, Dorian. "La prueba elemental del teorema de los números primos: una perspectiva histórica" (PDF) . Universidad de Colombia .
^ Boyd, Stephen (2004). Optimizacion convexa . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0521833783.
^ Roe, John (1993), Geometría elemental , publicaciones científicas de Oxford, p. 119, ISBN 978-0-19-853456-3
^ Se pueden encontrar numerosos ejemplos en (Mac Lane 1998), por ejemplo en la p. 100.

Referencias

Eilenberg, Samuel ; Mac Lane, Saunders (1942), "Isomorfismos naturales en la teoría de grupos", Proc. Nacional. Acad. Ciencia. EE. UU. , 28 (12): 537–543, Bibcode : 1942PNAS...28..537E, doi : 10.1073/pnas.28.12.537 , PMC 1078535 , PMID 16588584.
Impagliazzo, Russell (1995), "Una visión personal de la complejidad del caso promedio", Proc. Décima Conferencia Anual sobre Estructura en Teoría de la Complejidad (SCT'95) , págs. 134-147, CiteSeerX 10.1.1.678.8930 , doi :10.1109/SCT.1995.514853, ISBN 978-0-8186-7052-7, S2CID 2154064.
Jackson, Allyn (2004), "Comme Appelé du Néant - Como convocado desde el vacío: la vida de Alexandre Grothendieck", Avisos de AMS , 51 (9, 10)(Partes I y II).
Mac Lane, Saunders (1997), "El camino de PNAS en aquel entonces" (PDF) , Proc. Nacional. Acad. Ciencia. EE. UU. , 94 (12): 5983–5985, Bibcode : 1997PNAS...94.5983M, doi : 10.1073/pnas.94.12.5983 , PMC 33670 , PMID 9177152.
Mac Lane, Saunders (1998), Categorías para el matemático que trabaja , Springer.
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Bibliografía

Enciclopedia de Matemáticas