Eventualmente (matemáticas)

En las áreas matemáticas de la teoría y el análisis de números , se dice que una secuencia infinita o una función tiene eventualmente una cierta propiedad si no tiene dicha propiedad en todas sus instancias ordenadas, pero la tendrá después de que hayan pasado algunas instancias. El uso del término "eventualmente" puede reformularse a menudo como "para números suficientemente grandes", ^[1] y también puede extenderse a la clase de propiedades que se aplican a los elementos de cualquier conjunto ordenado (como secuencias y subconjuntos de ). ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Notación

La forma general en la que se encuentra la frase eventualmente (o suficientemente grande ) aparece como sigue:

${\displaystyle P}$es eventualmente cierto para ( es cierto para suficientemente grande ), ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x}$

donde y son los cuantificadores universales y existenciales , que en realidad es una abreviatura de: ${\displaystyle \forall }$ ${\displaystyle \exists }$

${\displaystyle \exists a\in \mathbb {R} }$tal que es verdad ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \forall x\geq a}$

o algo más formalmente:

${\displaystyle \exists a\in \mathbb {R} :\forall x\in \mathbb {R} :x\geq a\Rightarrow P(x)}$

Esto no significa necesariamente que se conozca un valor particular para , sino solo que existe. La frase "suficientemente grande" no debe confundirse con las frases " arbitrariamente grande " o " infinitamente grande". Para obtener más información, consulte Arbitrariamente grande#Arbitrariamente grande vs. suficientemente grande vs. infinitamente grande . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$

Motivación y definición

En el caso de una secuencia infinita, a menudo nos interesan más los comportamientos a largo plazo de la secuencia que los comportamientos que exhibe al principio. En ese caso, una forma de capturar formalmente este concepto es decir que la secuencia posee una determinada propiedad eventualmente o, equivalentemente, que la propiedad es satisfecha por una de sus subsecuencias para algún momento . ^[2] ${\displaystyle (a_{n})_{n\geq N}}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$

Por ejemplo, la definición de una secuencia de números reales que convergen a algún límite es: ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle a}$

Para cada número positivo , existe un número natural tal que para todo , . ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n>N}$ ${\displaystyle \left\vert a_{n}-a\right\vert <\varepsilon }$

Cuando el término "eventualmente " se utiliza como abreviatura de "existe un número natural tal que para todo ", la definición de convergencia puede reformularse de forma más sencilla como: ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n>N}$

Para cada número positivo , eventualmente . ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \left\vert a_{n}-a\right\vert <\varepsilon }$

Obsérvese aquí que el conjunto de números naturales que no satisfacen esta propiedad es un conjunto finito; es decir, el conjunto está vacío o tiene un elemento máximo. Como resultado, el uso de "eventualmente" en este caso es sinónimo de la expresión "para todos los términos excepto un número finito", un caso especial de la expresión "para casi todos los términos" (aunque "casi todos" también puede usarse para permitir infinitas excepciones).

En el nivel básico, una secuencia puede considerarse como una función con números naturales como su dominio , y la noción de "eventualmente" se aplica también a funciones en conjuntos más generales, en particular a aquellos que tienen un ordenamiento sin elemento mayor .

Más específicamente, si es un conjunto tal y hay un elemento en tal que la función está definida para todos los elementos mayores que , entonces se dice que tiene alguna propiedad eventualmente si hay un elemento tal que siempre que , tiene dicha propiedad. Esta noción se utiliza, por ejemplo, en el estudio de los campos de Hardy , que son campos formados por funciones reales, cada una de las cuales tiene ciertas propiedades eventualmente. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x>x_{0}}$ ${\displaystyle f(x)}$

Ejemplos

• "Todos los números primos mayores que 2 son impares " se puede escribir como "Eventualmente, todos los números primos son impares".
• Al final, todos los números primos son congruentes con ±1 módulo 6.
• El cuadrado de un primo es eventualmente congruente con 1 mod 24 (específicamente, esto es cierto para todos los primos mayores que 3).
• El factorial de un número natural eventualmente termina en el dígito 0 (específicamente, esto es cierto para todos los números naturales mayores que 4).

Otros usos en matemáticas

• Una variedad 3 se considera suficientemente grande si contiene una superficie incompresible de dos lados correctamente embebida . Esta propiedad es el requisito principal para que una variedad 3 se denomine variedad Haken .
• La lógica temporal introduce un operador que puede utilizarse para expresar afirmaciones interpretables como: Cierta propiedad eventualmente se mantendrá en un momento futuro en el tiempo.

Véase también

• Casi todos
• Notación O grande
• Jerga matemática
• Teoría de números

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Suficientemente grande". mathworld.wolfram.com . Consultado el 20 de noviembre de 2019 .
2. Weisstein, Eric W. "Eventually". mathworld.wolfram.com . Consultado el 20 de noviembre de 2019 .