Elemento (teoría de categorías)

En teoría de categorías , el concepto de elemento o punto generaliza el concepto teórico de conjuntos más habitual de elemento de un conjunto a un objeto de cualquier categoría . Esta idea a menudo permite reformular definiciones o propiedades de morfismos (como monomorfismo o producto ) dadas por una propiedad universal en términos más familiares, al enunciar su relación con elementos. Algunos teoremas muy generales, como el lema de Yoneda y el teorema de incrustación de Mitchell , son de gran utilidad para esto, al permitir trabajar en un contexto donde estas traducciones son válidas. Este enfoque de la teoría de categorías, en particular el uso del lema de Yoneda de esta manera, se debe a Grothendieck , y a menudo se llama el método del funtor de puntos .

Definición

Supóngase que C es una categoría cualquiera y que A , T son dos objetos de C . Un punto de A con valor T es simplemente un morfismo . El conjunto de todos los puntos de A con valor T varía funcionalmente con T , dando lugar al "funtor de puntos" de A ; según el lema de Yoneda , esto determina completamente a A como un objeto de C . ${\displaystyle p\colon T\to A}$

Propiedades de los morfismos

Muchas propiedades de los morfismos pueden replantearse en términos de puntos. Por ejemplo, se dice que una función es un monomorfismo si ${\displaystyle f}$

Para todos los mapas , , si entonces . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f\circ g=f\circ h}$ ${\displaystyle g=h}$

Supóngase que y en C . Entonces g y h son puntos de B con valor A y, por lo tanto, el monomorfismo es equivalente a la afirmación más familiar ${\displaystyle f\colon B\to C}$ ${\displaystyle g,h\colon A\to B}$

f es un monomorfismo si es una función inyectiva en puntos de B.

Es necesario tener cierto cuidado. f es un epimorfismo si se cumple la condición dual :

Para todos los mapas g , h (de algún tipo adecuado), implica . ${\displaystyle g\circ f=h\circ f}$ ${\displaystyle g=h}$

En teoría de conjuntos, el término "epimorfismo" es sinónimo de " sobreyección ", es decir

Cada punto de C es la imagen , bajo f , de algún punto de B.

Está claro que no se trata de la traducción del primer enunciado al lenguaje de los puntos y, de hecho, estos enunciados no son equivalentes en general. Sin embargo, en algunos contextos, como en las categorías abelianas , el "monomorfismo" y el "epimorfismo" están respaldados por condiciones suficientemente fuertes que, de hecho, permiten una reinterpretación de este tipo en los puntos.

De manera similar, las construcciones categóricas como el producto tienen análogos puntuales. Recordemos que si A , B son dos objetos de C , su producto A  ×  B es un objeto tal que

Existen mapas , y para cualquier T y mapas , existe un único mapa tal que y . ${\displaystyle p\colon A\times B\to A,}$ ${\displaystyle q\colon A\times B\to B}$ ${\displaystyle f\colon T\to A,g\colon T\to B}$ ${\displaystyle h\colon T\to A\times B}$ ${\displaystyle f=p\circ h}$ ${\displaystyle g=q\circ h}$

En esta definición, f y g son puntos de A y B con valores T , respectivamente, mientras que h es un punto de A  ×  B con valores T. Por lo tanto, una definición alternativa del producto es:

A  ×  B es un objeto de C , junto con los mapas de proyección y , tales que p y q proporcionan una biyección entre puntos de A  ×  B y pares de puntos de A y B . ${\displaystyle p\colon A\times B\to A}$ ${\displaystyle q\colon A\times B\to B}$

Esta es la definición más familiar del producto de dos conjuntos.

Origen geométrico

La terminología es de origen geométrico; en geometría algebraica , Grothendieck introdujo la noción de esquema para unificar el tema con la geometría aritmética , que trataba la misma idea de estudiar soluciones a ecuaciones polinómicas (es decir, variedades algebraicas ) pero donde las soluciones no son números complejos sino números racionales , enteros o incluso elementos de algún cuerpo finito . Un esquema es entonces solo eso: un esquema para recopilar todas las manifestaciones de una variedad definida por las mismas ecuaciones pero con soluciones tomadas en diferentes conjuntos de números. Un esquema da una variedad compleja, cuyos puntos son sus puntos de valor , así como el conjunto de puntos de valor (soluciones racionales a las ecuaciones), y puntos de valor pare (soluciones módulo p ). ${\displaystyle (\operatorname {Spec} \mathbb {C} )}$ ${\displaystyle (\operatorname {Spec} \mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle (\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{p})}$

En este ejemplo se hace evidente una característica del lenguaje de los puntos: en general, no basta con considerar sólo los puntos con valores en un único objeto. Por ejemplo, la ecuación (que define un esquema) no tiene soluciones reales , pero sí soluciones complejas, a saber . También tiene una solución módulo 2 y dos módulo 5, 13, 29, etc. (todos primos que son 1 módulo 4). Tomar sólo las soluciones reales no daría información alguna. ${\displaystyle x^{2}+1=0}$ ${\displaystyle \pm i}$

Relación con la teoría de conjuntos

La situación es análoga al caso en el que C es la categoría Set , de conjuntos de elementos reales. En este caso, tenemos el conjunto "unipuntual" {1}, y los elementos de cualquier conjunto S son los mismos que los puntos de S con valor {1} . Además, sin embargo, están los puntos con valor {1,2} , que son pares de elementos de S , o elementos de S  ×  S . En el contexto de los conjuntos, estos puntos superiores son extraños: S está determinado completamente por sus puntos {1} . Sin embargo, como se muestra arriba, esto es especial (en este caso, es porque todos los conjuntos son coproductos iterados de {1}).

Referencias

• Barr, Michael ; Wells, Charles (1985). Topos, triples y teorías (PDF) . Springer.
• Awodey, Steve (2006). Teoría de categorías . Oxford University Press. Sección 2.3. ISBN 0-19-856861-4.